初二数学动点问题归类复习(含例题、练习及答案)

1 初二数学动点问题归类复习 含例题 练习及答案 初二数学动点问题归类复习 含例题 练习及答案 所谓 动点型问题 是指题设图形中存在一个或多个动点 它们在线段 射线或弧线上运动的一类开 放性题目 解决这类问题的关键是动中求静 灵活运用有关数学知识解决问题 关键 动中求静 数学思想 分类思想 数形结合思想 转化思想 本文将初一至二学习过的有关知识 结合动点问题进行归类复习 希望对同学们能有所帮助 一 等腰三角形类 因动点产生的等腰三角形问题一 等腰三角形类 因动点产生的等腰三角形问题 例例 1 1 2013 年上海市虹口区中考模拟第 25 题 如图 1 在 Rt ABC 中 A 90 AB 6 AC 8 点 D 为边 BC 的中点 DE BC 交边 AC 于点 E 点 P 为射线 AB 上的一动点 点 Q 为边 AC 上的一动点 且 PDQ 90 1 求 ED EC 的长 2 若 BP 2 求 CQ 的长 3 记线段 PQ 与线段 DE 的交点为 F 若 PDF 为等腰三角形 求 BP 的长 图 1 备用图 思路点拨思路点拨 1 第 2 题 BP 2 分两种情况 2 解第 2 题时 画准确的示意图有利于理解题意 观察线段之间的和差关系 3 第 3 题探求等腰三角形 PDF 时 根据相似三角形的传递性 转化为探求等腰三角形 CDQ 解答 解答 1 在 Rt ABC 中 AB 6 AC 8 所以 BC 10 在 Rt CDE 中 CD 5 所以 315 tan5 44 EDCDC 25 4 EC 2 如图 2 过点 D 作 DM AB DN AC 垂足分别为 M N 那么 DM DN 是 ABC 的两条中位线 DM 4 DN 3 由 PDQ 90 MDN 90 可得 PDM QDN 因此 PDM QDN 所以 所以 4 3 PMDM QNDN 3 4 QNPM 4 3 PMQN 图 2 图 3 图 4 如图 3 当 BP 2 P 在 BM 上时 PM 1 此时 所以 33 44 QNPM 319 4 44 CQCNQN 如图 4 当 BP 2 P 在 MB 的延长线上时 PM 5 此时 所以 315 44 QNPM 1531 4 44 CQCNQN 3 如图 5 如图 2 在 Rt PDQ 中 3 tan 4 QDDN QPD PDDM 在 Rt ABC 中 所以 QPD C 3 tan 4 BA C CA 由 PDQ 90 CDE 90 可得 PDF CDQ 因此 PDF CDQ 当 PDF 是等腰三角形时 CDQ 也是等腰三角形 如图 5 当 CQ CD 5 时 QN CQ CN 5 4 1 如图 3 所示 此时 所以 44 33 PMQN 45 3 33 BPBMPM 如图 6 当 QC QD 时 由 可得 cos CH C CQ 5425 258 CQ 所以 QN CN CQ 如图 2 所示 257 4 88 此时 所以 47 36 PMQN 725 3 66 BPBMPM 不存在 DP DF 的情况 这是因为 DFP DQP DPQ 如图 5 图 6 所示 图 5 图 6 考点伸展 考点伸展 如图 6 当 CDQ 是等腰三角形时 根据等角的余角相等 可以得到 BDP 也是等腰三角形 PB PD 在 BDP 中可以直接求解 25 6 BP 二 直角三角形 因动点产生的直角三角形问题二 直角三角形 因动点产生的直角三角形问题 例例 2 2 2008 年河南省中考第 23 题 如图 1 直线和 x 轴 y 轴的交点分别为 B C 点 A 的4 3 4 xy 坐标是 2 0 1 试说明 ABC 是等腰三角形 2 动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动 同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动 运动的速 度均为每秒 1 个单位长度 当其中一个动点到达终点时 他们都停止运动 设 M 运动 t 秒时 MON 的 面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式 设点 M 在线段 OB 上运动时 是否存在 S 4 的情形 若存在 求出对应的 t 值 若不存在请 说明理由 在运动过程中 当 MON 为直角三角形时 求 t 的值 2 图 1 思路点拨 思路点拨 1 第 1 题说明 ABC 是等腰三角形 暗示了两个动点 M N 同时出发 同时到达终点 2 不论 M 在 AO 上还是在 OB 上 用含有 t 的式子表示 OM 边上的高都是相同的 用含有 t 的式子表 示 OM 要分类讨论 3 将 S 4 代入对应的函数解析式 解关于 t 的方程 4 分类讨论 MON 为直角三角形 不存在 ONM 90 的可能 解答 解答 1 直线与 x 轴的交点为 B 3 0 与 y 轴的交点 C 0 4 4 3 4 xy Rt BOC 中 OB 3 OC 4 所以 BC 5 点 A 的坐标是 2 0 所以 BA 5 因此 BC BA 所以 ABC 是等腰三角形 2 如图 2 图 3 过点 N 作 NH AB 垂足为 H 在 Rt BNH 中 BN t 所以 4 sin 5 B 4 5 NHt 如图 2 当 M 在 AO 上时 OM 2 t 此时 定义域为 0 t 2 2 11424 2 22555 SOM NHtttt 如图 3 当 M 在 OB 上时 OM t 2 此时 定义域为 2 t 5 2 11424 2 22555 SOM NHtttt 图 2 图 3 把 S 4 代入 得 2 24 55 Stt 2 24 4 55 tt 解得 舍去负值 1 211t 2 211t 因此 当点 M 在线段 OB 上运动时 存在 S 4 的情形 此时 211t 如图 4 当 OMN 90 时 在 Rt BNM 中 BN t BM 5t 3 cos 5 B 所以 解得 53 5 t t 25 8 t 如图 5 当 OMN 90 时 N 与 C 重合 5t 不存在 ONM 90 的可能 所以 当或者时 MON 为直角三角形 25 8 t 5t 图 4 图 5 考点伸展 考点伸展 在本题情景下 如果 MON 的边与 AC 平行 求 t 的值 如图 6 当 ON AC 时 t 3 如图 7 当 MN AC 时 t 2 5 图 6 图 7 三 平行四边形问题 因动点产生的平行四边形问题三 平行四边形问题 因动点产生的平行四边形问题 例例 3 3 2010 年山西省中考第 26 题 在直角梯形 OABC 中 CB OA COA 90 CB 3 OA 6 BA 分别以 OA OC 边所在直线为 x 轴 y 轴建立如图 1 所示的平面直角坐标3 5 系 1 求点 B 的坐标 2 已知 D E 分别为线段 OC OB 上的点 OD 5 OE 2EB 直线 DE 交 x 轴于点 F 求直线 DE 的解析式 3 点 M 是 2 中直线 DE 上的一个动点 在 x 轴上方的平面内是否存在另一点 N 使以 O D M N 为顶点的四边形是菱形 若存在 请求出点 N 的坐标 若不存在 请说明理由 图 1 图 2 思路点拨 思路点拨 1 第 1 题和第 2 题蕴含了 OB 与 DF 垂直的结论 为第 3 题讨论菱形提供了计算基 础 3 2 讨论菱形要进行两次 两级 分类 先按照 DO 为边和对角线分类 再进行二级分类 DO 与 DM DO 与 DN 为邻边 解答 解答 1 如图 2 作 BH x 轴 垂足为 H 那么四边形 BCOH 为矩形 OH CB 3 在 Rt ABH 中 AH 3 BA 所以 BH 6 因此点 B 的坐标为 3 6 3 5 2 因为 OE 2EB 所以 E 2 4 2 2 3 EB xx 2 4 3 EB yy 设直线 DE 的解析式为 y kx b 代入 D 0 5 E 2 4 得 解得 所以 5 24 b kb 1 2 k 5b 直线 DE 的解析式为 1 5 2 yx 3 由 知直线 DE 与 x 轴交于点 F 10 0 OF 10 DF 1 5 2 yx 5 5 如图 3 当 DO 为菱形的对角线时 MN 与 DO 互相垂直平分 点 M 是 DF 的中点 此时点 M 的坐 标为 5 点 N 的坐标为 5 5 2 5 2 如图 4 当 DO DN 为菱形的邻边时 点 N 与点 O 关于点 E 对称 此时点 N 的坐标为 4 8 如图 5 当 DO DM 为菱形的邻边时 NO 5 延长 MN 交 x 轴于 P 由 NPO DOF 得 即 解得 此 NPPONO DOOFDF 5 5105 5 NPPO 5NP 2 5PO 时点 N 的坐标为 2 5 5 图 3 图 4 考点伸展考点伸展 如果第 3 题没有限定点 N 在 x 轴上方的平面内 那么菱形还有如图 6 的情形 图 5 图 6 四 相似三角形 因动点产生的相似三角形问题四 相似三角形 因动点产生的相似三角形问题 例例 4 4 2013 年苏州中考 28 题 如图 点 O 为矩形 ABCD 的对称中心 AB 10cm BC 12cm 点 E F G 分别从 A B C 三点同时出发 沿矩形的边按逆时针方向匀速运动 点 E 的运动速度为 1cm s 点 F 的运动速度为 3cm s 点 G 的运动速度为 1 5cm s 当点 F 到达点 C 即点 F 与点 C 重合 时 三个 点随之停止运动 在运动过程中 EBF 关于直线 EF 的对称图形是 EB F 设点 E F G 运动的时间为 t 单位 s 1 当 t s 时 四边形 EBFB 为正方形 2 若以点 E B F 为顶点的三角形与以点 F C G 为顶点的三角形相似 求 t 的值 3 是否存在实数 t 使得点 B 与点 O 重合 若存在 求出 t 的值 若不存在 请说明理由 思路点拨 思路点拨 1 利用正方形的性质 得到 BE BF 列一元一次方程求解即可 2 EBF 与 FCG 相似 分两种情况 需要分类讨论 逐一分析计算 3 本问为存在型问题 假设存在 则可以分别求出在不 同条件下的 t 值 它们互相矛盾 所以不存在 解答 解答 1 若四边形 EBFB 为正方形 则 BE BF 即 10 t 3t 解得 t 2 5 2 分两种情况 讨论如下 若 EBF FCG 则有 即 解得 t 2 8 若 EBF GCF 则有 即 解得 t 14 2 不合题意 舍去 或 t 14 2 当 t 2 8s 或 t 14 2 s 时 以点 E B F 为顶点的三角形与以点 F C G 为顶点的三角形 相似 3 假设存在实数 t 使得点 B 与点 O 重合 如图 过点 O 作 OM BC 于点 M 则在 Rt OFM 中 OF BF 3t FM BC BF 6 3t OM 5 由勾股定理得 OM2 FM2 OF2 即 52 6 3t 2 3t 2解得 t 过点 O 作 ON AB 于点 N 则在 Rt OEN 中 OE BE 10 t EN BE BN 10 t 5 5 t ON 6 4 由勾股定理得 ON2 EN2 OE2 即 62 5 t 2 10 t 2解得 t 3 9 3 9 不存在实数 t 使得 点 B 与点 O 重合 考点伸展 考点伸展 本题为运动型综合题 考查了矩形性质 轴对称 相似三角形的判定性质 勾股定理 解方程 等知识点 题目并不复杂 但需要仔细分析题意 认真作答 第 2 问中 需要分类讨论 避免漏解 第 3 问是存在型问题 可以先假设存在 然后通过推导出互相矛盾的结论 从而判定不存在 拓展练习 1 如图 1 梯形 ABCD 中 AD BC B 90 AB 14cm AD 18cm BC 21cm 点 P 从 A 开始沿 AD 边 以 1cm 秒的速度移动 点 Q 从 C 开始沿 CB 向点 B 以 2 cm 秒的速度移动 如果 P Q 分别从 A C 同时 出发 设移动时间为 t 秒 当 t 时 四边形是平行四边形 当 t 时 四边形是等腰梯形 1 题图 备用图 2 如图 2 正方形 ABCD 的边长为 4 点 M 在边 DC 上 且 DM 1 N 为对角线 AC 上任意一点 则 DN MN 的最小值为 2 题图 3 题图 3 如图 在Rt ABC 中 9060ACBB 2BC 点O是AC的中点 过点O的直线 l从与AC重合的位置开始 绕点O作逆时针旋转 交AB边于点D 过点C作CEAB 交直线l于点 E 设直线l的旋转角为 1 当 度时 四边形EDBC是等腰梯形 此时AD的长为 当 度时 四边形EDBC是直角梯形 此时AD的长为 2 当 90 时 判断四边形EDBC是否为菱形 并说明理由 4 在 ABC 中 ACB 90 AC BC 直线 MN 经过点 C 且 AD MN 于 D BE MN 于 E 1 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时 求证 ADC CEB DE AD BE 2 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时 求证 DE AD BE 3 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时 试问 DE AD BE 具有怎样的等量关系 请写出这个等量关 系 并加以证明 5 数学课上 张老师出示了问题 如图 1 四边形ABCD是正方形 点E是边BC的中点 90AEF 且EF交正方形外角DCG 的平行线CF于点F 求证 AE EF 经过思考 小明展示了一种正确的解题思路 取AB的中点M 连接ME 则AM EC 易证 AMEECF 所以AEEF 在此基础上 同学们作了进一步的研究 1 小颖提出 如图 2 如果把 点E是边BC的中点 改为 点E是边BC上 除B C外 的任意一 点 其它条件不变 那么结论 AE EF 仍然成立 你认为小颖的观点正确吗 如果正确 写出证明过程 如果不正确 请说明理由 2 小华提出 如图 3 点E是BC的延长线上 除C点外 的任意一点 其他条件不变 结论 AE EF 仍然成立 你认为小华的观点正确吗 如果正确 写出证明过程 如果不正确 请说明理由 6 如图 射线 MB 上 MB 9 A 是射线 MB 外一点 AB 5 且 A 到射线 MB 的距离为 3 动点 P 从 M 沿射线 MB 方向以 1 个单位 秒的速度移动 设 P 的运动时间为 t 求 1 PAB 为等腰三角形的 t 值 2 PAB 为直角三角形的 t 值 3 若 AB 5 且 ABM 45 其他条件不变 直接写出 PAB 为直角三角形的 t 值 7 如图 1 在等腰梯形ABCD中 AD BC E是AB的中点 过点E作EF BC 交CD于点F 46ABBC 60B 求 1 求点E到BC的距离 2 点P为线段EF上的一个动点 过P作PM EF 交BC于点M 过M作MN AB 交折线 ADC于点N 连结PN 设EP x 当点N在线段AD上时 如图 2 PMN 的形状是否发生改变 若不变 求出 PMN 的周长 若改变 请说明理由 当点N在线段DC上时 如图 3 是否存在点 P 使PMN 为等腰三角形 若存在 请求出所有满足要求的x的值 若不存在 请说明理由 C B A E D 图 1 N M A B C D E M N图 2 A C B E D N M 图 3 5 8 如图 已知 ABC 中 10ABAC 厘米 8BC 厘米 点D为AB的中点 1 如果点 P 在线段 BC 上以 3cm s 的速度由 B 点向 C 点运动 同时 点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运 动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等 经过 1 秒后 BPD 与 CQP 是否全等 请说明理由 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等 当点 Q 的运动速度为多少时 能够使 BPD 与 CQP 全等 2 若点 Q 以 中的运动速度从点 C 出发 点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发 都逆时针沿 ABC 三边运动 求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 ABC 的哪条边上相遇 8 题图 9 题图 9 如图所示 在菱形 ABCD 中 AB 4 BAD 120 AEF 为正三角形 点 E F 分别在菱形的边 BC CD 上滑动 且 E F 不与 B C D 重合 1 证明不论 E F 在 BC CD 上如何滑动 总有 BE CF 2 当点 E F 在 BC CD 上滑动时 分别探讨四边形 AECF 和 CEF 的面积是否发生变化 如果不变 求出这个定值 如果变化 求出最大 或最小 值 10 如图 在 AOB 中 AOB 90 OA OB 6 C 为 OB 上一点 射线 CD OB 交 AB 于点 D OC 2 点 P 从点 A 出发以每秒个单位长度的速度沿 AB 方向运动 点 Q 从点 C 出发以每秒 2 个单 位长度的速度沿 CD 方向运动 P Q 两点同时出发 当点 P 到达到点 B 时停止运动 点 Q 也随之停 止 过点 P 作 PE OA 于点 E PF OB 于点 F 得到矩形 PEOF 以点 Q 为直角顶点向下作等腰直角三角 形 QMN 斜边 MN OB 且 MN QC 设运动时间为 t 单位 秒 1 求 t 1 时 FC 的长度 2 求 MN PF 时 t 的值 3 当 QMN 和矩形 PEOF 有重叠部分时 求重叠 阴影 部分图形面积 S 与 t 的函数关系式 4 直接写出 QMN 的边与矩形 PEOF 的边有三个公共点时 t 的值 AD E B F C 图 4 备用 AD E B F C 图 5 备用 AD E B F C 图 1图 2 AD E B F C P N M 图 3 AD E B F C P N M 第 25 题 6 参考答案 参考答案 1 解 1 要使四边形 PQCD 为平行四边形 则 PD CQ AD 18cm 即 18 t 2t 解得 t 6 2 设经过 ts 四边形 PQCD 是等腰梯形 过 Q 点作 QE AD 过 D 点作 DF BC 四边形 PQCD 是 等腰梯形 PQ DC 又 AD BC B 90 AB EQ DF EQP FDC FC EP BC AD 21 18 3 又 AE BQ 21 2t EP t AE EP AP AE t 21 2t 3 得 t 8 经过 8s 四边形 PQCD 是等腰梯形 2 5 3 解 1 30 1 60 1 5 2 当 900时 四边形 EDBC 是菱形 ACB 900 BC ED CE AB 四边形 EDBC 是平行四边形 在 Rt ABC 中 ACB 900 B 600 BC 2 A 300 AB 4 AC 2 3 AO 1 2 AC 3 在 Rt AOD 中 A 300 AD 2 BD 2 BD BC 又 四边形 EDBC 是平行四边形 四边形 EDBC 是菱形 4 解 1 ACD ACB 90 CAD ACD 90 BCE ACD 90 CAD BCE AC BC ADC CEB ADC CEB CE AD CD BE DE CE CD AD BE 2 ADC CEB ACB 90 ACD CBE 又 AC BC ACD CBE CE AD CD BE DE CE CD AD BE 3 当 MN 旋转到图 3 的位置时 DE BE AD 或 AD BE DE BE AD DE 等 ADC CEB ACB 90 ACD CBE 又 AC BC ACD CBE AD CE CD BE DE CD CE BE AD 5 解 1 正确 证明 在AB上取一点M 使AMEC 连接ME BMBE 45BME 135AME CF 是外角平分线 45DCF 135ECF AMEECF 90AEBBAE 90AEBCEF BAECEF AMEBCF ASA AEEF 2 正确 证明 在BA的延长线上取一点N 使ANCE 连接NE BNBE 45NPCE 四边形ABCD是正方形 ADBE DAEBEA NAECEF ANEECF ASA AEEF 6 解 解 1 作 AE BM 于 E 则 AE 3 AB 5 BE AB AE 4 MP t BP 9 t 若 AP AB 9 t 2 4 t 1 若 PA PB BP 1 2AB AB BP 9 t 1 2 5 5 t 9 5 2 9 5 2 舍去 若 BA BP 9 t 5 t 4 14 综上 t 1 4 9 5 2 14 2 若 APB 90 9 t 4 t 5 若 PAB 90 BP BA BA BE 9 t 5 5 4 t 11 4 综上 t 5 11 4 7 解 1 如图 1 过点E作EG BC 于点G E为AB的中点 1 2 2 BEAB 在Rt EBG 中 60B 30BEG 22 1 1213 2 BGBEEG 即点E到BC的距离为 3 2 当点N在线段AD上运动时 PMN 的形状不发生改变 PMEFEGEF PM EG EFBC EP GM 3PMEG 同理 4MNAB 如图 2 过点P作PHMN 于H MNAB 6030NMCBPMH 13 22 PHPM 3 cos30 2 MHPM A 则 35 4 22 NHMNMH 在RtPNH 中 2 2 22 53 7 22 PNNHPH PMN 的周长 374PMPNMN 当点N在线段DC上运动时 PMN 的形状发生改变 但MNC 恒为等边三角形 当PMPN 时 如图 3 作PRMN 于R 则MRNR 类似 3 2 MR 23MNMR MNC 是等边三角形 3MCMN 此时 6 1 32xEPGMBCBGMC 当MPMN 时 如图 4 这时3MCMNMP 此时 6 1353xEPGM 当NPNM 时 如图 5 30NPMPMN 则 120PMN 又60MNC 180PNMMNC 因此点P与F 重合 PMC 为直角三角形 tan301MCPM A 此时 6 1 14xEPGM 图 1 AD E B F C G 图 2 AD E B F C P N MG H 7 综上所述 当2x 或 4 或 53 时 PMN 为等腰三角形 8 解 解 1 1t 秒 3 13BPCQ 厘米 10AB 厘米 点D为AB的中点 5BD 厘米 又 8PCBCBPBC 厘米 835PC 厘米 PC BD 又 AB AC BC BPDCQP PQ vv BPCQ 又 BPDCQP BC 则 45BPPCCQBD 点P 点Q运动的时间 4 33 BP t 秒 515 4 4 3 Q CQ v t 厘米 秒 2 设经过x秒后点P与点Q第一次相遇 由题意 得 15 32 10 4 xx 解得 80 3 x 秒 点P共运动了 80 380 3 厘米 80 2 2824 点P 点Q在AB边上相遇 经过 80 3 秒点P与点Q第一次在边AB上相遇 9 解 1 证明 如图 连接 AC 四边形 ABCD 为菱形 BAD 120 BAE EAC 60 FAC EAC 60 BAE FAC BAD 120 ABF 60 ABC 和 ACD 为等边三角形 ACF 60 AC AB ABE AFC 在 ABE 和 ACF 中 BAE FAC AB AC ABE AFC ABE ACF ASA BE CF 2 四边形 AECF 的面积不变 CEF 的面积发生变化 理由如下 由 1 得 ABE ACF 则 S ABE S ACF S四边形 AECF S AEC S ACF S AEC S ABE S ABC 是定值 作 AH BC