勾股定理-讲义

1 勾股定理勾股定理 一 知识梳理一 知识梳理 1 1 勾股定理 勾股定理 1 勾股定理 在任何一个直角三角形中 两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平 方 如果直角三角形的两条直角边长分别是 a b 斜边长为 c 那么 a2 b2 c2 2 勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中 3 勾股定理公式 a2 b2 c2 的变形有 a2 c2 b2 b2 c2 a2及 c2 a2 b2 4 由于 a2 b2 c2 a2 所以 c a 同理 c b 即直角三角形的斜边大于该直角三角形 中的每一条直角边 2 2 直角三角形的性质直角三角形的性质 1 有一个角为 90 的三角形 叫做直角三角形 2 直角三角形是一种特殊的三角形 它除了具有一般三角形的性质外 具有一些特殊 的性质 性质 1 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理 性质 2 在直角三角形中 两个锐角互余 性质 3 在直角三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半 即直角三角形的外心 位于斜边的中点 性质 4 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积 性质 5 在直角三角形中 如果有一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于 斜边的一半 在直角三角形中 如果有一条直角边等于斜边的一半 那么 这条直角边所对的锐角等于 30 3 3 勾股定理的勾股定理的应应用用 1 在不规则的几何图形中 通常添加辅助线得到直角三角形 2 在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法 关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型 画出准确的示意图 领会数形结合的思 想的应用 3 常见的类型 勾股定理在几何中的应用 利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度 由勾股定理演变的结论 分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形 以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和 勾股定理在实际问题中的应用 运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问 题 2 勾股定理在数轴上表示无理数的应用 利用勾股定理把一个无理数表示 成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边 4 4 平面展开 平面展开 最短路径问题最短路径问题 1 平面展开 最短路径问题 先根据题意把立体图形展开成平面图形后 再确定两点之 间的最短路径 一般情况是两点之间 线段最短 在平面图形上构造直角三角形解决 问题 2 关于数形结合的思想 勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合 所以我们在 解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型 二 经典例题 基础练习 1 1 勾股定理勾股定理 例 1 已知 ABC 中 AB 17 AC 10 BC 边上的高 AD 8 则边 BC 的长为 A 21 B 15 C 6 D 以上答案都不对 练练 1 1 在 ABC 中 AB 15 AC 13 BC 上的高 AD 长为 12 则 ABC 的面积为 A 84 B 24 C 24 或 84 D 42 或 84 练练 2 2 如图所示 AB BC CD DE 1 AB BC AC CD AD DE 则 AE A 1 B C D 2 2 2 等腰直角三角形等腰直角三角形 例 2 已知 ABC 是腰长为 1 的等腰直角三角形 以 Rt ABC 的斜边 AC 为直角边 画第 二个等腰 Rt ACD 再以 Rt ACD 的斜边 AD 为直角边 画第三个等腰 Rt ADE 依此类推 第 n 个等腰直角三角形的面积是 A 2n 2 B 2n 1 C 2n D 2n 1 3 练练 3 3 将一等腰直角三角形纸片对折后再对折 得到如图所示的图形 然后将阴影部分剪 掉 把剩余部分展开后的平面图形是 A B C D 3 3 等等边边三角形的性三角形的性质质 勾股定理 勾股定理 例 3 以边长为 2 厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形 以第二个正三角形的 高为边长作第三个正三角形 以此类推 则第十个正三角形的边长是 A 2 10厘米 B 2 9厘米 C 2 10厘米 D 2 9厘米 练练 4 4 等边三角形 ABC 的边长是 4 以 AB 边所在的直线为 x 轴 AB 边的中点为原点 建立 直角坐标系 则顶点 C 的坐标为 4 4 勾股定理的应用 勾股定理的应用 例 4 工人师傅从一根长 90cm 的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为 60cm 100cm 的 钢条一起焊接成一个直角三角形钢架 则截取下来的钢条长应为 A 80cm B C 80cm 或 D 60cm 练练 5 5 现有两根铁棒 它们的长分别为 2 米和 3 米 如果想焊一个直角三角形铁架 那么 第三根铁棒的长为 A 米 B 米 C 米或米 D 米 5 5 平面展开 平面展开 最短路径问题最短路径问题 例 5 如图 A 一圆柱体的底面周长为 24cm 高 BD 为 4cm BC 是直径 一只蚂蚁从点 D 出发沿着圆柱的表面爬行到点 C 的最短路程大约是 A 6cm B 12cm C 13cm D 16cm 4 练练 6 6 如图是一个长 4m 宽 3m 高 2m 的有盖仓库 在其内壁的 A 处 长的四等分 有一 只壁虎 B 处 宽的三等分 有一只蚊子 则壁虎爬到蚊子处最短距离为 m A 4 8 B C 5 D 三 课堂练习 1 已知两边的长分别为 8 15 若要组成一个直角三角形 则第三边应该为 A 不能确定 B C 17 D 17 或 2 在 ABC 中 A B C 的对边分别是 a b c 若 A B C 1 2 3 则 a b c A 1 2 B 1 2 C 1 1 2 D 1 2 3 3 直角三角形的两边长分别为 3 厘米 4 厘米 则这个直角三角形的周长为 A 12 厘米 B 15 厘米 C 12 或 15 厘米 D 12 或 7 厘米 4 有一棵 9 米高的大树 树下有一个 1 米高的小孩 如果大树在距地面 4 米处折断 未完 全折断 则小孩至少离开大树 米之外才是安全的 5 如图 一棵大树在一次强台风中于离地面 3m 处折断倒下 树干顶部在根部 4 米处 这 棵大树在折断前的高度为 m 6 在一个长为 2 米 宽为 1 米的矩形草地上 如图堆放着一根长方体的木块 它的棱长和 场地宽 AD 平行且大于 AD 木块的正视图是边长为 0 2 米的正方形 一只蚂蚁从点 A 处 到达 C 处需要走的最短路程是 米 精确到 0 01 米 5 四 能力提升 1 若一个直角三角形的三边长分别为 3 4 x 则满足此三角形的 x 值为 A 5 B C 5 或 D 没有 2 已知直角三角形有两条边的长分别是 3cm 4cm 那么第三条边的长是 A 5cm B cm C 5cm 或cm D cm 3 已知 Rt ABC 中的三边长为 a b c 若 a 8 b 15 那么 c2等于 A 161 B 289 C 225 D 161 或 289 4 一个等腰三角形的腰长为 5 底边上的高为 4 这个等腰三角形的周长是 A 12 B 13 C 16 D 18 5 长方体的长 宽 高分别为 8cm 4cm 5cm 一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B 则蚂蚁爬行的最短路径的长是 cm 6 如图所示一棱长为 3cm 的正方体 把所有的面均分成 3 3 个小正方形 其边长都为 1cm 假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm 则它从下底面点 A 沿表面爬行至侧面的 B 点 最少要用 秒钟 7 如图 一个长方体盒子 一只蚂蚁由 A 出发 在盒子的表面上爬到点 C1 已知 AB 5cm BC 3cm CC1 4cm 则这只蚂蚁爬行的最短路程是 cm 8 如图 今年的冰雪灾害中 一棵大树在离地面 3 米处折断 树的顶端落在离树杆底部 4 米处 那么这棵树折断之前的高度是 米 6 9 如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒 规格为 5 6 10 单位 cm 在上盖中 开有一孔便于插吸管 吸管长为 13cm 小孔到图中边 AB 距离为 1cm 到上盖中与 AB 相 邻的两边距离相等 设插入吸管后露在盒外面的管长为 hcm 则 h 的最小值大约为 cm 精确到个位 参考数据 1 4 1 7 2 2 10 如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图 根据图中的尺寸 单位 mm 计算 两圆孔中心 A 和 B 的距离为 mm 7 勾股定理勾股定理的逆定理的逆定理 一 知识点梳理一 知识点梳理 1 1 勾股定理 勾股定理的逆定理的逆定理 1 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a b c 满足 a2 b2 c2 那么这个三角形就 是直角三角形 说明 勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等 勾股定理的逆定理将数转化为形 作用是判断一个三角形是不是直角三角形 必须 满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断 2 运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角 然后进一步结合 其他已知条件来解决问题 注意 要判断一个角是不是直角 先要构造出三角形 然后知道三条边的大小 用较小 的两条边的平方和与最大的边的平方比较 如果相等 则三角形为直角三角形 否则不是 2 2 勾股定理的应用 勾股定理的应用 1 在不规则的几何图形中 通常添加辅助线得到直角三角形 2 在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法 关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型 画出准确的示意图 3 常见的类型 勾股定理在几何中的应用 利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度 由勾股定理演变的结论 分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形 以 斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和 勾股定理在实际问题中的应用 运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题 勾股定理在数轴上表示无理数的应用 利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是 两个正整数的直角三角形的斜边 3 3 平面展开 平面展开 最短路径问题最短路径问题 1 平面展开 最短路径问题 先根据题意把立体图形展开成平面图形后 再确定两点之 间的最短路径 一般情况是两点之间 线段最短 在平面图形上构造直角三角形解决 问题 2 关于数形结合的思想 勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合 所以我们在 解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型 8 4 4 方向角 方向角 1 方位角是表示方向的角 以正北 正南方向为基准 来描述物体所处的方向 2 用方位角描述方向时 通常以正北或正南方向为角的始边 以对象所处的射线为终边 故描述方位角时 一般先叙述北或南 再叙述偏东或偏西 注意几个方向的角平分 线按日常习惯 即东北 东南 西北 西南 3 画方位角 以正南或正北方向作方位角的始边 另一边则表示对象所处的方向的射线 5 5 三角形的面积 三角形的面积 1 三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半 即 S 底 高 2 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 6 6 作图 作图 复杂作图复杂作图 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图 一般是结合了几何图形的性质和基本 作图方法 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质 结合几何图形的基本性质把复杂 作图拆解成基本作图 逐步操作 7 7 坐标与图形性质 坐标与图形性质 1 点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的 表现在两个方面 到 x 轴的距离与 纵坐标有关 到 y 轴的距离与横坐标有关 距离都是非负数 而坐标可以是负数 在由距离求坐标时 需要加上恰当的符号 2 有图形中一些点的坐标求面积时 过已知点向坐标轴作垂线 然后求出相关的线段长 是解决这类问题的基本方法和规律 3 若坐标系内的四边形是非规则四边形 通常用平行于坐标轴的辅助线用 割 补 法 去解决问题 二 经典例题 基础练习 1 1 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 例 1 下列四组线段中 能组成直角三角形的是 A a 1 b 2 c 3 B a 2 b 3 c 4 C a 2 b 4 c 5 D a 3 b 4 c 5 练练 1 1 下列各组线段能构成直角三角形的一组是 A 30 40 50 B 7 12 13 C 5 9 12 D 3 4 6 9 练练 2 2 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长 其中能构成直角三角形的是 A B 1 C 6 7 8D 2 3 4 2 2 勾股定理的应用 勾股定理的应用 例 2 如图 有两颗树 一颗高 10 米 另一颗高 4 米 两树相距 8 米 一只鸟从一颗树 的树梢飞到另一颗树的树梢 问小鸟至少飞行 A 8 米B 10 米 C 12 米 D 14 米 练练 3 3 如图 小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端 绳子末端刚好接触到地面 然后将绳子末 端拉到距离旗杆 8m 处 发现此时绳子末端距离地面 2m 则旗杆的高度为 滑轮上 方的部分忽略不计 为 A 12m B 13m C 16m D 17m 3 3 平面展开平面展开 最短路径问题 最短路径问题 例 3 如图 透明的圆柱形容器 容器厚度忽略不计 的高为 12cm 底面周长为 10cm 在容器内壁离容器底部 3cm 的点 B 处有一饭粒 此时一只蚂蚁正好在容器外壁 且 离容器上沿 3cm 的点 A 处 则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 A 13cm B 2cm C cm D 2cm 10 练练 4 4 如图 一只蚂蚁沿着边长为 2 的正方体表面从点 A 出发 经过 3 个面爬到点 B 如果 它运动的路径是最短的 则 AC 的长为 4 4 勾股定理的应用 方向角 勾股定理的应用 方向角 例 4 已知 A B C 三地位置如图所示 C 90 A C 两地的距离是 4km B C 两地 的距离是 3km 则 A B 两地的距离是 km 若 A 地在 C 地的正东方向 则 B 地 在 C 地的 方向 练练 5 5 如图 小明从 A 地沿北偏东 60 方向走 2 千米到 B 地 再从 B 地正南方向走 3 千米 到 C 地 此时小明距离 A 地 千米 结果可保留根号 5 5 坐标与图形性质 勾股定理的逆定理 坐标与图形性质 勾股定理的逆定理 例 5 在平面直角坐标系中有两点 A 2 2 B 3 2 C 是坐标轴上的一点 若 ABC 是直角三角形 则满足条件的点共有 A 1 个 B 2 个 C 4 个 D 6 个 练练 6 6 在平面直角坐标系中 点 A 的坐标为 1 1 点 B 的坐标为 11 1 点 C 到直线 AB 的距离为 4 且 ABC 是直角三角形 则满足条件的点 C 有 个 11 三 课堂练习 1 如图 有两棵树 一棵高 12 米 另一棵高 6 米 两树相距 8 米 一只鸟从一棵树的树 梢飞到另一棵数的树梢 问小鸟至少飞行 米 2 如图 小聪用一块有一个锐角为 30 的直角三角板测量树高 已知小聪和树都与地面 垂直 且相距 3米 小聪身高 AB 为 1 7 米 则这棵树的高度 米 3 如图 是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌 经测量得到如下数据 AM 4 米 AB 8 米 MAD 45 MBC 30 则警示牌的高 CD 为 米 结果精确到 0 1 米 参考数据 1 41 1 73 4 在底面直径为 2cm 高为 3cm 的圆柱体侧面上 用一条无弹性的丝带从 A 至 C 按如图所 示的圈数缠绕 则丝带的最短长度为 cm 结果保留 12 5 如图 点 E 是正方形 ABCD 内的一点 连接 AE BE CE 将 ABE 绕点 B 顺时针旋转 90 到 CBE 的位置 若 AE 1 BE 2 CE 3 则 BE C 度 四 能力提升 1 下列四组线段中 可以构成直角三角形的是 A 4 5 6 B 1 5 2 2 5 C 2 3 4 D 1 3 2 若 a b c 为三角形三边 则下列各项中不能构成直角三角形的是 A a 7 b 24 c 25 B a 5 b 13 c 12 C a 1 b 2 c 3 D a 30 b 40 c 50 3 以下各组数为边长的三角形中 能组成直角三角形的是 A 3 4 6 B 9 12 15 C 5 12 14 D 10 16 25 4 工人师傅从一根长 90cm 的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为 60cm 100cm 的钢条 一起焊接成一个直角三角形钢架 则截取下来的钢条长应为 A 80cm B C 80cm 或 D 60cm 5 现有两根铁棒 它们的长分别为 2 米和 3 米 如果想焊一个直角三角形铁架 那么第三 根铁棒的长为 A 米 B 米 C 米或米 D 米 6 现有两根木棒的长度分别为 40 厘米和 50 厘米 若要钉成一个直角三角形框架 那么所 需木棒的长一定为 A 30 厘米 B 40 厘米 C 50 厘米 D 以上都不对 7 如图 A 一圆柱体的底面周长为 24cm 高 BD 为 4cm BC 是直径 一只蚂蚁从点 D 出发 沿着圆柱的表面爬行到点 C 的最短路程大约是 A 6cm B 12cm C 13cm D 16cm 13 8 如图所示 是一个圆柱体 ABCD 是它的一个横截面 AB BC 3 一只蚂蚁 要从 A 点爬行到 C 点 那么 最近的路程长为 A 7 B C D 5 9 有一长 宽 高分别是 5cm 4cm 3cm 的长方体木块 一只蚂蚁要从长方体的一个顶点 A 处沿长方体的表面爬到长方体上和 A 相对的顶点 B 处 则需要爬行的最短路径长为 A 5cm B cm C 4cm D 3cm 10 在平面直角坐标系中 点 A 的坐标为 1 1 点 B 的坐标为 11 1 点 C 到直线 AB 的距离为 4 且 ABC 是直角三角形 则满足条件的点 C 有 个 11 设 a b 如果 a b a b 是三角形较小的两条边 当第三边等于 时 这个 三角形为直角三角形 12 有一棵 9 米高的大树 树下有一个 1 米高的小孩 如果大树在距地面 4 米处折断 未 完全折断 则小孩至少离开大树 米之外才是安全的 13 如图 一棵大树在一次强台风中于离地面 3m 处折断倒下 树干顶部在根部 4 米处 这 棵大树在折断前的高度为 m 14 14 为了安全 请勿超速 如图 一条公路建成通车 在某直线路段 MN 限速 60 千米 小时 为了检测车辆是否超速 在公路 MN 旁设立了观测点 C 从观测点 C 测得一小车 从点 A 到达点 B 行驶了 5 秒钟 已知 CAN 45 CBN 60 BC 200 米 此车超速 了吗 请说明理由 参考数据 1 41 1 73 15 校车安全是近几年社会关注的热点问题 安全隐患主要是超速和超载 某中学九年级 数学活动小组进行了测试汽车速度的实验 如图 先在笔直的公路 l 旁选取一点 A 在公路 l 上确定点 B C 使得 AC l BAC 60 再在 AC 上确定点 D 使得 BDC 75 测得 AD 40 米 已知本路段对校车限速是 50 千米 时 若测得某校车从 B 到 C 匀速行驶用时 10 秒 问这辆车在本路段是否超速 请说明理由 参考数据 1 41 1 73 16 如图 一根长 6米的木棒 AB 斜靠在与地面 OM 垂直的墙 ON 上 与地面 的倾斜角 ABO 为 60 当木棒 A 端沿墙下滑至点 A 时 B 端沿地面向右滑行至 点 B 1 求 OB 的长 2 当 AA 1 米时 求 BB 的长 15 勾股定理中的折叠问题勾股定理中的折叠问题 一 经典例题 例 1 如图 在矩形 ABCD 中 AB 6 BC 8 将矩形 ABCD 沿 CE 折叠后 使点 D 恰好落在 对角线 AC 上的点 F 处 1 求 EF 的长 2 求梯形 ABCE 的面积 例 2 如图 在 ABC 中 AB 20 AC 12 BC 16 把 ABC 折叠 使 AB 落在 直线 AC 上 求重叠部分 阴影部分 的面积 例 3 如图 矩形纸片 ABCD 的长 AD 9 cm 宽 AB 3 cm 将其 折叠 使点 D 与点 B 重合 那么折叠后 DE 的长是多少 例 4 如图 有一块直角三角形纸片 两直角边 AB 6 BC 8 将三角形 ABC 折叠 使 AB 落在斜边 AC 上得到线段 AB 折痕为 AD 求 BD 的长为 例 5 如图 折叠长方形 四个角都是直角 对边相等 的一边 AD 点 D 落在 BC 边的点 F 处 已知 AB 8cm BC 10cm 求 EC 的长 B D C B A F FC C D D B B A A E E 16 二 课堂练习 1 如图 将边长为 8 cm 正方形纸片 ABCD 折叠 使点 D 落在 BC 中点 E 处 点 A 落在点 F 处 折痕为 MN 求线段 CN 的长 2 如题 在长方形 ABCD 中 将 ABC 沿 AC 对折至 AEC 位置 CE 与 AD 交于点 F 1 试说明 AF FC 2 如果 AB 3 BC 4 求 AF 的长 3 把一张矩形纸片 矩形 ABC