2013届高三数学一轮复习讲义 正弦定理和余弦定理教案 新人教A版

用心 爱心 专心1 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 自主梳理 1 正弦定理 2R 其中R是三角形外接圆的 a sin A b sin B c sin C 半径 由正弦定理可以变形为 1 a b c sin A sin B sin C 2 a 2Rsin A b 2Rsin B c 2Rsin C 3 sin A sin B sin C 等形式 以解决不同的 a 2R b 2R c 2R 三角形问题 2 余弦定理 a2 b2 c2 2bccos A b2 a2 c2 2accos B c2 a2 b2 2abcos C 余弦定理可以变形为 cos A cos b2 c2 a2 2bc B a2 c2 b2 2ac cos C a2 b2 c2 2ab 3 S ABC absin C bcsin A acsin B a b c r r是三角形内切圆的 1 2 1 2 1 2 abc 4R 1 2 半径 并可由此计算R r 4 在解三角形时 正弦定理可解决两类问题 1 已知两角及任一边 求其它边或角 2 已知两边及一边的对角 求其它边或角 情况 2 中结果可能有一解 二解 无解 应注意区分 余弦定理可解决两类问题 1 已知两边及夹角或两边及一边对角的问题 2 已知 三边问题 解三角形时 三角形解的个数的判断 在 ABC中 已知a b和A时 解的情况如下 A为锐角 A为钝角或直 角 图形 关系 式 a bsin A bsin A ab 用心 爱心 专心2 解的 个数 一解两解一解一解 5 判断三角形的形状特征 必须从研究三角形的边角关系入手 充分利用正 余弦定理进行转化 即化边为角或 化角为边 边角统一 等腰三角形 a b或A B 直角三角形 b2 c2 a2 或 A 90 钝角三角形 a2 b2 c2 或 A 90 锐角三角形 若a为最大边 且满足 a2 b2 c2 或A为最大角 且 A 90 6 由正弦定理容易得到 在三角形中 大角对大边 大边对大角 大角的正弦值也较 大 正弦值较大的角也较大 即A B a b sinA sinB 基础自测 1 在 ABC中 若A 60 a 则 3 a b c sin A sin B sin C 2 2010 北京 在 ABC中 若b 1 c C 则a 3 2 3 3 在 ABC中 a 15 b 10 A 60 则 cos B 4 ABC的三个内角A B C所对边的长分别为a b c 已知c 3 C a 2b 则 3 b的值为 5 已知圆的半径为 4 a b c为该圆的内接三角形的三边 若abc 16 则三角形的面 2 积为 A 2 B 8 C D 222 2 2 1 2 2 1 3 4 5 C 6 33 6 在 ABC中 a b c分别为角A B C的对边 若a b c成等差数列 B 30 ABC的面积为 则b 3 2 解析 S ABC acsinB acsin30 ac 6 1 2 1 2 3 2 又a b c成等差数列 故 2b a c 由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB a c 2 2ac 2accos30 b2 4b2 12 6 得b2 4 2 b 1 333 7 在 ABC中 a b c分别为角A B C所对的边 若a 2bcosC 则此三角形一定是 用心 爱心 专心3 A 等腰直角三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等腰三角形或直角三角形 解析 由a 2bcosC得 sinA 2sinBcosC A B C sinA sin B C sin B C 2sinBcosC 即 sin B C 0 0 B 0 Cb A 60 或A 120 当A 60 时 C 180 45 60 75 c bsin C sin B 6 2 2 当A 120 时 C 180 45 120 15 c bsin C sin B 6 2 2 2 B 60 C 75 A 45 由正弦定理 a sin A b sin B c sin C 得b 4 c 4 4 b 4 c 4 4 a sin B sin A6 a sin C sin A363 2 设锐角三角形ABC的内角A B C的对边分别为a b c 且a 2bsinA 求角B的大小 求 cosA sinC的取值范围 解析 由a 2bsinA 根据正弦定理得 sinA 2sinBsinA 所以 sinB 由 ABC为锐角三角形得B 1 2 6 cosA sinC cosA sin A cosA sin A 6 6 cosA cosA sinA sin A 1 2 3 23 3 由 ABC为锐角三角形知 A B 又 B 2 2 2 2 6 3 A sin A 2 3 3 5 6 1 2 3 3 2 用心 爱心 专心4 由此有 sin A 所以 cosA sinC的取值范围为 3 23 3 3 23 3 2 3 2 3 2 点评 解决这类问题的关键是利用正弦定理和余弦定理 要么把角化成边 要么把边化成 角 然后再进行三角恒等变换得到y Asin x B型函数 从而求解单调区间 最 值 参数范围等问题 注意限制条件A B C 0 A B C 的应用 如本题中由 ABC为锐角三角形得到A B 从而推到 A 2 2 3 3 5 6 探究提高 1 已知两角一边可求第三角 解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求 解即可 2 已知两边和一边对角 解三角形时 利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该 角 这是解题的难点 应引起注意 变式训练 1 1 已知a b c分别是 ABC的三个内角A B C所对的边 若 a 1 b A C 2B 则角A的大小为 3 6 2 在 ABC中 若 tan A C 150 BC 1 则AB 1 3 3 在 ABC中 若a 50 b 25 A 45 则B 6 解析 2 在 ABC中 tan A C 150 1 3 A为锐角 sin A 又 BC 1 1 10 根据正弦定理得AB BC sin C sin A 10 2 3 由b a 得B A 由 a sin A b sin B 得 sin B bsin A a 25 6 50 2 2 3 2 0 B 180 B 60 或B 120 4 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c且满足csinA acosC 求角C的大小 求sinA cos B 的最大值 并求取得最大值时角A B的大小 3 4 解析 由正弦定理得 sinCsinA sinAcosC 因为 0 A 所以 sinA 0 从而 sinC cosC 又 cosC 0 所以 tanC 1 则C 4 由 1 知B A 3 4 于是sinA cos B sinA cos A 3 43 sinA cosA 2sin A 3 6 用心 爱心 专心5 0 A A 3 4 6 6 11 12 从而当A 即A 时 2sin A 取最大值 2 6 2 3 6 综上所述 sinA cos B 的最大值为 2 3 4 此时A B 3 5 12 5 如图 已知 ABC是边长为 1 的正三角形 M N分别是边AB AC上的点 线段MN 经过 ABC的重心G 设 MGA 3 2 3 试将 AGM AGN的面积 分别记为S1与S2 表示为 的函数 求y 的最大值与最小值 1 S2 1 1 S2 2 解析 因为G是边长为 1 的正三角形ABC的重心 所以AG MAG 2 3 3 2 3 3 6 由正弦定理 得GM GM sin 6 GA sin 6 3 6sin 6 则S1 GM GA sin 或 1 2 sin 12sin 6 1 6 3 cot 又 得GN GN sin 6 GA sin 6 3 6sin 6 则S2 GN GA sin 1 2 或 sin 12sin 6 1 6 3 cot y sin2 sin2 72 3 cot2 1 S2 1 1 S2 2 144 sin2 6 6 因为 所以 当 或 时 y取得最大值ymax 240 3 2 3 3 2 3 当 时 y取得最小值ymin 216 2 题型二 利用余弦定理求解三角形 例 2 在 ABC中 a b c分别是角A B C的对边 且 cos B cos C b 2a c 1 求角B的大小 2 若b a c 4 求 ABC的面积 13 解 1 由余弦定理知 用心 爱心 专心6 cos B cos C a2 c2 b2 2ac a2 b2 c2 2ab 将上式代入 得 cos B cos C b 2a c a2 c2 b2 2ac 2ab a2 b2 c2 b 2a c 整理得 a2 c2 b2 ac cos B a2 c2 b2 2ac ac 2ac 1 2 B为三角形的内角 B 2 3 2 将b a c 4 B 代入b2 a2 c2 2accos B 13 2 3 得b2 a c 2 2ac 2accos B 13 16 2ac ac 3 1 1 2 S ABC acsin B 1 2 3 3 4 探究提高 1 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本 题的关键 2 熟练运用余弦定理及其推论 同时还要注意整体思想 方程思想在解题过程中的运 用 变式训练 2 1 已知a b c分别是 ABC中角A B C的对边 且a2 c2 b2 ac 1 求角B的大小 2 若c 3a 求 tan A的值 解 1 a2 c2 b2 ac cos B a2 c2 b2 2ac 1 2 0 B B 3 2 方法一 将c 3a代入a2 c2 b2 ac 得b a 7 由余弦定理 得 cos A b2 c2 a2 2bc 5 7 14 0 Aa B A cos A 71 sin2A 5 7 14 tan A sin A cos A 3 5 方法三 c 3a 由正弦定理 得 sin C 3sin A B C A B A sin A 3sin A 3 2 3 2 3 sincos A cossin A 3sin A cos A sin A 3sin A 2 3 2 3 3 2 1 2 用心 爱心 专心7 5sin A cos A tan A 3 sin A cos A 3 5 2 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 且满足 cos A 2 2 5 5 3 1 求 ABC的面积 2 若b c 6 求a的值 解 1 cos cos A 2cos2 1 A 2 2 5 5 A 2 3 5 sin A 又 3 bccos A 3 bc 5 4 5 S ABC bcsin A 5 2 1 2 1 2 4 5 2 由 1 知 bc 5 又b c 6 根据余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A b c 2 2bc 2bccos A 36 10 10 20 3 5 a 2 5 在 ABC中 内角A B C所对边长分别为 a b c 8 BAC a 4 AB BC 1 求b c的最大值及 的取值范围 2 求函数f 2sin2 2cos2 的值 3 43 解析 1 8 BAC bccos 8 AB BC 又a 4 b2 c2 2bccos 42 即b2 c2 32 又b2 c2 2bc bc 16 即bc的最大值为 16 而bc 16 cos 8 cos 8 cos 1 2 0 0 3 2 f 2sin2 2cos2 1 cos 2 1 cos2 3 433 23 sin2 cos2 1 2sin 2 1 3 6 0 2 sin 2 1 3 6 6 5 6 1 2 6 当 2 即 时 f min 2 1 2 6 5 6 3 1 2 当 2 即 时 f max 2 1 1 3 6 2 6 点评 有关三角形中的三角函数求值问题 既要注意内角的范围 又要灵活利用基 本不等式 题型三 正 余弦定理的综合应用 用心 爱心 专心8 例 3 2011 浙江 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 已知 sin A sin C psin B p R R 且ac b2 1 4 1 当p b 1 时 求a c的值 5 4 2 若角B为锐角 求p的取值范围 解 1 由题设并由正弦定理 得Error 解得Error 或Error 2 由余弦定理 b2 a2 c2 2accos B a c 2 2ac 2accos B p2b2 b2 b2cos B 即p2 cos B 1 2 1 2 3 2 1 2 因为 0 cos B0 所以 p 6 22 探究提高 在已知关系式中 若既含有边又含有角 通常的思路是 将角都化成边或将 边都化成角 再结合正 余弦定理即可求角 变式训练 1 在 ABC中 内角A B C所对的边长分别是a b c 1 若c 2 C 且 ABC的面积为 求a b的值 33 2 若 sin C sin B A sin 2A 试判断 ABC的形状 解 1 c 2 C 由余弦定理c2 a2 b2 2abcos C 3 得a2 b2 ab 4 又 ABC的面积为 absin C ab 4 3 1 23 联立方程组Error 解得a 2 b 2 2 由 sin C sin B A sin 2A 得 sin A B sin B A 2sin Acos A 即 2sin Bcos A 2sin Acos A cos A sin A sin B 0 cos A 0 或 sin A sin B 0 当 cos A 0 时 0 A0 0 故故 coscos B B 所以所以B B 45 45 1 1 2 2 2 2 2 2 题型四 判断三角形的形状判断三角形的形状 一 判断三角形的形状 例 1 在 ABC中 a b c分别是三内角A B C的对边 已知 2asinA 2b c sinB 2c b sinC 1 求角A的大小 2 若 sinB sinC 1 试判断 ABC的形状 解析 1 由已知得 2a2 2b c b 2c b c 即a2 b2 c2 bc 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccosA cosA 1 2 A 0 180 A 120 2 由 1 得 sin2A sin2B sin2C sinBsinC 又 sinB sinC 1 得 sinB sinC 1 2 0 B 60 0 C 60 B C ABC是等腰的钝角三角形 点评 有关三角形形状的判定 途径一 探究内角的大小或取值范围确定形式 途径 二 计算边的大小或转化为仅关于边的关系式确定形式 例 4 在 ABC中 若 a2 b2 sin A B a2 b2 sin A B 试判断 ABC的形状 解 a2 b2 sin A B a2 b2 sin A B b2 sin A B sin A B a2 sin A B sin A B 2sin Acos B b2 2cos Asin B a2 即a2cos Asin B b2sin Acos B 方法一 由正弦定理知a 2Rsin A b 2Rsin B sin2Acos Asin B sin2Bsin Acos B 又 sinA sin B 0 sin Acos A sin Bcos B sin 2A sin 2B 在 ABC中 0 2A 2 0 2B 2 用心 爱心 专心10 2A 2B或 2A 2B A B或A B 2 ABC为等腰或直角三角形 方法二 由正弦定理 余弦定理得 a2b b2a b2 c2 a2 2bc a2 c2 b2 2ac a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 a2 b2 a2 b2 c2 0 a2 b2 0 或a2 b2 c2 0 即a b或a2 b2 c2 ABC为等腰或直角三角形 变式训练 4 1 已知在 ABC 中 则 ABC 的形状是 2 22 cos Abc c 解析 解析 cos cos2 2 A A 2 2 b b c c 2 2c c c co os s A A 1 1 2 2 b b c c 2 2c c cos cos A A 又又 即 即b b2 2 c c2 2 a a2 2 2 2b b2 2 a a2 2 b b2 2 c c2 2 b b c c b b2 2 c c2 2 a a2 2 2 2b bc c b b c c ABCABC为直角三角形 为直角三角形 探究提高 利用正弦 余弦定理判断三角形形状时 对所给的边角关系式一般都要先化为 纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系 再判断 2 设 ABC的内角A B C的对边长分别为a b c 且 3b2 3c2 3a2 4bc 2 1 求 sin A的值 2 求的值 2sin A 4 sin B C 4 1 cos 2A 解 1 3b2 3c2 3a2 4bc b2 c2 a2 bc 2 4 2 3 由余弦定理得 cos A b2 c2 a2 2bc 2 2 3 又 0 A0 则a 2k b 3k c 4k 由余弦定理得 cosB 选 D a2 c2 b2 2ac 4k2 16k2 9k2 2 2k 4k 11 16 5 若 ABC的内角A B C所对的边a b c满足 a b 2 c2 4 且C 60 则ab 的值为 A B 8 4 C 1 D 4 33 2 3 解析 由已知得 Error 两式相减得 ab 选 A 4 3 二 填空题 6 在 ABC中 若b 5 B sin A 则a 4 1 3 5 2 3 7 若 ABC的面积为 BC 2 C 60 则边AB的长度等于 2 3 用心 爱心 专心12 8 在 ABC中 若AB AC 5 且 cos C 则BC 4 或 5 5 9 10 9 已知 ABC的一个内角为 120 且三边长构成公差为 4 的等差数列 则 ABC的 面积为 解析 不妨设A 120 c0 从而有 sin A 3 2 A 60 或 120 A是锐角 A 60 2 10 bcsin 60 bc 40 3 1 2 又 72 b2 c2 2bccos 60 b2 c2 89 11 在 ABC中 内角A B C的对边长分别为a b c 已知a2 c2 2b 且 sin B 4cos Asin C 求b 解 方法一 sin B 4cos Asin C 由正弦定理 得 4cos A b 4ccos A b 2R c 2R 由余弦定理得b 4c b2 c2 a2 2bc b2 2 b2 c2 a2 b2 2 b2 2b b 4 方法二 由余弦定理 得a2 c2 b2 2bccos A a2 c2 2b b 0 b 2ccos A 2 由正弦定理 得 又由已知得 4cos A b c sin B sin C sin B sin C b 4ccos A 解 得b 4 12 在 ABC中 A B为锐角 角A B C所对应的边分别为a b c 且 cos2A sinB 1 求A B的值 3 5 10 10 2 若a b 1 求a b c的值 2 用心 爱心 专心13 解析 1 A B为锐角 且 sinB cosB 10 101 sin2B 3 10 10 又 cos2A 1 2sin2A 3 5 sinA cosA 5 51 s