初三数学复习-数与式(知识点讲解)

初三数学复习初三数学复习 数与式数与式 第一课时第一课时 实数的有关概念实数的有关概念 知识要点知识要点 一 实数的有关概念 1 实数的分类 当然还可以分为 正实数 零 负实数 有理数还可以分为 正有理数 零 负有理数 2 数轴 数轴是研究实数的重要工具 是在数与式的学习中 实现数形结合的载体 数轴的三要 素 原点 正方向和单位长度 实数与数轴上的点是一一对应的实数与数轴上的点是一一对应的 我们还可以利用这种一 一对应关系来比较两个实数的大小 3 绝对值 绝对值的代数意义 a a a a a a 0 00 0 绝对值的几何意义 一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离 4 相反数 倒数 实数 的相反数记为 非零实数 的倒数记为 零没有倒数 aaa 1 a 若 a b 两个数为互为相反数 则 a b 0 若 m n 两个数互为倒数 则 m n 1 5 三种非负数 aaa a 都表示非负数 2 0 几个非负数的和等于零 则必定每个非负数都同时为零 的结论常用于化简 求值 6 平方根 算术平方根 立方根的概念 如果一个数的平方等于 a 这个数就叫做 a 的平方根 一个正数有两个平方根 它们互为相反数 0 有 一个平方根 它是 0 本身 负数没有平方根 a a 0 的平方根记作 一个正数 a 的正的平方根 无限不循环小数 无理数 负分数 正分数 分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 实数 叫做 a 的算术平方根 a a 0 的算术平方根记作 7 科学计数法 有效数字和近似值的概念 1 近似数 一个近似数 四舍五入到那一位 就说这个近似数精确到哪一位 2 有效数字 一个近似数 从左边第一个不是0的数字起 到精确到的数位为止 所有的数字 都叫做这 个近似数的有效数字 3 科学记数法 把一个数用 1 10 n 为整数 的形式记数的方法叫科学记数法 典型例题 典型例题 P2P2 例例 1 1 2012 2012 贵州六盘水 贵州六盘水 5 5 3 3 分分 数字2 1 3 3 8 cos45 0 32 中无理数的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 点评 此题主要考查了无理数的定义 其中 1 有理数都可以化为小数 其中整数可以看作小数点后面是零的小数 例如 5 5 0 分数都可以化为有 限小数或无限循环小数 2 无理数是无限不循环小数 其中有开方开不尽的数 3 有限小数和无限循环小数都可以化为分数 也就是说 一切有理数都可以用分数来表示 而无限不 环小数不能化为分数 它是无理数 P2 例 4 2012 湖北省恩施市 题号 16 分值 4 观察下表 根据表中数的排列规律 B D 例题补充 例题补充 20122012 河北省河北省 17 317 3 分 分 17 某数学活动小组的 20 位同学站成一列做报数游戏 规则是 从前 面第一位同学开始 每位同学依次报自己顺序的倒数加 1 第 1 位同学报 1 1 1 第 2 位同学报 1 2 1 这样得到的 20 个数的积为 第二课时 实数的运算及比较大小第二课时 实数的运算及比较大小 知识要点知识要点 一 实数的运算一 实数的运算 1 加法 同号两数相加 取相同的符号 并把绝对值相加 绝对值不相等的异号两数相加 取绝对值 较大的加数的符号 并用较大的绝对值减去较小的绝对值 互为相反数的两个数相加得 0 一个数同 0 相 加 仍得这个数 2 减法 减去一个数等于加上这个数的相反数 3 乘法 几个非零实数相乘 积的符号由负因数的个数决定 当负因数有偶数个时 积为正 当负因 数有奇数个时 积为负 几个数相乘 有一个因数为0 积就为0 4 除法 除以一个数 等于乘上这个数的倒数 两个数相除 同号得正 异号得负 并把绝对值相 除 0除以任何一个不等于0的数都得0 5 乘方与开方 1 an所表示的意义是 n 个 a 相乘 正数的任何次幂是正数 负数的偶次幂是正数 负数的奇次幂是负 数 2 正数和0可以开平方 负数不能开平方 正数 负数和0都可以开立方 3 零指数与负指数 二 实数大小的比较二 实数大小的比较 1 对于数轴上的任意两个点 靠右边的点所表示的数较大 2 正数都大于 0 负数都小于 0 两个正数 绝对值较大的那个正数大 两个负数 绝对值大的反而小 3 对于实数 a b 若 a b 0 a b a b 0 a b a b 0 a b 4 对于实数 a b c 若 a b b c 则 a c 5 无理数的比较大小 利用平方转化为有理数 如果 a b 0 a2 b2 则 a b 或利用倒数转化 如比较 与 三 实数运算顺序三 实数运算顺序 加和减是一级运算 乘和除是二级运算 乘方和开方是三级运算 这三级运算的顺序是三 二 一 如果有括号 先算括号内的 如果没有括号 同一级运算中要从左至右依次运算 四 实数的运算律四 实数的运算律 加法交换律 a b b a 加法结合律 a b c a b c 乘法交换律 ab ba 乘法结合律 ab c a bc 乘法分配律 a b c ac bc 典型例题 典型例题 P3 例 3 2012 山东省聊城 10 3 分 如右图所示的数轴上 点 B 与点 C 关于点 A 对称 A B 两点对应的 实数是3和 1 则点 C 所对应的实数是 A 1 3 B 2 3 C 23 1 D 23 1 P4 例 4 2012 广东汕头 21 7 分 观察下列等式 第 1 个等式 a1 1 第 2 个等式 a2 第 3 个等式 a3 第 4 个等式 a4 请解答下列问题 1 按以上规律列出第 5 个等式 a5 2 用含有 n 的代数式表示第 n 个等式 an n 为正整数 3 求 a1 a2 a3 a4 a100的值 分析 1 2 观察知 找第一个等号后面的式子规律是关键 分子不变 为 1 分母是 两个连续奇数的乘积 它们与式子序号之间的关系为 序号的 2 倍减 1 和序号的 2 倍加 1 3 运用变化规律计算 第三课时 整式与因式分解第三课时 整式与因式分解 1 1 整式知识梳理整式知识梳理 代数式的分类 1 整式有关概念 1 单项式 只含有 的积的代数式叫做单项式 单项式中 叫做这个单项式的 系数 单项式中 叫做这个单项式的次数 2 多项式 几个 的和 叫做多项式 叫做常数项 多项式中 的次数 就是这个多项式的次数 多项式中 的个数 就是这个 多项式的项数 2 同类项 合并同类项 1 同类项 叫做同类项 2 合并同类项 叫做合并同类项 3 合并同类项法则 4 去括号法则 括号前是 号 括号前是 号 5 添括号法则 添括号后 括号前是 号 插到括号里的各项的符号都 括号前是 号 括到括号里的各项的符号都 3 整式的运算 1 整式的加减法 运算实质上就是合并同类项 遇到括号要先去括号 2 整式的乘除法 4 幂的运算 同底数幂的乘法 底数不变 指数相加 即 都是正整数 nmnm aaa mn 幂的乘方 底数不变 指数相乘 即 都是正整数 mn n m aa mn 积的乘方等于每一个因数乘方的积 即 是正整数 nn n baab n 同底数幂相除 底数不变 指数相减 即 nmnm aaa 0 a p a是正整数pa 0 5 整式的乘法 1 单项式与单项式相乘 把它们的系数 相同字母的幂分别相乘 其余字母连同它的指数不变 作为积的因式 2 单项式乘以多项式 3 乘法公式 平方差 完全平方公式 6 整式的除法 1 单项式相除 把它们的系数 相同字母分别相除 作为商的因式 对于 无理式 分式 多项式 单项式 整式 有理式 代数式 只在被除式里含有的字母 则连同它的指数作为商的一个因式 相同字母相除要用到同底数 幂的运算性质 2 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式 再把所得的商相加 7 代数式的化简求值 含有绝对值的代数式的化简 通常可利用数轴的直观性 整式的化简求值常常要灵活运用配方法 换元法 整体代换思想和构造思想 分式的化简求值一般可对分子 分母的多项式因式分解 约分 再运用分式的性质化简计算 二次根式的化简求值一般应先考虑能否利用二次根式的性质 配方法 乘法公式等化简计算 2 2 因式分解知识梳理因式分解知识梳理 1 分解因式 把一个多项式化成 的形式 这种变形叫做把这个多项式分解因式 2 分解困式的方法 提公团式法 如果一个多项式的各项含有公因式 那么就可以把这个公因式提出来 从而将多 项式化成两个因式乘积的形式 这种分解因式的方法叫做提公因式法 运用公式法 平方差公式 完全平方公式 3 分解因式的步骤 1 分解 因式时 首先考虑是否有公因式 如果有公因式 一定先提取公团式 然后再考虑是否能用公 式法 分解 2 在用公式时 若是两项 可考虑用平方差公式 若是三项 可考虑用完全平方公式 若是三项以上 可先进行适当的分组 然后分解因式 典型例题 典型例题 P6例4 分解因式 x 1 2 2 x 1 1的结果是 A x 1 x 2 B x2 C x 1 2 D x 2 2 P6 例 5 2012 年浙江省宁波市 20 6 同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放 1 第 5 个图形有多少颗黑色棋子 2 第几个图形有 2013 颗棋子 说明理由 第 1 个 第 2 个 第 3 个 第 4 个 第四课时第四课时 分式分式 整式知识梳理整式知识梳理 1 分式有关概念 1 分式 分母中含有字母的式子叫做分式分式 对于一个分式来说 当 时分式有意义 当 时分式没有意义 只有在同时满足 且 这两个条件时 分式的值才是零 2 最简分式 一个分式的分子与分母 时 叫做最简分式 3 约分 把一个分式的分子与分母的 约去 叫做分式的约分 将一个分式约分的主要步骤是 把分式的 分子与分母 然后约去分子与分母的 4 通分 把几个异分母的分式分别化成与 相等的 的分式叫做分式的通分 通分的关 键是确定几个分式的 5 最简公分母 通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母 这样的公分母叫做最简公分母 求几个分式 的最简公分母时 注意以下几点 当分母是多项式时 一般应先 如果各分母的系数都是整数 时 通常取它们的系数的 作为最简公分母的系数 最简公分母能分别被原来各分式的分母整除 若分母的系数是负数 一般先把 号提到分式本身的前边 2 分式性质 1 基本性质 分式的分子与分母都乘以 或除以 同一个 分式的值 2 符号法则 与 的符号 改变其中任何两个 分式的值不变 即 3 分式的运算 注意 为运算简便 若分式的分子与分母的各项系数是分数或小数时 一般要化为整数 若分式的分子与分母的最高次项系数是负数时 一般要化为正数 1 分式的加减法法则 1 同分母的分式相加减 把分子相加减 2 异分母的分式相加减 先 化为 的分式 然后再按 进行计算 2 分式的乘除法法则 分式乘以分式 用 做积的分子 做积的分母 公式 分式除以分式 把除式的分子 分母 后 与被除式相乘 公式 3 分式乘方是 公式 4 分式的混合运算顺序 先 再算 最后算 有括号先算括号内 5 对于化简求值的题型要注意解题格式 要先化简 再代人字母的值求值 典型例题 典型例题 类型一 分式的基本性质类型一 分式的基本性质 例例2 2 20122012浙江省义乌市 浙江省义乌市 8 8 3 3分 分 下列计算错误的是 A A B B C C D D 类型二 分式化简求值类型二 分式化简求值 例 例 20122012 广东肇庆 广东肇庆 2020 7 7 先化简 后求值 1 1 1 1 2 x x x 其中x 4 ba ba ba ba 7 2 7 0 2 0 y x yx yx 32 23 1 ab ba ccc 321 第五课时第五课时 数的开方与二次根式数的开方与二次根式 知识梳理知识梳理 1 二次根式 形如 a 0 的式子叫做二次根式 a 注意 1 在二次根式中 被开放数可以是数 也可以是单项式 多项式 分式等代数式 但必须注意 因为负数没有平方根 所以 a 0 是为二次根式的前提条件 如 等是二次根式 而a5 2 1x 等都不是二次根式 5 2 x 2 二次根式有意义的条件 由二次根式的意义可知 当 a 0 时 有意义 是二次根式 所以要使a 二次根式有意义 只要使被开方数大于或等于零即可 3 3 二次根式 二次根式 a 0 的非负性的非负性 a 0 表示 a 的算术平方根 也就是说 a 0 是一个aaa 非负数 即0 a 0 a 2 最简二次根式 同时满足 被开方数的因数是整数 因式是整式 分母中不含根号 被开方数中含能开得尽方的因数或因式 这样的二次根式叫做最简二次根式 3 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后化成最简二次根式后 如果被开方数相同 这几个二次根式就叫同类二 次根式 4 二次根式的性质 1 a 0 2 aa 描述为 一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数 注意 二次根式的性质公式 a 0 是逆用平方根的定义得出的结论 上面的公式也可以反过 2 aa 来应用 若 a 0 则 如 2 aa 2 2 2 2 11 22 2 2 2 0 0 a a aa a a 描述为 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 注意 化简时 一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数 若是正数或 0 则等于 a 本身 2 a 即 若 a 是负数 则等于 a 的相反数 a 即 2 0 aaa a 21 41431 73252 236 72 646 中的 a 的取值范围可以是任意实数 即不论 a 取何值 一定有意义 2 a 2 a 化简时 先将它化成 再根据绝对值的意义来进行化简 2