初中数学知识点框架图

第一部分第一部分 数与式数与式 知识点知识点 2 aaa 定义 有理数和无理数统称实数 有理数 整数与分数 分类 无理数 常见类型 开方开不尽的数 与有关的数 无限不循环小数 法则 加 减 乘 除 乘方 开方 实数 实数运算 运算定律 交换律 结合律 分配律 数轴 比较大小 相反数 倒数 负倒数 科学记数法 相关概念 有效数字 平方根与算术平方根 立方根 非负式子 单项式 系数与次数 分类 多项式 整式 数与式 0 1 1 m mnm nmnm nm nmnmmmmp m p aa aaaaaaaaaba baa bba 次数与项数 加减法则 加减法 去括号 添括号 法则 合并同类项 幂的运算 单项式单项式 单项式多项式 多项式多项式 乘法运算 单项式单项式 多项式单项式 混合运算 先乘方开方 再乘除 最后算加减 同级运算自左至右顺序计算 括号优先 22 222 2 ab abab abaabb aa m aam bb m bbm 平方差公式 乘法公式 完全平方公式 分式的定义 分母中含可变字母 分式分式有意义的条件 分母不为零 分式值为零的条件 分子为零 分母不为零 分式分式的性质 通分与约分的根据 通分 约分 加 减 乘 除 分式的运算先化简再求值 整式与分式 化简求值 22 0 0 0 0 a a a a aaa a a 的通分 符号变化 整体代换求值 定义 式子 叫二次根式二次根式的意义即被开方数大于等于 二次根式的性质 最简二次根式 分解质因数法化简 二次根式二次根式的相关概念同类二次根式及合并同类二次根式 分母有理化 单项式与多项式 型 加减法 先化最简 再合并同类二次 二次根式的运算 22 222 2 2 aa abab bb abab ab aabbab xab xabxa xb 根式 乘除法 结果化简 定义 与整式乘法过程相反 分解要彻底 提取公因式法 注意系数与相同字母 要提彻底 平方差公式 分解因式公式法 方法 完全平方公式 十字相乘法 分组分解法 对称分组与不对称分组 第二部分第二部分 方程与不等式方程与不等式 知识点知识点 2 定义与解 一元一次方程解法步骤 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 应用 确定类型 找出关键量 数量关系 定义与解 解法 代入消元法 加减消元法 二元一次方程 组 简单的三元一次方程组 方程 简单的二元二次方程组 定义与判别式 b 4ac 一元二次方程 解法 直接开平方法 配方法 求根公式法 因式分解法 定义与根 增根 分式方程 解法 去分母化为整 方程与不等式 1 2 3 式方程 解整式方程 验根 1 行程问题 2 工程 效 问题 3 增长率问题 增长率与负增长率 4 数字问题 数位变化 类型 5 图形问题 周长与面积 等积变换 6 销售问题 利润与利率 方程的应用 7 储蓄问题 利息 本息和 利息税 8 分配与方案问题 线段图示法 常用方法列表法 直观模型法 1 2 3 4 一般不等式解法 一元一次不等式 条件不等式解法 解法 借助数轴 不等式与不等式 不等式 组 不等式与方程 一元一次不等式组 应用不等式与函数 最佳方案问题 5 最后一个分配问题 第三部分第三部分 函数与图象函数与图象 知识点知识点 O x x 各象限内点的特点 x轴 纵坐标y 0 坐标轴上点的特点 y轴 横坐标x 0 平行于轴 y轴的线段长度的求法 大坐标减小坐标 直角坐标系 不共线的几点围成的多边形的面积求法 割补法 关于轴对称 x相同 y相反 对称点的坐标关于y轴对称 x相反 y相同 关于原点对称 x y都相反 正比例函数 y kx k 0 一点求解析式 函数表达式 一次函数 函数 11221212 112212 1 kk bb k k A 一 三象限角平分线 y x 二 四象限角平分线 y x 一次函数 y kx b k 0 两点求解析式 增减性 y kx与y kx b增减性一样 k 0时 x增大y增大 k 0 x增大y减小 平移性 y kx b可由y kx上下平移而来 若y k x b与y k x b 平行 则 垂直性 若y k x b与y k x b 垂直 则 求交点 00 0 00 yyxxx k yk x kk k 联立函数表达式解方程组 正负性 观察图像 与 时 的取值范围 图像在轴上方或下方时 的取值范围 表达式 一点求解析式 区域性 时 图像在一 三象限 时 图像在二 四象限 k 0在每个象限内 y随x的增大而减小 增减性 反比例函数性质k 0在每个象限内 y随x的增大而减小 恒值性 图形面积与值有关 对称性 既是 2 2 1212 0 0 0 y axbxca y a xkha y a xxxxaxxx 轴对称图形 又是中心对称图形 求交点 联立函数表达式解方程组求交点坐标 还可由图像比较函数的大小 一般式 其中 表达式 顶点式 其中 k h 为抛物线顶点坐标 交点式 其中 是函数图象与轴交点的横坐标 性质 二次函数 2 2 2 0 0 4 24 44 242 aa b a axyxy axyxy bacb aa bacbbacb aaa 最小值最大值 开口方向与大小 a 0向上 a 0向下 越大 开口越小 越小 开口越小 对称性 对称轴直线x 在对称轴左侧 增大减小 在对称轴右侧 增大增大 增减性 在对称轴左侧 增大增大 在对称轴右侧 增大减小 顶点坐标 最值 当a 0时 x y a 0时 x y 2 2 4 4 c a xy ac b bac ab abc 示意图 画示意图五要素 开口方向 顶点 对称轴 与 交点坐标 与 开口方向确定a的符号 抛物线与y轴交点纵坐标确定c的值 的符号 b的符号由a与对称轴位置有关 左同右异 符号判断 0与x轴有两个交点 0与x轴有两个交点 0与x轴无交点 当x 1时 y a b c的值 当x 1时 y a b c的值 求函数表达式 求交点坐标 函数应用 求围成的图形的面积 巧设坐标 比较函数的大小 第四部分第四部分 图形与几何图形与几何 知识要点知识要点 0 160160 直线 两点确定一条直线 线射线 线段 两点之间线段最短 点到直线的距离 平行线间的距离 角的分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 角的度量与比较 角 余角与补角的性质 同角的余角 补角 相等 等角的余角 补角 相等 角的位置关系 同位角 内错角 同旁内角 对顶角 邻补角 对顶角 对顶角相等 相交线几何初步 垂线 定义 垂直的判定 垂线段最短 平行 定义 在同一平面内 不相交的两条直线叫平行线 线性质 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 同位角相等或内错角相等或同旁内角互补 两直线平行 判定 平行于同一条直线的两条直线平行 平面内 垂直于同一条直线的两直线平行 000 000 000 R 133 30cos30 tan30 223 22 cos45 tan451 22 31 0cos60 tan303 22 R t 的对边的邻边的对边 定义 在t ABC 中 si n cos t an 斜边斜边的邻边 si n 三角函数 特殊三角函数值si n45 si n6 应用 要构造 才能使用三角函数 1 CS 2 0 按边分类 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 分类 按角分类 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三边关系 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 边 面积与周长 a b c 底高 三角形的内角和等于18 度 外角和等于360度 角三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角 中线 一条中线平分三角形的面积 一般三角形 角 线段 三角形 性质 角平分线上的点到角两边的距离相等 平分线判定 到角两边的距离相等的点在角的平分线上 内心 三角形三条角平分线的交点 到三边距离相等 高 高的作法及高的位置 可以在三角形的内部 边上 外部 中位线 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半 性质 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 中垂线判定 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上 外心 三角形三边垂直平分线的交点 60 60 60 到三个顶点的距离相等 等腰三角形的两腰相等 两底角相等 具有三线合一性质 是轴对称图形 性质 等边三角形的三边上均有三线合一 三边相等 三角形等都为度 有两边相等的三角形是等腰三角形 等腰三角形 有两角相等的三角形是等腰三角形 判定 有一个角为度的等腰三角形是等边三角形 有两个角是度的三角 0 2220 30 C90 形是等边三角形 一个角是直角或两个锐角互余 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 性质 直角三角形中 的锐角所对的直角边等于斜边的一半 勾股定理 两直角边的平方和等于斜边的平方 直角三角形 证一个角是直角或两个角互余 判定有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形 勾股定理的逆定理 若a b c 则 ASASASAASSSSHL 全等三角形的对应边相等 对应角相等 周长 面积也相等 性质 全等三角形全等三角形对应线段 角平分线 中线 高 中位线等 相等 判定 00 多边形 多边形的内角和为 n 2 180 外角和为360 定义 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形 直角梯形 性质 两腰相等 对角线相等 同一底上的两角相等 梯形 特殊梯形两腰相等的梯形是等腰梯形 等腰梯形 判定对角线相等的梯形是等腰梯形 同一底上的两角相等的梯形是等腰梯形 两组对边分别平 性质 平行四边形的 平行四边形 四边形 行且相等 两组对角分别相等 两条对角线互相平分 两组对边分别平行 一组对边平行且相等 判定 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等 对角线互相平分 共性 具有平行四边形的所有性质 性质 个性 对角线相等 四个角都是直角 矩形先证平行四边形 再证有一个直角 判定先证平行四边形 再证对角线相等 三个角是直角的四边形是矩形 1 S 2 共性 具有平行四边形的所有性质 性质 个性 对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角 四条边相等 菱形先证平行四边形 再证对角线互相垂直 判定先证平行四边形 再证一组邻边相等 四条边都相等的四边形是菱形 性质 具有平行四边形 矩形 菱形的所有性质 正方形证平行四边形矩形正方形 判定 证平行四边形菱形正方形 梯形 上底下底 面积求法 S S S S 高 中位线高 平行四边形 底高 矩形 长宽 菱形 底高 对角线乘积的一半 正方形 边长边长 对角线乘积的一半 点在圆外 d r 点与圆的三种位置关系点在圆上 d r 点在圆内 d r 弓形计算 弦 弦心距 半径 拱高 之间的关系 圆的轴对称性定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理 推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分线所对的弧 在同圆或等圆中 两条弧 两条弦 两个圆心角 两个圆周角 五组量的关系 两条弦心距中有一组量相等 则其余的各组两也分别 圆的中心对称性 圆 0 0 90 90 ABCDPPA PAPC PD AA 相等 同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半 圆周角与圆心角半圆 或直径 所对的圆周角是 的圆周角所对的弦是直径 所对的弧是半圆 相交线定理 圆中两弦 相交于点 则 圆中两条平行弦所夹的弧相等 相离 d r 直线和圆的三种位置关系相切 d r 距离法 相交 d r 性质 圆的切线垂直 圆的切线 直线和圆的位置关系 2 PA PBPOAPB PAPC PD A 于过切点的直径 或半径 判定 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 弦切角 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 切线长定理 如图 平分 切割线定理 如图 外心与内心 相离 外离 d R r 内含 d R r 圆和圆的位置关系相切 外切 d R r 内切 d R r 相交 R r d R r 圆的有关计算 2 2 nn 2 360180 n1 S 3602 1 S2 2 S lrr rlr r lrl rl rrl 弧长 弧长 侧 全 弧长公式 扇形面积公式 圆锥的侧面积 为底面圆的半径 为母线 圆锥的全面积 O P A B C D 第五部分第五部分 图形的变化图形的变化 知识点知识点 轴对称指两个图形之间的关系 它们全等 对应点的连线段被对称轴垂直平分 轴对称 折叠 对应线段所在的直线相交于对称轴上一点 或平行 轴对称 图形折叠后常用勾股定理求线段长 指一个图形 轴对称图形 轴对称图形被对称轴分成的两部分全等 平移前后两个图形全等 平移前后对应点的连线段相等且平行 或共线 平 移 平移前后的对应角相等 对应线段相等且平行 或 图形的变化 共线 平移的两个要素 平移方向 平移距离 旋转前后的两个图形全等 旋转前后对应点与旋转中心的连线段相等 且它们的夹角等于旋转角 旋 转 旋转前后对应角相等 对应线段相等 旋转的三要素 旋转中心 旋转方向 旋转角 大小 比例要适中 视图的画法 实线 虚线要画清 平行投影 平行光线下的投影 物体平行影子平行或共线 视图与投影 中心投影 点光源射出的光线下的投影 影子不平 投影 2 0 ABCACBCACBCACBC AB ac adbc bd acabcd bdbd acmabm kkbdn bdnbdn A 行 视点 视线 盲区 投影的计算 画好图形 相似三角形性质的应用 基本性质 比例的性质合比性质 等比性质 条件 黄金分割 线段被点分成 两线段 满足 相似形 CAB 则点为的一个黄金分割点 性质 相似多边形的对应边成比例 对应角相等 相似多边形 判定 全部的对应边成比例 对应角相等 对应角相等 对应边成比例 性质 对应线段 中线 高 角平分线 周长 的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 有两个角相等的两个三角形相似 相似图形 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 相似三角形判定 三边对应成比例的两个三角形相似 有一条直角边与 02 22 RtABCC90CDABACAD AB BCBD ABCDAD BD 斜边对应成比例的两个直角三角形相似 射影定理 在 中 则 如图 位似图形是一种特殊的相似图形 具有相似图形的一切性质 位似图形 位似图形对应点所确定的直线过位似中心 通过位似可以将图形放大或缩小 C A D B 第六部分第六部分 统计与概率统计与概率 知识要点知识要点 2 1 xx n 普查 总体与个体 研究对象中心词 两查 抽样调查 样本与容量 无单位的数量 折线图 发展趋势与波动性横纵轴坐标单位长度要统一 三图条形图 纵坐标起点为零高度之比等于频数或频率之比 扇形图 知道各量的百分比可用加权平均数求平均值 算术平均数 平均数参照平均数 加权平均数 三数 众数 可能不止一个 中位数 排序 定位 方差 s 统计与概率 三差 222 12 2 n xxxx nnn 一组数据整体被扩大倍 平均数扩大倍 方差扩大倍 一组数据整体被增加m 平均数增加m 方差不变 标准差 方差的算术平方根s 极差 最大数与最小数之差 方差与标准差均衡量数据的波动性 方差越小波动越小 必然事件 概率为1 确定事件 事件不可能事件 概率为0 不确定事件 概率在0与1之间 频率 两率 试验值 多次试验后频率会接近理论概率 比例法 数量之比 面积之比等 概率 求法列表法 返回与不返回的两步实验求概率 树状图 返回与不返回的两步或两步以上的试验求概率 初中数学常考知识点初中数学常考知识点 I 代数部分代数部分 一 数与式数与式 1 实数 1 实数的有关概念 常考点 倒数 相反数 绝 对值 选择第 1 题 2 科学记数法表示一个数 选择题第二题 3 实数的运算法则 混合运算 计算题 4 实数非负性应用 代数式求值 选择 填空 2 代数式 代数式化简求值 解答题 3 整式 1 整式的概念和简单运算 化简求值 解答题 2 利用提公因式法 公式法进行因式分解 选择填空必考题 4 分式 化简求值 计算 解答题 分式求取值范围 一般为填空题 易错 点 分母不为 0 5 二次根式 求取值范围 化简运算 填空 解答题 二 二 方程与不等式 方程与不等式 1 解分式方程 易错点 注意验根 一元二次方程 常考解答题 2 解不等式 解集的数轴表示 解不等式组解集 常考解答题 3 解方程组 列方程 组 解应用题 若为分式方程仍勿忘检验 必考解答 题 4 一元二次方程根的判别式 三 三 函数及其图像函数及其图像 1 平面直角坐标系与函数 1 函数自变量取值范围 并会求函数值 2 坐标系内点的特征 3 能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析 选择 8 题 2 一次函数 解答题 1 理解正比例函数 一次函数的意义 会画图像 2 理解一次函数的性质 3 会求解析式 与坐标轴交点 求与其他函数交点 4 解决实际问题 3 反比例函数 解答题 1 反比例函数的图像 意义 性质 两支 中心对称性 分类讨论 2 求解析式 与其他函数的交点 解决有关问题 如取值范围 面积问题 4 二次函数 必考解答题 1 图像 性质 开口 对称性 顶点坐标 对称轴 与坐标轴交点等 2 解析式的求解 与一元二次方程综合 根与交点 判别式 3 解决实际问题 4 与其他函数综合应用 求交点 5 与特殊几何图形综合 动点问题 解答题 II 空间与图形空间与图形 一 一 图形的认识图形的认识 1 立体图形 视图和展开图 选择题 1 几何体的三视图 几何体原型相互推倒 2 几何体的展开图 立体模型相互推倒 2 线段 射线 直线 解答题 1 垂直平分线 线段中点性质及应用 2 结合图形判断 证明线段之间的等量 和差 大小关系 3 线段长度的求解 4 两点间线段最短 解决路径最短问题 3 角与角分线 解答题 1 角与角之间的数量关系 2 角分线的性质与判定 辅助线添加 4 相交线与平行线 1 余角 补角 2 垂直平分线性质应用 3 平分线性质与判定 5 三角形 1 三角形内角和 外角 三