概率论与混沌论

概率论与混沌理论的关系概率论与混沌理论的关系 摘要 通过对保守系统混沌运动的分析 试图说明混沌理论如何架起确定论与概率论由此及 彼的桥梁 并揭示了传统观念中确定论与概率论的对立是基于两种形而上学的信念 自然 界本质上是辩证统一的 确定论和概率论是对客观实在的互补描述 关键词 概率论 混沌理论 随机性 确定性与随机性 决定论与概率论 或者说必然性与偶然性的关 系一直是科学和哲学争论不休的问题 混沌理论的产生 继量子力 学之后又一次将这一问题的讨论推向高潮 人们相信 通过混沌理 论可以架起确定论和概率论由此及彼的桥梁 然而两者如何沟通 详细论述甚少 而且认为两者的对立是源于无限过程的理想化极限 的观点 仍没有超出历史上通过对保守系统混沌运动的分析 下面 我试图对这一问题进行探讨 并说明传统确定论与概率论的对立是 基于两种形而上学的信念 自然界本质上是辩证统一的 确定论与 概率论是对客观实在的互补描述 一 什么是混沌理论 混沌理论 是近三十年才兴起的科学革命 它与相对论与量子 力学同被列为二十世纪的最伟大发现和科学传世之作 量子力学质 疑微观世界的物理因果律 而混沌理论则紧接着否定了包括宏观世 界拉普拉斯 Laplace 式的决定型因果律 美国气象学家洛伦茨在 20 世纪 60 年代初研究天气预报中大气 流动问题时 揭示出混沌现象具有不可预言性和对初始条件的极端 敏感依赖性这两个基本特点 同时他还发现表面上看起来杂乱无章 的混沌 仍然有某种条理性 其对初始条件的极端敏感依赖性表现 为蝴蝶效应 今天北京一只蝴蝶展翅翩翩对空气造成扰动 可能导 致下个月纽约的大风暴 混沌的发现揭示了我们对规律与由此产生的行为之间 即原 因与结果之间 关系的一个基本性的错误认识 我们过去认为 确定性的原因必定产生规则的结果 但现在我们知道了 它们可以 产生易被误解为随机性的极不规则的结果 我们过去认为 简单的 原因必定产生简单的结果 这意昧着复杂的结果必然有复杂的原因 但现在我们知道了 简单的原因可以产生复杂的结果 我们认识到 知道这些规律不等于能够预言未来的行为 所以可以说 当人们做未来行为预测的时候 其实就是一种对未 来概率的预测 也就是说 发生某类事情的概率是多少 或者是发 生另一类概率的事是多大 天气预报也是如此 天气预报不仅是一个混沌的模型 更是一个难以预测的概率模型 所以很有必要研究混沌和概率论之间的关系 而概率论和确定论又 是一对矛盾的统一对立 因此研究他们三者之间的关系是很有必要 的 二 传统观念中的确定论与概率论 在物理学中存在两种类型的规律 一类是以牛顿力学为代表 它能够给出事件实现与否的准确预言 人们称之为力学决定论规律 或力学因果性规律 另一类是由量子力学和经典物理学中的统计决 定论规律或统计因果性规律 对于事件的实现与否 它只能以确定 的概率加以预言这两类自然界的规律 或者说这两类规律对于自然 界的描述 究竟何者为根本这个问题是长期以来在哲学的自然观层 次上进行争论的核心问题 从一定意义上说 力学规律性和统计规律性是两套基本精神相反 的描述长期以来 人们对于物理学规律的认识 受到力学决定论的 深刻影响 形成了根深蒂固的力学规律观不少人认为如著名的玻耳 兹曼定理所描述的动力学规律是自然界的基本规律 统计规律只是 对事物的因果联系不够了解的一种近似 或者说是大量遵循统计规 律的粒子的统计平均 统计学规律可以还原为动力学的规律 对于 确定性方程来说 随机性是一种外在的干扰 是一种涨落和噪音确 定性方程得出确定性结果 随机性方程则得出统计性结论 这表明 确定性和随机性 必然性和偶然性的关系是外在的 并列的 所以 统计决定论是以一种权益的方法进物理学统计力学 他没有驳倒拉 普拉斯决定论 而是将它作为客观世界的真实反映 这是科学所永 远追求的理想 量子力学的产生 由于测不准关系 微观客体在某时刻不能同 时具有坐标和动量的准确值 这种情况下用坐标和动量来确定微观 体系的状态 在原则上是没有意义的 所以必须用波函数来描述 由于波函数具有统计意义的内容 即波函数的模量平方洲给出粒子 在时刻 T 位置 R 出现的几率 微观粒子应遵从统计规律性 因此 在量子力学时代 人们相信微观粒子的运动规律本质上是统计性的 因而我们说量子力学的产生在一定程度上加剧了确定论和概率论的 分离 从一个极端走向另一个极端混沌理论的产生才真正架起了两 者互相沟通的桥梁下面我们将通过对混沌理论的分析来说明这一问 题 三 保守系统中的混沌运动 混沌理论的产生和发展 基本上是沿着两条路线展开的 实质上 反映了混沌的两个层次 第一 关于保守系统中的混沌运动 即哈 米顿函数不显含时问 在时问演化中遵从刘维定理的可积系统 当 其变得足够复杂时 会不会有随机性和统计描述的必要 甚至出现 不可逆性 这是确定论的牛顿力学方程的内随机性问题 即混沌的 微观层次 第二 耗散系统中的混沌现象 即描述运动流体 化学 反应介质的带有耗散项的非线性宏观方程 它们本身是纯确定论的 但其解在长时间范围内呈现出很混乱的需要统计描述的运动状态 这是混沌的宏观层次本文将通过对保守系统中混沌运动的分析 试 图说明混沌理论如何架起确定论和概率论由此及彼的桥梁 对于稍微复杂的系统 由于轨道的不稳定会使其出现随机行为 未来状态对初始条件极为敏感 从而使精确预测成为不可能 确定 论的牛顿力学方程具有内在的不确定性 随着人类认识的深化 从 服从牛顿确定论规律的可积系统到由定理做稳定性保证的近可积系 统 人们发现 能够通过正则变换而消除自由度间相互作用的可积 系统很难 现实中大多数系统都是不可积系统 其混沌行为有力地 破坏了牛顿力学所描绘的确定论的封闭的宇宙画面 从根本上冲击 着牛顿力学的自然观 为我们探讨确定论和概率论的关系提供了新 的科学依据 四 混沌理论架起了确定论与概率论的桥梁 传统观念中 一个确定论的牛顿力学方程 只要给定了初始条件 就可以根据方程决定系统以后的任一状态 宇宙就像有一个拉普拉 斯式的智能 这样的智能 将用同样一个公式囊括大至宇宙中最重 天体 小至最轻原子的运动 对于它来说 再没有什么更确定的东 西 未来和过去同样在它的眼前 未来状态的可预言性及对初始条 件的不敏感便构成了经典确定论力学的基本特征 只有一个具有大 量自由度 各自由度之间互相作用和传递能量的系统才会表现出统 计性质 然而混沌理论指出 自由度很小 甚至只有两个自由度的 系统都会出现内在随机性 混沌出现时 随机覆盖整个相空间 这 时作为牛顿力学基础的轨道概念便失去了意义 我们只能研究相点 和概率在某个区域出现的可能性 概率统计成了力学描述不可缺少 的部分 力学要扩大自己 统计进人到确定论力学的领域 混沌理论的产生 不仅使确定论牛顿力学发生了新的转折 而且 也堪称现代统计物理学发展中的一个里程碑 过去认为多体效应和 大数假设的统计性质不可能出现 其实在自由度不多的系统中 由 于非线性的相互作用也能出现以前研究的随机性 源于自由度的平 均和涨落 或者源于系统外部的无规则干扰 混沌理论揭示了一种 而且是广泛存在的随机性 内在随机性 由于力学系统内部轨道 的不稳定 传统物理学中所研究的随机性无论是长时间还是短时间 都是不可预测的 而内随机性只出现在系统的长时间范围内 短时 间的行为还是可以预测的 外随机运动只能确定到它的统计数字特 征 混沌运动却是确定论系统中出现的完全确定的运动 因此 我 们说混沌理论也扩大了统计物理学的领域 使其深人到了确定论的 动力学体系 确定论和概率论的描述 在混沌理论中沿着两个方面 终于走到了一起 从混沌理论的观点来看 严格决定论只描述了极少数的可积系统 即可以通过正则变换而消除相互作用的系统 但自然界是普遍联系 的 对于绝大多数系统 相互作用并不能通过正则变换而消除 因 此 在几乎所有存在初始条件和参数变化的实际系统中 都会出现 混沌 只是混沌也许很弱或被其他因素所掩盖 或者相互作用很小 短时间中此种不稳定不足以影响整个系统的行为 所以 我认为严 格决定论观点其实包含了两条形而上学的假定 1 可以用无限精确的测量来确定和区分力学方程所描述的运动轨 迹 2 确定论的方程 只要初始条件给定 其轨道无论在何时必然是 完全确定的 本身不包含任何不稳定因素 即使存在不稳定点其测 度也为零 第一条是从科学观层次上来说明的 其涉及某种无穷过程的理想 极限然而科学所涉及的都是有限现象 因此 科学所研究的一切过 程都在必然中包含着偶然性的成分 只要承认科学发展的任何阶段 都存在着测量精度限制 确定论轨道就成为不能确定的抽象 现在 大多数人仅从人类认识的意义上来批判严格的确定论 但是这一条 正像玻耳兹曼和玻恩一样仍然暗含了客观自然界在原则上是决定论 的 确定论描述和概率论描述的绝对对立仍源于人类认识的局限性 测量永远是不可能完善的 但牛顿力学给人的信念是只要近似知 道了一个系统的初始条件和自然规律 就可以计算系统的近似行为 事物的行为方式有一种收敛性 任意小的影响是不会放大为任意大 的结果的 近似和收敛的信念一直存在于传统科学哲学核心里 然 而混沌理论从自然界本身的意义上对经典信念的反驳 使我们真正 看到严格决定论只是一个武断的梦幻 混沌理论表明 在不可积系 统中存在着在相互作用下能发生重大变化的不稳定轨道 这类轨道 在系统演化中会迅速增多 且对初始条件极为敏感 对此类轨道 无论实验精度如何 都不可能预言和确定其长时间行为 可见 确 定性本身包含着不确定性 蕴涵着随机的种子 这种随机性决不会 因测量精度的无限提高而消除 另外还有许多最初不包含任何随机因素的确定论方程 如带有耗散 项的非线性迭代方程 由于相互作用 不同自由度间的耦合 或者 方程的迭代 使系统的复杂性不可逆地增强 不稳定和随机性也逐 渐增大 概率论的描述也就变得不可缺少 确定论方程中就会滋生 出随机性 这种随机性是复杂系统演化的必然结果 与测量毫无关 系 由此可见 随机性并非完全和偶然性相伴 确定性也并非永远 必然 因此 确定性之中包含随机性 严格的决定论描述要用概率 论来补充 即使存在一个拉普拉斯式的决定方程 它也无法从上述 确定论系统中得到混沌态时系统轨道的准确预言 偶然性与随机性 是客观世界的一种必然特性 它们并不能因人类知识的无限增加 技术手段的不断提高而消除 偶然性 随机性同必然性 确定性一 样是客观实在的固有特性 是事物运动发展中互相渗透 互相包含 的两个方面 纯粹的确定性和随机性只是出现在两个极限条件下 即当相互作用为零时 系统是完全确定的 而当相互作用趋于无穷 大时 系统才会表现出无限增加的复杂性和不稳定性 现实客观系 统的运动 都是确定性与随机性的对立统一 确定论与概率论是对 自然界必然性与偶然性的互补描述 两者不存在谁为最根本的问题 确定论反映了自然界发展的必然性方面 而概率论则是对事物偶然 性 随机性所遵从规律的描述 爱因斯坦指出 关于统计论与决定 论的对立问题 是这样的 从直接经验的观点来看 并没有精确的 决定论 这一点大家完全同意 问题在于对自然界的理论描述 究 竟是不是存在一个原则上完全非统计性的概念图像 通过对混沌理论的分析 我们认为即使原则上也不存在完全非统 计性的关于实在的概念的图像 严格的确定论与绝对的统计论都是 形而上学的两极 实际上两者是统一的 它们的关系是互补的 只 有将两者结合起来 才能描述出实在的完整图像 我们相信 科学 是走在一个没有终点的道路上 形而上学的目标在于吸引和激发着 人类理性不断地努力追求 但人类认识却处于无限的发展中 一旦 达到了形而上学的终极 它也就走到了僵化的尽头 成为辩证唯物 主义所批判的 形而上学 混沌理论在自然观层次上对确定性与 随机性的统一还带给我们更深刻的哲学启迪 康德因为 道德 的需要 认为自由意志必须有 否则便谈不上道德 又因为因果律 的存在 康德却不能依他自己所构筑的哲学体系的标准 逻辑地证 明自由意志的客观存在 他只能主观地设定它 而混沌理论把生气 勃勃的智力创造和主体能动性加人了曾被完全物化了的经典科学 加人了决定论 它既承认世界的因果联系的普遍性 又强调其特殊 性 既肯定有序 又肯定无序 并找到了两者独特的结合方式 既 肯定了事物的决定论结构 又论证了内在随机性 并引人了自由意 志 正如圣克鲁斯分校的混沌学家多内法默所说 在哲学层次上 混沌给我们的印象是一种定义了自由意志的实用方式 这种方式使自 由意志和决定论相统一 同时 它也使我们深切地感受到 科学作 为人类理解自身所处环境的一种文化活动 对象化活动 它所提 供