勾股定理综合复习讲义

勾股定理综合提高 知识梳理 1 勾股定理勾股定理 直角三角形两直角边的 等于 性质定理 2 勾股逆定理勾股逆定理 如果直角三角形三边长 a b c 满足 那么这个三角形 是 三角形 且 90 判定定理 当三角形三边为 a b c 且 c 为最大边时 若 a2 b2 c2 则 C 为 若 c2 a2 b2 则 C 为 若 c2 a2 b2 则 C 为 3 勾股数勾股数 满足条件 a2 b2 c2的三个正整数称为勾股数 常见的勾股数组勾股数组有 3 4 5 连续整数 5 12 13 6 8 10 连续偶数 7 24 25 8 15 17 9 12 15 9 40 41 10 24 26 11 60 61 15 20 25 这些勾股数组的整数倍整数倍仍然是勾股数组 勾股数通式巧总结 勾股数通式巧总结 通式一 3 4 5 6 8 10 是正整数 n3n4n5n 通式二 5 12 13 7 24 25 9 40 41 是正整数 12 nnn22 2 122 2 nnn 通式三 8 15 17 12 35 37 是正整数 n21 2 n1 2 nn 4 勾股定理的证明 5 直角三角形中的几个性质说明 1 直角三角形斜边上的中线等于 2 Rt 中 30 角所对的边等于 三边比为 3 45 的等腰直角三角形三边比为 b ab a b a b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a b a c G D A C B F EH A B C D 6 勾股树 勾股树 1 以直角三角形的三边为边向外作等边三角形 如图 探究S1 S2与S3的关系 等边三角形边长为 则高 面积 a 2 以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形 如图 探究S1 S2与S3的 关系 3 以直角三角形的三边为直径向形外作半圆 如图 探究S1 S2与S3的关系 7 最短距离问题最短距离问题 将立体图形展开 利用直角三角形的勾股定理求出最短距离 斜边长 8 非负性非负性 绝对值 0 a 平方项 或偶次方项 0 2 a 二次根式 0 a 9 数轴表示数 数轴表示数 如在数轴上作出表示 1 和 1 的点2351022 10 方法 见比设参见比设参 经典易错例题透析经典易错例题透析 类型一 勾股定理及其逆定理的应用类型一 勾股定理及其逆定理的应用 1 Rt ABC 中 斜边 BC 2 则 AB2 AC2 BC2的值为 A 8 B 4 C 6 D 无法计算 2 易错题 下列几组数据 0 6 0 8 1 12 13 5 7 8 15 40 41 9 其中是勾股数的有 A 4 组 B 3 组 C 2 组 D 1 组 3 已知直角三角形两直角边分别为 5 12 则三边上的高的和为 4 已知与互为相反数 则以为三边的2512 yxx2510 2 zzzyx 三角形是 三角形 5 已知 a b c 是 ABC 的三边长 且满足关系式 则 0 2 2 222 babac ABC 的形状为 6 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 3 将其绕 B 点顺时针旋转一周 则分别以 BA BC 为半径的圆形成一圆环 则该圆环的面积为 A B C D 3 9 6 7 图甲是我国古代著名的 赵爽弦图 的示意图 它是由四个全等的直角三角形围 成的 在 Rt ABC 中 若直角边 AC 6 BC 5 将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别 向外延长一倍 得到图乙所示的 数学风车 则这个风车的外围周长 图乙中的实线 是 类型二 利用勾股定理证明 计算类型二 利用勾股定理证明 计算 1 如图 直线 l 经过正方形 ABCD 的顶点 B 点 A C 到直线 l 的距离分别是 1 2 则正方形的边长是 2 在直线上依次摆着 7 个正方形 如图 已知倾斜放置的 3 个正方形的面积分别为 1 2 3 水平放置的 4 个正方形的面积是 S1 S2 S3 S4 则 S1 S2 S3 S4 3 如图 已知 ABC 中 ABC 90 AB BC 三角形的顶点在相互平行的三条 直线 l1 l2 l3上 且 l1 l2之间的距离为 2 l2 l3之间的距离为 3 求 AC 的长是多 少 4 在 ABC 中 C 90 点 M 是 BC 的中点 MD AB 于点 D 求证 AD AC BD 类型三 关于勾股定理的实际应用类型三 关于勾股定理的实际应用 1 如图 圆柱形容器中 高为 8cm 底面周长为 12cm 在容器内壁内壁离容器底部 2cm 的点 B 处有一蚊子 此时一只壁虎正好在容器外壁外壁 离容器上沿 2cm 与蚊子相对相对的点 A 处 则壁 虎捕捉蚊子的最短距离为 cm 容器厚度忽略不计 类型四 勾股定理与乘法公式变形综合应用类型四 勾股定理与乘法公式变形综合应用 1 巧思妙解题 在 Rt ABC 中 C AC BC 15 AB 11 则 Rt ABC 的 o 90 面积为 2 如图 Rt ABC 中 C 90 CD AB 于点 D AB 13 CD 6 则 AC BC 等 于 3 如右上图中大 小正方形的面积分别为 65 和 9 那么一个直角三角形的两直角边 的和等于 类型五 类型五 勾股定理与等腰直角三角形综合应用勾股定理与等腰直角三角形综合应用 1 如图 在中 AC BC D E 是边 AB 上的两点 ABC 90 ACB AD 3 BE 4 求的面积 45 DCEABC AB E D C 2 如图 在 ABC 中 ACB 90 AC BC P 是 ABC 内的一点 且 PB 1 PC 2 PA 3 求 BPC 的度数 3 如图 在四边形 ABCD 中 AB BC