初中常用数学方法

初中数学常用方法第初中数学常用方法第 1 讲讲 一 配方法 在数学上特指将代数式通过凑配等手段得 到完全平方 完全立方等形式 从而再利 用诸如完全平方项非负等性质 达到解决 数学问题的目的 配方法主要用在多元代 数式求值 无理式的证明或化简求值等方 面 例 1 当为何值时 方程ba 有实根 0 2443 1 2 222 babaxax 例 2 已知 求有理式的值 01 2 xx 14 14 1 x x 例 3 试确定方程组的所有实数解 3 3 3 333 222 zyx zyx zyx 例 4 化简 1212 xxxx 1 x 例 5 若均为正数 且满足dcba 求证 以为边abcddcba4 4444 dcba 的四边形是菱形 作业 1 求满足条件的实数 0222855 22 xyxyyxyx 2 已知为非零实数 且dcba 0 2 22222 cbdcabdba 求证 d b c a b 3 解方程 0202164 2 xxx 4 思考题 已知且 求证 Rdcba 0 1 1 22 22 bdac dc ba 0 cdab 初中数学常用方法第初中数学常用方法第 2 讲讲 二 换元法 数学中的 元 是指未知数 用新的未知数去替换原条件中的未知数 数字 代数式从而使复杂的式子结构简 化 其实质是一种化繁为简 化难为易 的数学转化思想的具体体现 例 6 已知 试比较 9876012345 9876504321 M 9876012346 9876504322 N 的大小 NM 例 7 已知一个六位数 若将此数乘以abcde1 所得新数恰好为 求此数 31abcde 例 8 若都是实数 且 cba 321 2 1 1 cba 求的最小值 222 cba 例 9 分解因式 1 2 1 2 2 abbaabba 2 xyyxxy 1 1 1 例 10 解方程组 8 1 2 33 1 y yx yx y x 作业 1 分解因式 222 4 2414 2411 xxxxx 2 解方程 xxxxx225525 2 3 设实数 求证 333 964 p21 p 初中数学常用方法第初中数学常用方法第 3 讲讲 三 待定系数法 根据多项式恒等式性质 先判断所求结果 的结构具有某种确定的形式 其中含有若 干待确定的系数 而最后根据题设条件通 过比较等式两边的对应项 列出若干关于 待定系数的方程 组 最后解该方程 组 得到各待定系数的值或找到他们之间的 某种关系 例 11 已知能被整rqxpxxx 464 234 393 23 xxx 除 求 rqp 方法 1 利用 mx 393 23 xxxrqxpxxx 464 234 待定系数法得 方法 2 利用辗转相除法 393 234 23 464 xxx rqxpxxx 可得 例 12 已知方程有两根为 1 和04129 24 xxx 2 解这个方程 解 待定系数法 2 1 4129 224 baxxxxxxx 例 13 若求 A B 的值 25 3 11 523xxx B x A 例 14 求满足及的不同的整yx 0yx 1992 数对的个数 yx 例 15 已知直线 经过点 与 轴的负l 4 1 Dx 半轴和 轴的正半轴分别交于点 A B 且y 直角的内切圆面积为 求直线 的函数AOB l 解析式 作业 1 一根弹簧 不挂物体时长 12CM 挂 上物体弹簧会伸长 在弹性限度内 弹簧 伸长的长度与所挂物体所受的重力成正比 若挂上 30N 物体后 弹簧总长为 13 5CM 求弹簧总长 CM 与所挂物体 N 之间的关系yx 式 2 已知二次函数的图像过原点 O 顶 点 B 的坐标为 开口向上 在图像上取 1 1 一点 A 使 求点 A 的坐标 90 AOB 3 已知满足等式的正实数能pqqp7 22 qp 使关与的多项式分解成两个一次yx 1 qypxxy 因式的积 试求的值 qp 初中数学常用方法第初中数学常用方法第 4 讲讲 四 分析与归纳 所谓归纳法 是先从研究各个特殊的 个 别的情形作出判断 再以这些判断为基础 从而总结出规律 得出一般或全体的结论 即扩大到对一般事物的判断的一种推理方 法 是一种由特殊到一般的推理方法 与 之对应的 从一般到特殊的推理方法称为 演绎法 例 16 在平面上有 条直线 其中每两条不n 平行 任三条不共点 问这 条直线可以将n 平面分成几部分 例 17 4 个小孩玩球时打碎了玻璃 老师 问 是谁把玻璃打碎了 宝宝说 是可可打碎的 可可说 是毛毛打碎 的 多多说 我没打碎玻璃 毛毛说 可可在说谎 如果他们 4 人中有只有一 人在说谎 那么谁打碎了玻璃 例 18 设 求的最小值 cba cxbxaxy 例 19 已知实数互不相等 且 zyx 0 xyz 22 zyzx 22 xzxy 求证 22 yxyz 例 20 证明 的和的末尾数字不 321n 可能是 2 4 7 9 初中数学常用方法第初中数学常用方法第 5 讲讲 五 数形结合思想 数与形是数学中两个最古老的问题 也是 最基本的研究对象 它们在一定的条件下 可以相互转化 如某些代数问题 三角问 题往往有几何背景 而借助其几何背景图 形的性质 可以使那些抽象的概念 复杂 的数量变得直观 以便于探求解题思路或 找到问题的结论 数形结合 不仅是一种 重要的解题方法 而且也是一种重要的思 维方法 因此它在中学数学中占有重要的 地位 例 21 设为小于 1 的正数 求证 ba 22 1 1 1 1 22222222 babababa 例 22 设为实数 且试cba 02 044 cbacba 比较 和 的大小 2 bac 例 23 已知均为实数 且edcba 求 的最大值 16 8 22222 edcba edcba e 例 24 若且 则方程有两0 acab 0 2 cbxax 个不相等的实根 例 25 两个同心圆的半径分别为与 6234 矩形 ABCD 的边 AB CD 分别为两圆的弦 则当矩形 ABCD 的面积最大时 矩形的周 长为 O A C B D 初中数学常用方法第初中数学常用方法第 6 讲讲 六 分类讨论思想 搞清下面四句话 1 为什么要分类 2 以什么标准分 类 3 分类结果怎么处理 4 可否 避免讨论 例 26 设函数 4 1 2 xxy 1 若 求 的取值范围 30 xy 2 若求 的取值范围31 xy 3 若时 求 1 axa 16 1 2 1 y a的值 例 27 已知在 22 444 aaaxxxf 上的最大值是 5 求的值 10 x a 变式 已知在 22 444 aaaxxxf 上的最小值是 5 求 的值 10 xa 例 28 已知二次函数在 12 2 axaxxf 区间 3 2 上的最大值为 4 则a的值 变式 已知二次函数 在区间 3 2 上的 1 2 2 xaaxxf 最大值为 4 则a的值 例 29