初中平行四边形练习题

练习练习 1 一 选择题 一 选择题 3 10 30 3 10 30 1 下列性质中 平行四边形具有而非平行四边形不具有的是 A 内角和为 360 B 外角和为 360 C 不确定性 D 对角相等 2 ABCD 中 A 55 则 B C 的度数分别是 A A 135 55 B 55 135 C 125 55 D 55 125 3 下列正确结论的个数是 平行四边形内角和为 360 平行四边形对角线相等 平行四边形对角线互相平分 平行四边形邻角互补 A 1 B 2 C 3 D 4 4 平行四边形中一边的长为 10cm 那么它的两条对角线的长度可能是 A 4cm 和 6cm B 20cm 和 30cm C 6cm 和 8cm D 8cm 和 12cm 5 在ABCD 中 AB BC 11cm B 30 S ABCD 15cm2 则 AB 与 BC 的值可能是 A A A 5cm 和 6cm B 4cm 和 7cm C 3cm 和 8cm D 2cm 和 9cm 6 在下列定理中 没有逆定理的是 A 有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B 直角三角形两个锐角互余 C 全等三角形对应角相等 D 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 7 下列说法中正确的是 A 每个命题都有逆命题 B 每个定理都有逆定理 C 真命题的逆命题是真命题 D 假命题的逆命题是假命题 8 一个三角形三个内角之比为 1 2 1 其相对应三边之比为 A 1 2 1 B 1 1 C 1 4 1 D 12 1 22 9 一个三角形的三条中位线把这个三角形分成面积相等的三角形有 个 A 2 B 3 C 4 D 5 10 如图所示 在 ABC 中 M 是 BC 的中点 AN 平分 BAC BN AN 若 AB 14 AC 19 则 MN 的长为 A 2 B 2 5 C 3 D 3 5 二 填空题 二 填空题 3 10 30 3 10 30 11 用 14cm 长的一根铁丝围成一个平行四边形 短边与长边的比为 3 4 短边为 长边为 12 已知平行四边形的周长为 20cm 一条对角线把它分成两个三角形 周长都是 18cm 则这条对角线长是 cm 13 在ABCD 中 AB 的垂直平分线 EF 经过点 D 在 AB 上的垂足为 E 若ABCD 的周AA 长为 38cm ABD 的周长比ABCD 的周长少 10cm 则ABCD 的一组邻边长分别为AA 14 在ABCD 中 E 是 BC 边上一点 且 AB BE 又 AE 的延长线交 DC 的延长线于点 F 若A F 65 则ABCD 的各内角度数分别为 A 15 平行四边形两邻边的长分别为 20cm 16cm 两条长边的距离是 8cm 则两条短边的距 离是 cm 16 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的 和 那么这两个命题 是互为逆命题 17 命题 两直线平行 同旁内角互补 的逆命题是 18 在直角三角形中 已知两边的长分别是 4 和 3 则第三边的长是 19 直角三角形两直角边的长分别为 6 和 8 则斜边上的高为 斜边被高分成两 部分的长分别是 20 ABC 的两边分别为 5 12 另一边 c 为奇数 且 a b c 是 3 的倍数 则 c 应为 此三角形为 三角形 三 解答题 三 解答题 6 10 60 6 10 60 21 如右图所示 在ABCD 中 BF AD 于 F BE CD 于 E 若 A 60 A AF 3cm CE 2cm 求ABCD 的周长 A 22 如图所示 在ABCD 中 E F 是对角线 BD 上的两点 且 BE DF A 求证 1 AE CF 2 AE CF F C DA E B 23 如图所示 ABCD 的周长是 10 6 AB 的长是 5 DE AB 于 E DF CBA323 交 CB 的延长线于点 F DE 的长是 3 求 1 C 的大小 2 DF 的长 24 如图所示 ABCD 中 AQ BN CN DQ 分别是 DAB ABC BCD CDA 的平A 分线 AQ 与 BN 交于 P CN 与 DQ 交于 M 在不添加其它条件的情况下 试写出一个由上 述条件推出的结论 并给出证明过程 要求 推理过程中要用到 平行四边形 和 角平分线 这两个条件 25 已知 ABC 的三边分别为 a b c a n2 16 b 8n c n2 16 n 4 求证 C 90 26 如图所示 在 ABC 中 AC 8 BC 6 在 ABE 中 DE AB 于 D DE 12 S ABE 60 求 C 的度数 27 已知三角形三条中位线的比为 3 5 6 三角形的周长是 112cm 求三条中位线的 长 28 如图所示 已知 AB CD AN ND BM CM 求证 1 2 29 如图所示 ABC 的顶点 A 在直线 MN 上 ABC 绕点 A 旋转 BE MN 于 E CD MN 于 D F 为 BC 中点 当 MN 经过 ABC 的内部时 求证 1 FE FD 2 当 ABC 继 续旋转 使 MN 不经过 ABC 内部时 其他条件不变 上述结论是否成立呢 30 如图所示 E 是ABCD 的边 AB 延长线上一点 DE 交 BC 于 F 求证 S ABF S EFC A 答案答案 一 1 D 2 C 3 C 4 B 5 A 6 C 7 A 8 B 9 C 10 C 二 11 3cm 4cm 12 8 13 9cm 和 10cm 14 50 130 50 130 15 10 16 结论 题设 17 同旁内角互补 两直线平行 18 5 或 19 20 13 直角7 403250 41 41 41 414141 三 21 ABCD 的周长为 20cm 22 略 A 23 1 C 45 2 DF 24 略 5 6 2 25 略 26 C 90 27 三条中位线的长为 12cm 20cm 24cm 28 提示 连结 BD 取 BD 的中点 G 连结 MG NG 29 1 略 2 结论仍成立 提示 过 F 作 FG MN 于 G 30 略 练习练习 2 一 填空题一 填空题 每空 2 分 共 28 分 1 已知在 中 AB 14 BC 16 则此平行四边形的周长为 cmcmcm 2 要说明一个四边形是菱形 可以先说明这个四边形是 形 再说明 只需填写一种方法 3 如图 正方形 ABCD 的对线 AC BD 相交于点 O 那么图中共有 个等腰直角三角形 4 把 直角三角形 等腰三角形 等腰直角三角形 填入 下列相应的空格上 1 正方形可以由两个能够完全重合的 拼合而成 第 3 题 2 菱形可以由两个能够完全重合的 拼合而成 3 矩形可以由两个能够完全重合的 拼合而成 5 矩形的两条对角线的夹角为 较短的边长为 12 则对角线长为 60cmcm 6 若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形 那么这个梯形中除两个直角外 其 余两个内角的度数分别为 和 7 平行四边形的周长为 24 相邻两边长的比为 3 1 那么这个平行四边形较短的边长为cm cm 8 根据图中所给的尺寸和比例 可知这个 十 字标志的周长为 m 第 8 题 第 10 题 9 已知平行四边形的两条对角线互相垂直且长分别为 12和 6 那么这个平行四边形cmcm 的面积为 2 cm 10 如图 是四边形 ABCD 的对称轴 如果 AD BC 有下列结论 1 AB CD 2 AB CD 3 l ABBC 4 AO OC 其中正确的结论是 把你认为正确的结论的序号都填上 二 选择题二 选择题 每题 3 分 共 24 分 11 如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和 那么这个多边形是 A 三角形 B 四边形 C 五边形 D 六边形 12 下列说法中 错误的是 A 平行四边形的对角线互相平分 B 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C 平行四边形的对角相等 D 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 13 给出四个特征 1 两条对角线相等 2 任一组对角互补 3 任一组邻角互补 4 是轴对称图形 但不是中心对称图形 其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 14 四边形 ABCD 中 AD BC 那么 的值可能是 A 3 5 6 4 B 3 4 5 6 C 4 5 6 3 D 6 5 3 4 15 如图 直线 A是直线上的一个定点 线段 BC 在直线上移动 那么在移动过程中abab 的面积 ABC A 变大 B 变小 C 不变 D 无法确定 第 15 题 第 16 题 第 17 题 16 如图 矩形 ABCD 沿着 AE 折叠 使 D 点落在 BC 边上的 F 点处 如果 则 60 BAFDAE 等于 A B C D 15 30 45 60 17 如图 在中 AB AC 5 D 是 BC 上的点 DE AB 交 AC 于点 E DF AC 交 AB 于点 F ABC 那么四边形 AFDE 的周长是 A 5 B 10 C 15 D 20 18 已知四边形 ABCD 中 AC 交 BD 于点 O 如果只给条件 AB CD 那么还不能判定四形 ABCD 为平行四边形 给出以下四种说法 1 如果再加上条件 BC AD 那么四边形 ABCD 一定是平行四边形 2 如果再加上条件 那么四边形 ABCD 一定是平行四边形 BCDBAD 3 如果再加上条件 AO OC 那么四边形 ABCD 一定是平行四边形 4 如果再加上条件 那么四边形 ABCD 一定是平行四边形CABDBA 其中正确的说法是 A 1 2 B 1 3 4 C 2 3 D 2 3 4 三 解答题三 解答题 第 19 题 8 分 第 20 23 题每题 10 分 共 48 分 19 如图 中 DB CD AE BD 于 E 70 C 试求的度数 DAE A BC D E A B C D E F 第 19 题 20 如图 中 G是CD上一点 BG交AD延长线于E AF CG 100 DGE 1 试说明DF BG 2 试求的度数 AFD 第 20 题 21 工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行 1 先截出两对符合规格的铝合金窗料 如图 使 AB CD EF GH 2 摆放成如图 的四边形 则这时窗框的形状是 形 根据的数学道理是 3 将直角尺靠紧窗框的一个角 如图 调整窗框的边框 当直角尺的两条直角边与窗框 无缝隙时 如图 说明窗框合格 这时窗框是 形 根据的数学道理是 A B CD F E G 图 图 图 图 第 21 题 22 李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘 在它的四个角上均有一棵大柳树 李大伯开挖 池塘 使池塘面积扩大一倍 又想保持柳树不动 如果要求新池塘成平行四边形的形状 请问 李大伯愿望能否实现 若能 请画出你的设计 若不能 请说明理由 第 22 题 答案答案 1 60 2 平行四边形 有一组邻边相等 3 8 提示 它们是 ACDBCDABCABDAODCODBOCAOB 4 1 等腰直角三角形 2 等腰三角形 3 直角三角形 5 24 6 135 45 7 3 8 4 提示 如图所示 将 十 字标志的某些边 进行平移后可得到一个边长为 1的正方m 形 所以它的周长为 4 m 第 8 题 9 36 提示 菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半 10 1 2 4 提示 四边形 ABCD 是菱形 11 B 12 D 13 C 14 C 15 C 提示 因为的底边 BC 的长不变 BC 边上的高等于直线之间的距离也不变 所ABC ba 以的面积不变 ABC 16 A 提示 由于 BAFDAEFAEDAEFAE 90 2 1 所以通过折叠后得到的是由 17 B 提示 先说明 DF BF DE CE 所以四边形 AFDE 的周长 AF DF DE AE AF BF CE AE AB AC 18 C 19 因为 BD CD 所以又因为四边形ABCD是平行四边形 所以 AD BC 所以 CDBC 因为 DBCD 20709090 DDAEAEDBDAE中所以在直角 20 1 因为四边形 ABCD 是平行四边形 所以 AB DC 又 AF CG 所以 AB AF DC CG 即 GD BF 又 DG BF 所以四边形 DFBG 是平行四边形 所以DF BG 2 因为四边形 DFBG 是平行四边形 所以DF GB 所以 同理可得AFDGBF 所以 DGEGBF 100 DGEAFD 21 1 平行四边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2 矩 有一个是直角的平行四边形是矩形 22 如图所示 连结对角线AC BD 过A B C D分别作BD AC BD AC的平行线 且这些 平行线两两相交于E F G H 四边形EFGH即为符合条件的平行四边形 练习练习 3 1 把正方形绕着点 按顺时针方向旋转得到正方形 边与交于ABCDAAEFGFGBC 点 如图 试问线段与线段相等吗 请先观察猜想 然后再证明你的猜想 HHGHB 2 四边形ABCD DEFG都是正方形 连接AE CG 1 求证 AE CG 2 观察图形 猜想AE与CG之间的位置关系 并证明你的猜想 3 将平行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠 使点 C 与 A 重合 点 D 落到 D 处 折痕为 EF 1 求证 ABE AD F 2 连接 CF 判断四边形 AECF 是什么特殊四边形 证明 你的结论 挑战自我 挑战自我 1 2010 年眉山市 如图 每个小正方形的边长为 1 A B C是小正方形的顶点 则 ABC的度数为 A 90 B 60 C 45 D 30 2 2 2010 福建龙岩中考 下列图形中 单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是 A 正三角形B 正方形C 正五边形D 正六边形 3 2010 年北京顺义 若一个正多边形的一个内角是 120 则这个正多边形的边数是 A 9 B 8 C 6 D 4 4 4 2010 年福建福州中考 如图 4 在 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O 若 AC 14 BD 8 AB 10 则 OAB 的周长为 5 2010 年宁德市 如图 在 ABCD 中 AE EB AF 2 则 FC 等于 6 题 F E D CB A 6 2010 年滨州 如图 平行四边形 ABCD 中 ABC 60 E F 分别在 CD BC 的延长线上 AE BD EF BC DF 2 则 EF 的长为 7 7 2010 年福建晋江 如图 请在下列四个关系中 选出两个恰当的关系作为条件 推出 四边形ABCD是平行四边形 并予以证明 写出一种即可 关系 AD BC CDAB CA 180CB 已知 在四边形ABCD中 求证 四边形ABCD是平行四边 形 8 2010 年宁波市 如图 1 有一张菱形纸片 ABCD 8 AC6 BD 1 请沿着 AC 剪一刀 把它分成两部分 把剪开的两部分拼成一个平行四 边形 在图 2 中用实数画出你所拼成的平行四边形 若沿着 BD 剪开 请在图 3 中用实线画出拼成的平行四边形 并直接写出这两个平行四边 形的周长 2 沿着一条直线剪开 拼成与上述两种都不全等的平行四边形 请在图 4 中用实线画出拼成的平行四边形 注 上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等 周长为 周长为 9 9 2007 天津市 在梯形 ABCD 中 AD BC 对角线 AC BD 且 BD 12c m cmAC5 求梯形中位线的长 1010 2007 山东 如图 在周长为 20cm 的 ABCD中 AB AD AC BD相交于点 O OE BD交AD于E 则 ABE的周长为 A 4cm B 6cm C 8cm D 10cm 图 2 图 1 图 3 图 4 A BC D O E 10 题 1111 2006 山东 如图 在平行四边形ABCD中 AE BC于E AF CD于F EAF 45o 且AE AF 则平行四边形ABCD的周长是 2 2 直击中考 直击中考 1 2011 安徽 如图 D 是 ABC 内一点 BD CD AD 6 BD 4 CD 3 E F G H 分别是 AB AC CD BD 的中点 则四边形 EFGH 的周长是 答案 D A 7B 9C 10D 11 2 2011 山东威海 在 ABCD 中 点 E 为 AD 的中点 连接 BE 交 AC 于点 F 则 AF CF A 1 2B 1 3C 2 3D 2 5 答案 A 3 2011 四川重庆 下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成 其中 第 个图形一共有 1 个平行四边形 第 个图形一共有 5 个平行四边形 第 个图形一共 有 11 个平行四边形 则第 个图形中平行四边形的个数为 答案 C 图 图 图 图 A 55 B 42 C 41 D 29 4 2011 宁波市 一个多边形的内角和是 720 这个多边形的边数是 答案 C A 4 B 5 C 6 D 7 5 2011 广东汕头 正八边形的每个内角为 答案 A 120 B 135 C 140 D 144 6 2011 山东德州 图 1 是一个边长为 1 的等边三角形和一个菱形的组合图形 菱形边长 为等边三角形边长的一半 以此为基本单位 可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形 如图 2 依此规律继续拼下去 如图 3 则第 n 个图形的周长是 答 案 C A B C D 2n4n 1 2n 2 2n 7 2011 山东泰安 如图 边长为 6 的大正方形中有两个小正方形 若两个小正方形的 面积分别为 S1 S2 则 S1 S2的值为 答案 B A 17 B 17 C 18 D 19 8 2011 山东泰安 如图 点 O 是矩形 ABCD 的中心 E 是 AB 上的点 沿 CE 折叠后 点 B 恰好与点 O 重合 若 BC 3 则折痕 CE 的长为 答案 A A 2 B C D 6 33 9 2011 四川重庆 如图 正方形 ABCD 中 AB 6 点 E 在边 CD 上 且 CD 3DE 将 ADE 沿 AE 对折至 AFE 延长 EF 交边 BC 于点 G 连结 AG CF 下列结论 ABG AFG BG GC AG CF S FGC 3 其中正确结论的个数是 答案 C A 1 B 2 C 3 D 4 10 2011 浙江省嘉兴 如图 五个平行四边形拼成一个含 30 内角的菱形 EFGH 不重叠无缝隙 若 四个平行四边形面积的和为 14cm2 四边形 ABCD 面积是 11cm2 则 四个平行四边形周长的总和为 答案 A A 48cm B 36cm C 24cm D 18cm 11 2011 重庆江津 如图 四边形 ABCD 中 AC a BD b 且 AC BD 顺次连接四边形 ABCD 各边中点 得到四边形 A1B1C1D1 再顺次连接四边形 A1B1C1D1各边中点 得到四边形 A2B2C2D2 如此进行下去 得到四边形 AnBnCnDn 下列结论正确的有 答案答案 C 四边形 A2B2C2D2是矩形 四边形 A4B4C4D4是菱形 四边形 A5B5C5D5的周长 四边形 AnBnCnDn的面积是 4 ba 1 2 n ab A B C D 12 2011 湖北武汉市 如图 在菱形 ABCD 中 AB BD 点 E F 分 别在 AB AD 上 且 AE DF 连接 BF 与 DE 相交于点 G 连接 CG 与 BD 相交于点 H 下列结论 答案 D AED DFB S四边形 BCDG CG2 若 AF 2DF 则 BG 6GF 其中正确的结论 4 3 A 只有 B 只有 C 只有 D 第 12 题图 13 2011 山东烟台 如图 三个边长均为 2 的正方形重叠在一起 O1 O2是其中两个正 方形的中心 则阴影部分的面积是 答案 2 O2 O1 14 2011 浙江绍兴 取一张矩形纸片按照图 1 图 2 中的方法对折 并沿图 3 中过矩形顶 点的斜线 虚线 剪开 那剪下的 这部分展开 平铺在桌面上 若平铺的这个图形是正 六边形 则这张矩形纸片的宽和长之比为 答案 3 2 15 2011 甘肃兰州 如图 依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形 再依次连结 菱形各边的中点得到第二个矩形 按照此方法继续下去 已知第一个矩形的面积为 1 则 第 n 个矩形的面积为 答案 1 1 4n 16 2009 年宜宾 年宜宾 如图 菱形 ABCD 的对角线长分别为 以菱形 ABCD 各边的中点为ba 顶点作矩形 A1B1C1D1 然后再以矩形 A1B1C1D1的中点为顶点作菱形 A2B2C2D2 如此下 去 得到四边形 A2009B2009C2009D2009的面积用含 的代数式表示为 答ba 案 ab 2010 2 1 A B C D A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 A3 B3 C3 D3 图 20图 图 3 17 2009 黑龙江大兴安岭 黑龙江大兴安岭 如图 边长为 1 的菱形中 连结对ABCD 60DAB 角线 以为边作第二个菱形 使 连结 再以ACAC 11D ACC 60 1AC D 1 AC 为边作第三个菱形 使 按此规律所作的第个菱 1 AC 221 DCAC 60 12AC Dn 形的边长为 答案 1 3 n 18 2011 山东日照 16 4 分 正方形 ABCD 的边长为 4 M N 分别是 BC CD 上的两个 动点 且始终保持 AM MN 当 BM 时 四边形 ABCN 的面积最大 答案答案 2 19 2011 四川宜宾 如图 平 行四边形 ABCD 的对角线 AC BD 交于点 O E F 在 AC 上 G H 在 BD 上 AF CE BH DG 求证 GF HE 答案答案 证明 证明 平行四边形平行四边形 ABCD 中 中 OA OC 由已知 由已知 AF CE AF OA CE OC OF OE 同理得 同理得 OG OH 四边形四边形 EGFH 是平行四边形是平行四边形 GF HE 20 2011 四川成都 10 分 如图 已知线段 AB CD AD 与 BC 相交于点 K E 是线段 AD 上一动点 1 若 BK KC 求的值 5 2AB CD 2 连接 BE 若 BE 平分 ABC 则当 AE AD 时 猜想线段 AB BC CD 三者之间有怎 1 2 样的等量关系 请写出你的结论并予以证明 再探究 当 AE AD 而其余条件 1 n 2 n 不变时 线段 AB BC CD 三者之间又有怎样的等量关系 请直接写出你的结论 不必证 明 K E CD AB K E CD AB G F 答案答案 解 解 1 AB CD BK KC 5 2AB CD BK CK 5 2 2 2 如图所示 分别过 如图所示 分别过 C D 作作 BE CF DG 分别交于分别交于 AB 的延长线于的延长线于 F G 三点 三点 BE DG 点 点 E 是是 AD 的点 的点 AB BG CD FG CD AG 四边形四边形 CDGF 是平行四边是平行四边 形 形 CD FG ABE EBC BE CF EBC BCF ABE BFC BC B F AB CD BG FG BF BC AB BC CD 当当 AE AD 时 时 AB BC CD 1 n 2 n1 n 21 2011贵州安顺10分 如图 在 ABC中 ACB 90 BC的垂直平分线DE交BC于D 交AB于E F在DE上 且AF CE AE 说明四边形ACEF是平行四边形 当 B满足什么条件时 四边形ACEF是菱形 并说明理由 答案答案 1 证明 由题意知 证明 由题意知 FDC DCA 90 EF CA AEF EAC AF CE AE F AEF EAC ECA 又又 AE EA AEC EAF EF CA 四边形四边形 ACEF 是平行四边形是平行四边形 2 当 当 B 30 时 四边形时 四边形 ACEF 是菱形是菱形 理由是 理由是 B 30 ACB 90 AC DE 垂直平分垂直平分 BC BE CEAB 2 1 又又 AE CE CE AC CE 四边形四边形 ACEF 是菱形 是菱形 AB 2 1 22 2011 山东滨州 10 分 如图 在 ABC 中 点 O 是 AC 边上 端点除外 的一个动点 过点 O 作直线 MN BC 设 MN 交 BCA 的平分线于点 E 交 BCA 的外角平分线于点 F 连 接 AE AF 那么当点 O 运动到何下时 四边形 AECF 是矩形 并证明你的结论 答案答案 当点当点 O O 运动到运动到 ACAC 的中点 或的中点 或 OA OCOA OC 时 时 四边形四边形 AECFAECF 是矩形是矩形 2 2 分分 证明 证明 CE CE 平分平分 BCA 1 2 BCA 1 2 3 3 分分 又又 MN BC MN BC 1 3 1 3 3 2 3 2 EO CO EO CO 5 5 分分 同理 同理 FO CO 6FO CO 6 分分 EO FO EO FO 又又 OA OC OA OC 四边形四边形 AECFAECF 是平行四边形是平行四边形 7 7 分分 又又 1 2 1 2 4 5 4 5 1 5 2 4 1 5 2 4 8 8 分分 又又 1 5 2 4 180 2 4 90 9 1 5 2 4 180 2 4 90 9 分分 四边形四边形 AECFAECF 是矩形是矩形 10 10 分分 23 2011 湖北襄阳 10 分 如图 9 点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点 不与点 A B 重合 连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针方向旋转 90 得到线段 PE PE 交边 BC 于点 F 连接 BE DF 1 求证 ADP EPB 2 求 CBE 的度数 3 当的值等于多少时 PFD BFP 并说明理由 AB AP 答案 1 证明 证明 四边形四边形 ABCD 是正方形是正方形 A PBC 90 AB AD ADP APD 90 1 分分 DPE 90 APD EPB 90 ADP EPB 2 分分 2 过点 过点 E 作作 EG AB 交交 AB 的延长线于点的延长线于点 G 则 则 EGP A 90 3 分分 GP F E D C BA 又又 ADP EPB PD PE PAD EGP EG AP AD AB PG AP EG BG 4 分分 CBE EBG 45 5 分分 3 方法一 方法一 当当时 时 PFE BFP 6 分分 2 1 AB AP ADP FPB A PBF ADP BPF 7 分分 设设 AD AB a 则 则 AP PB BF BP 8 分分a 2 1 a AD AP 4 1 aAPADPD 2 5 22 aBFPBPF 4 5 22 9 分分 5 5 PF BF PD PB 又又 DPF PBF 90 ADP BFP 10 分分 方法二 方法二 假设假设 ADP BFP 则 则 6 分分 PF BF PD PB ADP FPB A PBF ADP BPF 7 分分 8 分分 BF AP PF PD 9 分分 BF AP BF PB PB AP 当当时 时 PFE BFP 10 分分 2 1 AB AP 24 2011 湖南永州 10 分 探究问题 方法感悟 如图 在正方形 ABCD 中 点 E F 分别为 DC BC 边上的点 且满足 EAF 45 连接 EF 求证 DE BF EF 感悟解题方法 并完成下列填空 将 ADE 绕点 A 顺时针旋转 90 得到 ABG 此时 AB 与 AD 重合 由旋转可得 AB AD BG DE 1 2 ABG D 90 ABG ABF 90 90 180 因此 点 G B F 在同一条直线上 EAF 45 2 3 BAD EAF 90 45 45 1 2 1 3 45 即 GAF 又 AG AE AF AF GAF EF 故 DE BF EF 方法迁移 如图 将沿斜边翻折得到 ADC 点 E F 分别为 DC BC 边上的点 且ABCRt EAF DAB 试猜想 DE BF EF 之间有何数量关系 并证明你的猜想 2 1 问题拓展 如图 在四边形 ABCD 中 AB AD E F 分别为 DC BC 上的点 满足 DABEAF 2 1 试猜想当 B 与 D 满足什么关系时 可使得 DE BF EF 请直接写出你的猜想 不必说明理 由 答案答案 EAF EAF GF DE BF EF 理由如下 理由如下 假设假设 BAD 的度数为的度数为 将 将 ADE 绕点绕点 A 顺时针旋转顺时针旋转得到得到 ABG 此时 此时 AB 与与 AD 重合 重合 m m 由旋转可得 由旋转可得 AB AD BG DE 1 2 ABG D 90 ABG ABF 90 90 18 0 因此 点因此 点 G B F 在同一条直线上 在同一条直线上 EAF 2 3 BAD EAF m 2 1 mmm 2 1 2 1 1 2 1 3 m 2 1 即即 GAF EAF 又又 AG AE AF AF GAF EAF GF EF 又又 GF BG BF DE BF DE BF EF 当当 B 与与 D 互补时 可使得互补时 可使得 DE BF EF 25 2007 南充 如图 等腰梯形ABCD中 AB 15 AD 20 C 30 点M N同时以 相同速度分别从点A 点D开始在AB AD 包括端点 上运动 1 设ND的长为x 用x表示出点N到AB的距离 并写出x的取值范围 2 当五边形BCDNM面积最小时 请判断 AMN的形状 解 解 1 1 过点 过点N N作作BABA的垂线的垂线NPNP 交 交BABA的延长线于点的延长线于点P P 1 1 分 分 由已知 由已知 AMAM x x ANAN 2020 x x 四边形四边形ABCDABCD是等腰梯形 是等腰梯形 ABAB CDCD D D C C 30 30 PANPAN D D 30 30 在在 Rt Rt APNAPN中 中 PNPN ANANsin sin PANPAN 2020 x x 1 2 即点即点N N到到ABAB的距