【备战】2012高考数学 应考能力大提升8.1

用心 爱心 专心 1 备战备战 20122012 数学应考能力大提升数学应考能力大提升 典型例题 例 1 已知一四棱锥的三视图如下 是侧棱上的动点 PABCD EPC 1 求四棱锥的体积 PABCD 2 是否不论点在何位置 都有 证明你的结论 EBDAE 3 若点为的中点 求二面角的大小 EPCDAEB 解 由该四棱锥的三视图可知 该四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 1 的正方形 侧棱 PC 底面 ABCD 且 PC 2 2 分 4 分 12 33 P ABCDABCD VSPC A 2 不论点 E 在何位置 都有 BD AE 5 分 证明如下 连结 AC ABCD 是正方形 BD AC PC 底面 ABCD 且平面 BD PC 7 分BD ABCD 又 BD 平面 PAC ACPCC 用心 爱心 专心 2 z y x E D C BA P 不论点 E 在何位置 都有 AE平面 PAC 不论点 E 在何位置 都有 BD AE 9 分 3 解法 1 在平面 DAE 内过点 D 作 DG AE 于 G 连结 BG CD CB EC EC Rt ECD Rt ECB ED EB AD AB EDA EBA BG EA 为二面角 D EA B 的平面角 DGB 12 分 BC DE AD BC AD DE 在 R ADE 中 BG AD DE DG AE 2 3 在 DGB 中 由余弦定理得 222 2 22 1 3 cos 2 22 2 3 DBBGBD DGB DB BG 14 分DGB 2 3 解法 以点 C 为坐标原点 CD 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系如图示 则 从而 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 DABE 11 分 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 DEDABABE 设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为 ma b c na b c 由法向量的性质可得 0 0acb 0 0abc 令 则 13 分1 1cc 1 1ab 1 0 1 0 1 1 mn 设二面角 D AE B 的平面角为 则 1 cos 2 m n mn 2 3 例 2 如图 在五面体 ABCDEF 中 FA 平面 ABCD AD BC FE ABAD M 为 EC 的 中点 AF AB BC FE AD I 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小 1 2 II 证明平面 AMD平面 CDE III 求二面角 A CD E 的余弦值 用心 爱心 专心 3 解 1 如图所示 建立空间直角坐标系 点为坐标原点 设依题意得 A 1 AB 001B 011C 020D 110E 100F 2 1 1 2 1 M I 解 101BF 110DE 2 1 22 100 DEBF DEBF DEcos 于是BF 所以异面直线与所成的角的大小为 BFDE 0 60 II 证明 由 2 1 1 2 1 AM 101CE 0AMCE020AD 可得 AMDCEAADAM ADCEAMCE 0 ADCE平面 故又 因此 CDEAMDCDECE平面 所以平面平面而 III 0 D 0 CDE Eu CEu zyxu 则 的法向量为解 设平面 111 1 0 0 可得令 于是 ux zy zx 又由题设 平面的一个法向量为ACD 100 v 3 3 13 100 cos vu vu vu 所以 创新题型 用心 爱心 专心 4 1 如图 在棱长为 1 的正方体中 是侧棱上的一点 1111 ABCDABC D P 1 CC CPm 试确定 使直线与平面所成角的正切值为 mAP 11 BDD B3 2 在线段上是否存在一个定点 使得对任意的 在平面上的射影 11 ACQm 1 DQ 1 APD 垂直于 并证明你的结论 AP 参考答案 1 解析 本小题主要考查线面关系 直线与平面所成角的有关知识及空间想像能力和推 理运算能力 考查应用向量知识解决数学问题的能力 解法 ACACBDO 连设 1 APBGOG 1 与面BD D交于点 连 1111 PCBDD BBDD BAPCOG 因为面面面 故 所以 OGPC 1 22 m OGPC 又 111 AODB AOBBAOBDD B 所以面 故 11 AGOAPBDD B 即为与面所成的角 AB C D 1 A 1 B 1 C 1 D 用心 爱心 专心 5 在 即 Rt 2 2 tan3 2 2 AOGAGO m 中 1 3 m 故当时 直线 1 3 m AP 11 与平面BD DB所成的角的正切值为 2 依题意 要在上找一点 使得 11 A CQ 1 D QAP 可推测的中点即为所求的点 11 A C 1 OQ 因为 所以 1111 D OA C 111 D OAA 111 D QACC A 面 又 故 11 APACC A 面 11 D OAP 从而 111 D OAD PAP在平面上的射影与垂直 解法二 建立如图所示的空间直角坐标系 则 A 1 0 0 B 1 1 0 P 0 1 C 0 1 0 D 0 0 0 B1 1 1 1 D1 0 0 1 所以 1 1 1 0 0 0 1 BDBB 1 1 1 1 0 APm AC 又由的一个法向量 11 0 0AC BD