初中几何定理归纳整理

1 初中几何定理归纳整理初中几何定理归纳整理 图形认识初步图形认识初步 1 两点确定一条直线 2 两点之间 线段最短 3 等角的余角相等 4 等角的补角相等 5 角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 6 角角平分线的判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 相交线与平行线相交线与平行线 1 1 余角 补角 对顶角 相交 的性质 余角 补角 对顶角 相交 的性质 同角或等角的余角相等 同角或等角 的补角相等 对顶角相等 2 2 垂直 垂直 1 垂线的性质 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 直线外一点 有与直线上各点连结的所有线段中 垂线段最短 2 线段垂直平分线定义 过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂 直平分线 3 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离 相等 4 线段垂直平分线的判定定理 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平 分线上 3 3 平行 平行 1 平行线的定义 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 2 平行线的性质 两直线平行 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 3 平行线的判定 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 4 平行公理 经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线 5 平行公理的推论 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也 互相平行 三角形三角形 1 1 三角形的有关性质 三角形的有关性质 三角形具有稳定性 三角形的三边关系 三角形的两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 2 三角形的内角和定理 三角形的三个内角的和等于 1800 推论 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和 三角形的外角和定理 n边形内角和 n边形内角和是 n 2 180 n 边形外角和是 360 三角形的三条角平分线交于一点 内心 三角形的三边的垂直平分线交于一点 外心 三角形中位线定理 三角形两边中点的连线平行于第三边 并且等于第三边 的一半 2 2 全等三角形 全等三角形 1 定义 两个能够重合的三角形是全等三角形 2 性质 全等三角形的对应边相等 对应角相等 3 三角形全等的条件 边角边 SAS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角 ASA 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 角角边 AAS 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 边边边 SSS 有三边对应相等的两个三角形全等 斜边 直角边 HL 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等 3 3 等腰三角形 等腰三角形 1 等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等 等边对等角 等 腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 三线合一 2 等腰三角形的判定 有两个角相等的三角形是等腰三角形 等角对等边 4 4 等边三角形 等边三角形 1 等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等 每一个角都等于 60 等边三角形三边上都有三线合一的性质 2 等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角 是 60 的等腰三角形是等边三角形 5 5 直角三角形 直角三角形 1 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互为余角 直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平 方 勾股定理 直角三角形中 30 角所对的直角边等 于斜边的一半 2 直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角 三角形 如果三角形的三边长 a b c 满足关系 c2 a2 b2 那么这个三角形是直角三角形 勾股定理的 逆定理 且最长的边 c 所对的角为直角 6 6 三角函数 三角函数 在 Rt ABC 中 C 900 SinA cosA tanA sinA A的对边 斜边 A的邻边 斜边 A的对边 A的邻边 cosB 0 sinA 1 0 cosA 1 tanA 0 300450600 Sin 1 2 2 2 3 2 Cos 3 2 2 2 1 2 tan 3 3 1 3 3 A 越大 A 的正弦和正切值越大 余弦值反而越小 特殊角的三角函数值 四边形四边形 1 1 平行四边形 中心对称图形 平行四边形 中心对称图形 1 平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2 两条平行线间的距离 两条平行线中 一条直线上任意一点到另一条直线 的距离 叫做两条平行线间的距离 两条平行线间的距离是一个定值 不随垂 线段位置改变而改变 两条平行线间的距离处处相等 3 平行四边形的性质 平行四边形的两组对边分别平行 平行四边形的两组 对边分别相等 平行四边形的两组对角分别相等 平行四边形的对角线互相平 分 4 平行四边形的判定 定义法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2 2 矩形 轴对称图形 矩形 轴对称图形 1 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 通常也叫长方形 2 矩形的性质 两组对边分别平行且相等 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等且互相平分 3 矩形的判定 定义法 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 有三 个角是直角的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 3 3 菱形 轴对称图形 菱形 轴对称图形 1 定义 2 菱形的性质 菱形的四边相等 两组对边分别平行 对角相等 邻 角互补 菱形的对角线互相垂直平分 并且每一条对角线平分一组对角 3 菱形的判定 定义法 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 四边 相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4 4 正方形 既是轴对称又是中心对称 正方形 既是轴对称又是中心对称 1 定义 四条边都相等且一个角是直角的四边形叫做正方形 2 正方形的性质 正方形的四边相等 对边平行 正方形的四个角都 是直角 正方形的两条对角线相等 且互相垂直平分 每一条对角线平分一 组对角 3 正方形的判定 有一个角是直角的菱形是正方形 有一组邻边相等的 矩形是正方形 轴对称轴对称 1 1 定义 定义 把一个图形沿着某一条直线折叠 如果它能够与另一个图形完全重合 4 称这两个图形为轴对称 轴对称 这条直线叫做对称轴对称轴 两个图形中对应的点叫做对对 称点称点 2 2 轴对称的基本性质 轴对称的基本性质 如果两个图形关于某条直线对称 那么对称轴是任何 一对对应点所连线段的垂直平分线 即对应点所连的线段被对称轴平分 3 等腰三角形 矩形 菱形 等腰梯形 正多边形 圆是轴对称图形 图形的平移图形的平移 1 1 平移的概念 平移的概念 在平面内 将一个图形沿某个方向移动一定的距离 这样的图 形运动称为平移 平移不改变图形的形状和大小 平移是运动的一种形式 是图形变换的一种 本讲的平移是指平面图形在同 一平面内的变换 图形的平移有两个要素 一是图形平移的方向 二是图形平移的距离 这两 个要素是图形平移的依据 图形的平移是指图形整体的平移 经过平移后的图形 与原图形相比 只改 变了位置 而不改变图形的大小 这个特征是得出图形平移的基本性质的依据 2 2 平移的基本性质 平移的基本性质 由平移的基本概念知 经过平移 图形上的每一个点都沿 同一个方向移动相同的距离 平移不改变图形的形状和大小 因此平移具有下 列性质 经过平移 对应点所连的线段平行且相等 对应线段平行且相等 对 应角相等 注 1 要注意正确找出 对应线段 对应角 从而正确表达基本性质的特 征 2 对应点所连的线段平行且相等 这个基本性质既可作为平移图形之 间的性质 又可作为平移作图的依据 图形的旋转图形的旋转 1 1 图形旋转的基本性质 图形旋转的基本性质 对应点到旋转中心的距离相等 对应点与旋转中心所 连线段的夹角等于旋转角 旋转前后的图形全等 2 2 中心对称图形 中心对称图形 在同一平面内 如果把一个图形绕某一点旋转 1800 旋转后 的图形能和原图形完全重合 那么这个图形就叫做中心对称图形 3 3 关于中心对称的两个图形是全等形 关于中心对称的两个图形是全等形 4 4 关于中心对称的两个图形 对称点的连线都经过对称中心 且被对称中心关于中心对称的两个图形 对称点的连线都经过对称中心 且被对称中心 平分平分 5 平行四边形 矩形 菱形 正多边形 边数是偶数 圆是中心对称图形 圆圆 1 1 圆有关的概念 圆有关的概念 1 圆 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 其中 定 点为圆心 定长为半径 5 2 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 3 圆周角 顶点在圆上 两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角 4 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 大于半圆的弧称为优弧 小于半圆的弧称为劣弧 5 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 经过圆心的弦叫做直径 2 2 圆的有关的性质 圆的有关的性质 1 圆既是轴对称图形 任意一条直径所在直线都是它的对称轴 圆又是中心 对称图形 2 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理推论 平分弦 非直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理推论 平分弦 非直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 3 圆心角 弦和弧三者之间的关系 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两 条弧 两条弦或两条弦心距中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量分 别相等 4 圆周角定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 同弧所对圆周角定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 同弧所对 的圆周角等于它所对的圆心角的一半 的圆周角等于它所对的圆心角的一半 5 圆周角定理推论 圆周角定理推论 同弧或等弧所对的圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等 半圆或直径所对的圆周角是半圆或直径所对的圆周角是 90 90 90 90 的圆周角所对的弦是直径 的圆周角所对的弦是直径 6 圆内接四边形的对角互补 圆内接四边形的对角互补 7 不共线三点确定一个圆 不共线三点确定一个圆 8 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 9 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 10 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线 它们的切线长相等 这切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线 它们的切线长相等 这 一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 3 3 三角形的内心和外心 三角形的内心和外心 1 确定圆的条件 不在同一直线上的三个点确定一个圆 2 三角形的外心 三角形的三个顶点确定一个圆 这个圆叫做三角形的外接 圆 外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点 叫做三角形的外心 3 三角形的内心 和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆 内切圆 的圆心是三角形三条角平分线的交点 叫做三角形的内心 4 4 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 设圆的半径为 r 点到圆心的距离为 d 则点在圆外 d r 点在圆上 d r 点在圆内 d r 5 5 直线和圆的位置关系有三种 直线和圆的位置关系有三种 相交 相切 相离 6 设圆的半径为 r 圆心到直线的距离为 d 则直线与圆相交 d r 直线与圆相切 d r 直线与圆相离 d r 6 6 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 设两圆的圆心距为 d 两圆的半径分别为 R 和 r 则 1 两圆外离 d R r 2 两圆外切 d R r 3 两圆相交 R r d R r R r 4 两圆内切 d R r R r 5 两圆内含 d R r R r 7 7 圆有关的计算 圆有关的计算 1 弧长计算公式 l R 为圆的半径 n0是弧所对的圆心角的度数 n R 180 l为弧长 2 扇形面积 S扇形 或 S扇形 l R R 为半径 n0是扇形所对的圆 n R2 360 1 2 心角的度数 l为扇形的弧长 3 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴 其 余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 该直角边叫圆 锥的轴 S侧 l 2 r r l S表 S侧 S底 r l r2 1 2 r l r 相似相似 1 1 比例的基本性质 比例的基本性质 如果 则 ad bc 如果 ad bc 则 a b c d b 0 d 0 a b c d 2 2 相似三角形的判定 相似三角形的判定 定义法 三边对应成比例 三组角对应相等 平行 法 平行于三角形一边的直线和其它两边 或两边的延长线 相交 所构成的 三角形与原三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似 两边对应 成比例且夹角对应相等的两个三角形相似 两组角对应相等的两个三角形相 似 3 3 相似三角形的性质 相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等 相似三角形的对应边成 比例 相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的比等于相似