上海市普陀区2010届下学期高三数学第二次质量调研 理

用心 爱心 专心 上海市普陀区上海市普陀区 20102010 届下学期高三数学第二次质量调研届下学期高三数学第二次质量调研 理理 一 填空题 本大题满分一 填空题 本大题满分 5656 分 本大题共有分 本大题共有 1414 小题 要求直接将结果填写在答题纸对应小题 要求直接将结果填写在答题纸对应 的空格中的空格中 每个空格填对得每个空格填对得 4 4 分 填错或不填在正确的位置一律得零分分 填错或不填在正确的位置一律得零分 1 已知 则 21 1010 0 xx CC x 2 设函数的图像关于原点对称 且存在反函数 若已知 则 f x 1 fx 4 2f 1 2 f 3 函数的定义域是 1 3 log32yx 4 已知 则 3 cos 5 x 0 2 x tan2x 5 已知椭圆的参数方程为 则该椭圆的焦距为 4cos 5sin x y R 6 设 则方程的解集为 2 111 1 1 11 f xx x xR 0f x 7 不等式的解集为 0 1 2 xx 8 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上 其中底面的三个顶点在该球的一个大 圆上 则该正三棱锥的体积是 9 在复平面上 已知直线 上的点所对应的复数满足 则直线 的倾斜lz3zizi l 角为 结果反三角函数值表示 10 将一个半圆面围成圆锥的侧面 则其任意两条母线间夹角的最大值为 11 如图 平行四边形的两条对角线相交于点 点是ABCDMP 的中点 若 且 则MD2AB 1AD 60BAD AP CP 12 平面直角坐标系中 已知点 且 当 0 1 0P 1 2 1P 11 1 2 nnnn P PP P Nn 时 点无限趋近于点 则点的坐标为 n n PMM 13 如图 在中 以点为圆心 线段ABC 2AB 2BC 3 4 ABC B 第第 11 题图题图 P A DC M B 第第 13 题图题图 FA D C EB 用心 爱心 专心 的长为半径的半圆分别交所在直线于点 交线段于点 则弧的BCABEFACD A CD 长约为 精确到 0 01 14 在的二项展开式中任取项 表示取出的项中有 项系数为奇数的概率 9 1 x 2 i p2i 若用随机变量表示取出的项中系数为奇数的项数 则随机变量的数学期望 2i E 二 选择题 本大题满分 16 分 本大题共有 4 题 每题有且只有一个结论是正确的 必须 把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中 每题选对得 4 分 不选 选错或选出的代号 超过一个 不论是否都写在空格内 或者没有填写在题号对应的空格内 一律得零分 15 已知条件 条件 则是成立的 1p x 1 1q x pq A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 16 已知抛物线上的点到定点和到定直线的距离相等 2 0 xmy 0 4 4y 则 m A B C D 1 16 1 16 1616 17 四棱锥底面为正方形 侧面为等边三角形 且侧面底面PABCD PADPAD 点在底面正方形内运动 且满足 则点在正方形ABCDMABCDMPMC M 内的轨迹一定是 ABCD AB CD C AB CD A AB CD B AB CD D 18 若函数 的零点都在区间 10 10 上 则使得方程 3 f xxax 0a 有正整数解的实数的取值个数为 1000f x a A 1 B 2 C 3 D 4 三 解答题 本大题满分 78 分 本大题共有 5 题 解答下列各题必须在答题纸规定的方框 第第 17 题图题图 P A DC M B 用心 爱心 专心 内写出必要的步骤 19 本题满分 14 分 已知 aR 命题实系数一元二次方程的两根都是虚数 p 2 20 xax 命题存在复数同时满足且 qz2z 1za 试判断 命题和命题之间是否存在推出关系 请说明你的理由 pq 20 本题满分 14 分 其中第 1 小题 6 分 第 2 小题 8 分 已知数列的首项为 1 前项和为 且满足 数列满 n an n S 1 3 nn aS Nn n b 足 4 log nn ba 1 求数列的通项公式 n a 2 当时 试比较与的大小 并说明理由 Nn 12n bbb 21 1 2 n 21 本题满分 14 分 其中第 1 小题 8 分 第 2 小题 6 分 一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下 每天销售量为件 经市场调查后得b 到如下规律 若对产品进行电视广告的宣传 每天的销售量 件 与电视广告S 每天的播放量 次 的关系可用如图所示的程序框图来体现 n 1 试写出该产品每天的销售量 件 关于电视广告每天的播放量 次 Sn 的函数关系式 2 要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加 则每90 天电视广告的播放量至少需多少次 22 本题满分 18 分 其中第 1 小题 6 分 第 2 小题 4 分 第 3 小题 8 分 定义变换 可把平面直角坐标系上的点T cossin sincos xyx xyy 变换到这一平面上的点 特别地 若曲线上一点经变换 P x y P x y MP 公式变换后得到的点与点重合 则称点是曲线在变换下的不动T P PPMT 点 开开始始 b n输输入入 0 iSb 1ii 2i b SS in S输输出出 结结束束 是是 否否 第第 21 题图题图 用心 爱心 专心 1 若椭圆的中心为坐标原点 焦点在轴上 且焦距为 长轴顶点和短轴顶点Cx2 2 间的距离为 2 求该椭圆的标准方程 并求出当时 其两个焦点 经C 3 arctan 4 1 F 2 F 变换公式变换后得到的点和的坐标 T 1 F 2 F 2 当时 求 1 中的椭圆在变换下的所有不动点的坐标 3 arctan 4 CT 3 试探究 中心为坐标原点 对称轴为坐标轴的双曲线在变换 下的不动点的存在情况和个数 T cossin sincos xyx xyy 2 k kZ 23 本题满分 18 分 其中第 1 小题 5 分 第 2 小题 5 分 第 3 小题 8 分 在平面直角坐标系中 已知为坐标原点 点的坐标为 点的坐标为OA a bB 其中且 设 cos sinxx 22 0ab 0 f xOA OB 1 若 求方程在区间内的解集 3a 1b 2 1f x 0 2 2 若点是过点且法向量为的直线 上的动点 当时 设函数A 1 1 1 1n lxR 的值域为集合 不等式的解集为集合 若恒成立 求实数 f xM 2 0 xmx PPM 的最大值 m 3 根据本题条件我们可以知道 函数的性质取决于变量 和的值 当 f xab 时 试写出一个条件 使得函数满足 图像关于点对称 且在xR f x 0 3 处取得最小值 说明 请写出你的分析过程 本小题将根据你对问题探究的 6 x f x 完整性和在研究过程中所体现的思维层次 给予不同的评分 用心 爱心 专心 高三质量调研数学试卷参考答案及评分标准高三质量调研数学试卷参考答案及评分标准 PT04 PT04 一 填空题 每小题 4 分 满分 56 分 1 1 或 3 2 4 3 理 文 4 2 1 3 2 3 24 7 5 理 6 文 1 6 7 8 理 文 B 1 1 2 1 2 3 4 9 10 60 11 12 3 arctan 2 25 16 5 2 3 3 13 理 3 13 文 10 14 理 文 4 5 2 15 二 选择题 每题 4 分 满分 16 分 题号 15161718 答案 ADBC 三 解答题 19 满分 14 分 文 解 由命题为真 可得 p 2 802 2 2 2aa 由命题为真 可知复平面上的圆和圆有交点 q 22 4xy 2 2 1xay 于是由图形不难得到 3 11 3a 故两个命题同时为真的实数的取值范围是 a 2 2 11 2 2a 理 解 若命题为真 可得 p 2 802 2 2 2aa 若命题为真 可知复平面上的圆和圆有交点 q 22 4xy 2 2 1xay 于是由图形不难得到 3 11 3a 若令集合 集合 可知集合和集合之间互 2 2 2 2A 3 11 3B AB 不包含 于是命题和命题之间不存在推出关系 pq 用心 爱心 专心 20 文 解法一 联结 BD 在中 由余弦定理得ABC 222 2cosACABBCAB BCABC 2 424 210 2 所以 10AC 再由正弦定理得 2 2 5 2 sin sinsin510 ACAB ACB ABCACB 在中 因为 故 DBC BDBC 5 2arcsin 5 DBC 所以 A 5 2arcsin23 13 5 CD 解法二 如图 以点 B 为坐标原点 AB 所在的直线为x轴建立平面直角坐标系 由条件可得点的坐标为 点的坐标为 A 2 0 C 1 1 故直线的方程为 AC 1 2 3 yx 和圆方程联立得 22 2xy 22 2 1 2 3 xy yx 可解得和 即得点的坐标为 7 5 x 1x D 7 1 5 5 于是 得 故向量和的夹角的余弦值为 7 1 5 5 BD 1 1BC BC BD DBC 即 3 cos 5 BC BD DBC BCBD 3 arccos 5 DBC 所以 A 3 arccos23 13 5 CD 注 20 题理科解答参看文科 22 题 21 解 1 设电视广告播放量为每天 次时 该产品的销售量为i FA D C EB FA D C EB x y 用心 爱心 专心 i S0in Ni 由题意 1 0 1 N 2 i i i bi S b Sin i 于是当时 in 2 1 2 2222 n nn bbb Sbb Nn 所以 该产品每天销售量 件 与电视广告播放量 次 天 的函数关系式为Sn 1 2 N 2n Sbn 2 由题意 有 1 21 9 2n bb 210 n 4n Nn 所以 要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量增加 则每天广告的播放90 量至少需 4 次 22 文 解 1 由 nn Sa3 1 1 得 12 3 nn Sa 2 由 2 1 得 112 3 nnn aaa 整理得 4 1 2 n n a a Nn 所以 数列 是以 4 为公比的等比数列 2 a 3 a 4 a n a 其中 333 112 aSa 所以 2 1 1 3 4 2 N n n n a nn 2 由题意 4 0 1 log 3 2 2 N n n b nnn 当时 2n 123444 0log 30log 3 1log 32 n bbbbn 4 1 1 log 321 2 nnn 4 1 2log 3 1 1 2 n n 用心 爱心 专心 2 4 119 log1 242 nn n 所以 2 123 1 2 n n bbbb 注 理科 20 题续 又当时 1n 1 0b 21 10 2 n 故综上 当时 1n 2 123 1 0 2 n n bbbb 当时 2n 2 123 1 2 n n bbbb 3 由题意 直线 的方向向量为 假设向量恰为该直线的方向向l 2 1 d a nn a b 量 则有 2 nn ba 当时 向量不符合条件 1n 1 1a 1 0b 1 0a 当时 由2n 2 4 22 log 3 2 3 4n nn ban 2 4 log 93 424 n n 而此时等式左边的不是一个整数 而等式右边的是一个整数 4 log 9 2 3 424 n n 故等式不可能成立 所以 对任意的 不可能是直线 的方向向量 Nn a nn a bl 解法二 同解法一 由假设可得 2 nn ba 当时 2n 2 3 4N n n a 由 2 nn ba 2 4 2log4 n a nnn aaa 不妨设 即为 N n am 0122 1 339 m mmm CCCm 故等式不可能成立 所以 对任意的 不可能是直线 的方向向量 Nn a nn a bl 用心 爱心 专心 22 理 解 1 设椭圆的标准方程为 由椭圆定义知焦距C 22 22 1 xy ab 0ab 即 22 22cc 22 2ab 又由条件得 故由 可解得 22 4ab 2 3a 2 1b 即椭圆的标准方程为 C 2 2 1 3 x y 且椭圆两个焦点的坐标分别为和 C 1 2 0F 1 2 0F 对于变换 当时 可得T cossin sincos xyx xyy 3 arctan 4 43 55 34 55 xyx xyy 设和分别是由和的坐标由变换公式变 111 Fx y 222 Fxy 1 2 0F 1 2 0FT 换得到 于是 即的坐标为 1 1 434 2 2 0 555 343 2 2 0 555 x y 1 F 4 23 2 55 又即的坐标为 2 2 434 2 20 555 343 2 20 555 x y 2 F 4 2 3 2 55 2 设是椭圆在变换下的不动点 则当时 P x yCT 3 arctan 4 有 由点 即 得 43 55 34 55 xyx xyy 3xy P x yC 3 Py yC 2 2 3 1 3 y y 因而椭圆的不动点共有两个 分别为和 1 2 3 y xy C 3 1 2 2 31 22 3 设是双曲线在变换下的不动点 则由 P x yT 用心 爱心 专心 23 文 解 1 2 基本同理 22 题 略 3 由 2 可知 曲线在变换下的不动点需满足 MT P x y3xy 情形一 据题意 不妨设椭圆方程为 22 1 xy mn 0 0mn cossin sincos xyx xyy sin1 cos sin1 cos yx xy 因为 故 2 k kZ 1 cossin tan sin1 cos2 y x 不妨设双曲线方程为 由代入得 22 1 xy mn 0mn tan 2 yx 则有 2 2 2 2 tan tan 2 2 11 x nm x x mnmn 因为 故当时 方程无解 0mn 2 tan0 2 nm 2 2 tan 2 1 nm x mn 当时 要使不动点存在 则需 2 tan0 2 nm 2 2 0 tan 2 mn x nm 因为 故当时 双曲线在变换下一定有 2 个不动点 否则0mn 2 tan0 2 nm T 不存在不动点 进一步分类可知 i 当 时 即双曲线的焦点在轴上时 0n 0m x 22 tan0tan 22 n nm m 此时双曲线在变换下一定有 2 个不动点 T ii 当 时 即双曲线的焦点在轴上时 0n 0m y 22 tan0tan0 22 n nm m 此时双曲线在变换下一定有 2 个不动点 T 用心 爱心 专心 则有 22 2 3 9 11 yynm y mnmn 因为 所以恒成立 因此椭圆在变换下的不动点必定0 0mn 2 0 9 mn y nm T 存在 且一定有 2 个不动点 情形二 设双曲线方程为 22 1 xy mn 0mn 则有 22 2 3 9 11 yynm y mnmn 因为 故当时 方程无解 0mn 90nm 2 9 1 nm y mn 当时 故要使不动点存在 则需 90nm 2 0 9 mn y nm 因此 当且仅当时 双曲线在变换下一定有 2 个不动点 否则不存在不动点 0 90 mn nm T 进一步分类可知 i 当 时 0n 0m 190 9 m nm nm 9 m n 即双曲线的焦点在轴上时 需满足时 双曲线在变换下一定有 2 个不x09 m n T 动点 否则不存在不动点 ii 当 时 0n 0m 0909 9 mnm nm nmn 即双曲线的焦点在轴上时 需满足时 双曲线在变换下一定有 2 个不动y9 m n T 点 否则不存在不动点 23 理 解 1 由题意 sincosf xOA OBbxax 当 时 3a 1b 2 sin23cos22sin 21 3 f xxxx 则有或 1 sin 2 32 x 22 36 xk 5 22 36 xk kZ 即或 12 xk 4 xk kZ 用心 爱心 专心 又因为 故在内的解集为 0 2x 1f x 0 2 11523 412412 2 由题意 的方程为 在该直线上 故