锐角三角函数

锐角三角函数 第一课时 锐角三角函数 第一课时 教学任务分析教学任务分析 教学目标教学目标 知识技能 知识技能 初步了解锐角三角函数的意义 初步理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比就是这个 锐角的正弦的定义 并会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值 数学思考 数学思考 在体验探求锐角三角函数的定义的过程中 发现对同一个锐角而言它的对边与斜边的比不变的 规律 从中思考这种对应关系所揭示的数学内涵 解决问题 解决问题 从实际问题入手研究 经历从发现到解决直角三角形中的一个锐角所对应的对边与斜边之间关 系的过程 体会研究数学问题的一般方法以及所采用的思考问题的方法 情感态度 情感态度 在解决问题的过程中体验求索的科学精神以及严谨的科学态度 进一步激发学习需求 教学重点教学重点 锐角的正弦的定义 教学难点教学难点 理解直角三角形中一个锐角与其对边及斜边比的对应关系 教学过程教学过程 活动 活动 1 引入课题引入课题 始建于 1350 年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜 1972 年比萨发生地震 这座高 54 5m 的斜塔大 幅度摇摆 22 分钟之后 仍巍然屹立 可是 塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的 2 1m 增加至 5 2m 而且还以每年倾斜 1cm 的速度继续增加 随时都有倒塌的危险 为此 意大利当局从 1990 年起对斜 塔进行维修纠偏 2001 年竣工 使塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了 43 8cm 根据上面 的信息 你能用 塔身中心线偏离垂直中心线的角度 来描述比萨斜塔的倾斜程度吗 师生行为 从学生熟悉的知识背景出发 教师通过提出问题 激发学生学习本章知识的欲望 活动 活动 2 探究问题探究问题 为了绿化荒山 某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管 在山坡上修建一座扬水站 对 坡面的绿地进行喷灌 现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30 为使出水口的高度为 35 米 那么需要 准备多长的水管 在上面的问题中 如果使出水口的高度为 50 米 那么需要准备多长的水管 师生行为 从实例出发 利用 30 角的直角三角形的性质 探究出无论直角三角形的边的大小如何变化 其 30 角所 对的边与斜边的比值始终等于 在此过程当中 教师应关注学生是否能找到当三角形的大小发生变化的时候 其比值不变的规律 活动活动 3 合作探究合作探究 如图 任意画一个 rt abc 使 c 90 a 45 计算 a 的对边与斜边的比 你能得到什 么结论 师生行为 通过小组合作探究 得出 45 角的直角三角形也有类似规律 在小组探究过程当中 教师应引导学生从以下二个方面去探究 1 所得到的比值是否相等 2 所画三角形的形状和大小是否相同 活动 活动 4 实验探究实验探究 如图 利用几何画板的动态演示 测量和计算功能 在 30 角的直角三角形和 45 角的直角三角形的基础 上 进一步探究出对于任意直角三角形 都有 锐角 a 的值不变 a 的对边与斜边的比值不变 锐角 a 的 值改变 a 的对边与斜边的比值也改变 并且 锐角 a 的值增大 a 的对边与斜边的比值也增大 这两 个结论 师生行为 教师在此过程中动手操作演变过程 学生观察得出结论 在此过程中 教师应提醒学生在每个变化过程当中关注的元素 如角度的变化 角的对边与斜边的长度的 变化 比值的变化等等 活动活动 5 合作探究合作探究 如图 在 rt abc 和 rt a b c c c 90 a a 那么 与 有什么关系 你能解释一 下吗 在探究的基础上得出正弦函数的定义 在 rt abc 中 c 90 我们把锐角 a 的对边与斜边的比叫 做 a 的正弦 sine 记作 sina 即 sina 师生行为 学生分组进行讨论 在此过程中给学生思考的空间 让学生通过相似三角形的知识解释比值相等的原因 并在此基础上形成正弦函数的定义 活动活动 6 做一做做一做 1 如图 1 在 rt abc 中 c 90 则 sin b 如图 2 在 rt def 中 f 90 则 sin d 2 当 a 30 时 sina sin30 当 a 45 时 sina sin45 3 例 1 如图 3 4 在 rt abc 和 rt def 中 c f 90 分别求出图中 sina sinb 和 sind sine 的值 师生行为 第 1 2 题提问同学完成 第 3 题在教师引导的基础上板书出图 3 的解题过程 再由学生演板图 4 的 解题过程 活动 活动 7 巩固练习巩固练习 1 将 rt abc a 为锐角 放在放大 2 倍的放大镜下观察 则 a 的正弦值 a 扩大 2 倍 b 缩小 2 倍 c 没有变化 d 无法与原来的值比较 2 如图 1 在 rt abc 中 c 90 bc 2 sina 则边 ac 3 根据图 2 求 sina 和 sinb 的值 4 1817 年 两位英国学者用铅垂线测量比萨斜塔的倾斜角度 那时的结果是 5 已知塔身长 ab 54 5m sin5 0 0872 你能求出塔顶中心点 b 到垂直中心线的距离吗 精确到百分位 师生行为 在同学们独立完成的基础上 第 1 2 题提问同学 第 3 4 题由同学演板 教师在这些过程中发现问题应 该及时纠正和调整 活动活动 8 小结及作业布置小结及作业布置 小结 回顾本节课我们的学习过程 同学们有什么收获 作业布置 1 已知 abc 中 c 90 1 若