北师大版初三数学《特殊平行四边形》教案(有答案)

第 1 页 共 18 页 特殊平行四边形特殊平行四边形 一 关系结构图 一 关系结构图 二 特殊平行四边形 二 特殊平行四边形 1 平行四边形的性质 平行四边形的性质 四边形 ABCD 是平行四边形 5 4 3 2 1 邻角互补 对角线互相平分 两组对角分别相等 两组对边分别相等 两组对边分别平行 2 平行四边形的判定 平行四边形的判定 1 2 3 4 5 ABCD 两组对边分别平行 两组对边分别相等 两组对角分别相等四边形是平行四边形 一组对边平行且相等 对角线互相平分 3 矩形的性质 矩形的性质 四边形 ABCD 是矩形 3 2 1 对角线相等 四个角都是直角 有通性 具有平行四边形的所 4 矩形的判定 矩形的判定 四边形 ABCD 是矩形 边形 对角线相等的平行四 三个角都是直角 一个直角 平行四边形 3 2 1 A B D O C A B D O C A D B C A D B C O 第 2 页 共 18 页 CD A B AB CD O 5 菱形的性质 菱形的性质 四边形 ABCD 是菱形 1 2 3 具有平行四边形的所有通性 四条边都相等 对角线互相垂直且平分对角 6 菱形的判定 菱形的判定 四边形 ABCD 是菱形 1 2 3 平行四边形一组邻边相等 四条边都相等 对角线互相垂直的平行四边形 7 正方形的性质 正方形的性质 四边形 ABCD 是正方形 1 2 3 具有平行四边形的所有通性 四条边都相等 四个角都是直角 对角线相等 互相垂直且平分对角 8 正方形的判定 正方形的判定 四边形 ABCD 是正方形 1 2 3 平行四边形一组邻边相等一个直角 菱形一个直角 矩形一组邻边相等 三 梯形三 梯形 1 梯形的相关概念 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形 2 梯形的判定 梯形的判定 1 定义 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形 2 一组对边平行且不相等的四边形是梯形 3 直角梯形的定义 直角梯形的定义 一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形 4 等腰梯形定义 等腰梯形定义 两腰相等的梯形叫做等腰梯形 性质 性质 1 等腰梯形的两腰相等 两底平行 2 等腰梯形同一底上的两个角相等 同一腰上的两个角互补 3 等腰梯形的对角线相等 C D B A O C D B A O 第 3 页 共 18 页 4 等腰梯形是轴对称图形 它只有一条对称轴 即两底的垂直平分线 判定 判定 1 定义 两腰相等的梯形是等腰梯形 2 定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 3 对角线相等的梯形是等腰梯形 选择题和填空题可直接用 5 梯形的面积 梯形的面积 1 如图 DEABCDS ABCD 2 1 梯形 2 梯形中有关图形的面积 BACABD SS BOCAOD SS BCDADC SS 6 梯形问题中作辅助线的常用方法 梯形问题中作辅助线的常用方法 基本图形基本图形 四 有关连接四边形各边中点所得图形的知识点 四 有关连接四边形各边中点所得图形的知识点 1 顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形 2 顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形 3 顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形 4 顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形 5 顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形 6 顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 7 顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形 五 一些定理和推论 五 一些定理和推论 1 三角形的中位线 三角形的中位线 定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于第三边的一半定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于第三边的一半 2 梯形的中位线 梯形的中位线 定义 连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 定理 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的一半定理 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的一半 3 推论 夹在两平行线间的平行线段相等 4 推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 第 4 页 共 18 页 5 推论 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 推论 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 练习一 一 填空题 1 如图 ABCD 则 AB AD A D 若此时 B D 128 则 B 度 C 度 2 如果一个平行四边形的周长为 80 cm 且相邻两边之比为 1 3 则长边 cm 短边 cm 3 如下左图 ABCD C 的平分线交 AB 于点 E 交 DA 延长线于点 F 且 AE 3 cm EB 5 cm 则ABCD 的周长为 4 如上中图 ABCD AB BC AC AD 且 AB BC 2 1 则 DC AD DCA 度 D B 度 DAB BCD 度 5 如上右图 ABCD 的对角线 AC BD 交于点 O 则图中全等三角形有 对 二 选择题 1 ABCD 中 A D 3 6 则 C 的度数是 A 60 B 120 C 90 D 150 2 在ABCD 中 A B C D 的可能情况是 A 2 7 2 7B 2 2 7 7 C 2 7 7 2 D 2 3 4 5 3 如下左图 从等腰 ABC 底边上任意一点 D 作 DE AC 交 AB 于 E DF AB 交 AC 于 F 则 AEDF 的周长 A 等于三角形周长 B 是三角形周长的一半 C 等于三角形腰长 D 是腰长的 2 倍 第 5 页 共 18 页 4 如上右图 ABCD 中 BC AB 1 2 M 为 AB 的中点 连结 MD MC 则 DMC 等于 A 30 B 60 C 90 D 45 5 以不共线的三点为顶点 可以作平行四边形 A 一个 B 两个 C 三个 D 四个 6 平行四边形具有 但一般四边形不具有的性质是 A 不稳定性 B 内角和等于 360 C 对角线互相平分 D 外角和等于 360 7 如下左图 在ABCD 中 DB DC C 70 AE BD 于 E 则 DAE 等于 A 20 B 25 C 30 D 35 三 解答题 1 已知 如上右图ABCD 的周长是 20 cm ADC 的周长是 16 cm 求 对角线 AC 的长 练习二 一 判断题 1 一组对边平行 另一组对边相等的四边形是平行四边形 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3 对角线相等的四边形是平行四边形 4 有两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 6 邻边互相垂直的四边形是平行四边形 7 如果一条对角线将四边形分成两个全等三角形 那么这个四边形是平行四边形 8 对角线互相平分的四边形是平行四边形 9 一组对边平行 一组对角相等的四边形是平行四边形 二 填空题 1 如果一个四边形的每对相邻内角都互补 那么这个四边形是 2 延长 ABC 的中线 AD 到 E 使 AE 2AD 则四边形 ABEC 是 3 如果一个四边形以其对角线交点为中心 在平面内旋转 180 与原四边形重合 则这个四边形 是 第 6 页 共 18 页 4 ABCD 的周长是 48 厘米 AB 6 厘米 则 BC 厘米 三 选择题 1 判断一个四边形是平行四边形的条件是 A 一组对边相等 另一组对边平行 B 一组邻边相等 一组对边相等 C 一条对角线平分另一条对角线 且一组对边平行 D 一条对角线平分另一条对角线 且一组对边相等 2 平行四边形的对角线将它分成四个三角形 则这四个三角形的面积 A 都不相等B 不都相等 C 都相等D 以上结论都不对 3 下列条件能组成一个平行四边形的是 A 相邻的两边分别是 5 cm 和 7 cm 一条对角线长是 13 cm B 两组对边分别是 3 cm 和 4 cm C 一条边长是 7 cm 两条对角线长分别是 3 cm 和 4 cm D 一组对角都是 135 另一组对角都是 40 4 下列给出的条件中 能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是 A AB CD AD BC B AB AD CB CD C AB CD AD BC D B C A D 练习三 一 填空题 1 三角形的中位线平行于 且等于 的一半 2 连结任意四边形的四边中点 所得到的四边形是 3 一个三角形的三边长分别为 4 5 6 则连结各边中点所得三角形的周长为 4 三角形三条中位线将其分成 个全等三角形 二 选择题 1 顺次连结梯形各边中点所组成的图形是 A 平行四边形B 菱形 C 梯形 D 正方形 2 顺次连结对角线互相垂直的四边形中点所得图形是 A 平行四边形B 矩形 C 菱形 D 正方形 3 等腰梯形的对角线互相垂直 若连接该等腰梯形各边中点 则所得图形是 A 平行四边形B 矩形 C 菱形 D 正方形 第 7 页 共 18 页 三 解答题 2 四边形各边中点及对角线中点共六个点中 任取四个点连成四边形中 最多可以有几个平行四 边形 证明你的结论 练习四 一 判断题 1 矩形的对角线互相平分 2 矩形的对角线互相垂直 3 对角线相等的四边形是矩形 4 矩形具有平行四边形的一切性质 5 对角线相等的平行四边形是矩形 二 填空题 1 如下左图 矩形的两条对角线夹角是 60 一条对角线与较短边的和是 15 则该矩形对角线的长 是 2 如上右图 已知矩形的长为 20 宽为 12 顺次连结矩形四边中点所形成四边形的面积是 3 矩形除具有平行四边形性质外 还具有性质 4 矩形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O 若 AOB 120 则 OBA 5 矩形的对角线相交成 60 角 对角线长为 10 厘米 则矩形的宽为 第 8 页 共 18 页 6 在四边形 ABCD 中 A B C D 则四边形 ABCD 是 形 7 判定一个四边形是矩形 可以先判定它是 再判定这个四边形有一个 或 再判定这个四边形的两条对角线 8 ABCD 的两条对角线相交于一点 O 若 AOB 是等边三角形 AB 2 cm 则 ABCD 的面积等于 三 选择题 1 如下左图 过矩形 ABCD 的顶点 A 作对角线 BD 的平行线交 CD 的延长线于 E 则 AEC 是 A 等边三角形 B 等腰三角形 C 不等边三角形 D 等腰直角三角形 2 如上右图 在矩形 ABCD 中 O 是 BC 的中点 AOD 90 若矩形 ABCD 的周长为 30 cm 则 AB 的长为 A 5 cm B 10 cm C 15 cm D 7 5 cm 3 下列命题中正确的是 A 有一个角是直角的四边形是矩形 B 三个角是直角的多边形是矩形 C 两条对角线相等的四边形是矩形 D 两条对角线相等的平行四边形是矩形 4 在矩形 ABCD 中 AB 2AD E 是 CD 上一点 且 AE AB 则 CBE 等于 A 30 B 22 5 C 15 D 以上答案都不对 四 解答题 1 如左下图 在矩形 ABCD 中 AC BD 相交于 O AE 平分 BAD 交 BC 于 E 若 CAE 15 求 BOE 的度数 第 9 页 共 18 页 2 如右上图ABCD 四内角平分线相交于 E F G H 求证 四边形 EFGH 是矩形 练习五 一 判断题 1 对角线相等的四边形是菱形 2 菱形的对角线互相平分 3 对角线垂直的四边形是菱形 4 只有菱形才可能对角线互相垂直 5 邻边相等的平行四边形是菱形 二 填空题 1 邻边相等的平行四边形是 2 菱形的一个角是 150 如果边长为 a 那么它的高为 3 如果菱形的周长等于它的一组对边距离的 8 倍 那么它的四个角分别是 度 4 菱形的两条对角线长分别是 8 cm 和 10 cm 则菱形的面积是 5 菱形除具有平行四边形的性质外 还具有一些特殊性质 四条边 对角线 6 菱形的一个内角是 120 边长为 4 厘米 则此菱形的两条对角线长分别是 7 要判断一个四边形是菱形 可以首先判断它是一个平行四边形 然后再判定这个四边形的一组 或两条对角线 8 将矩形四边形中点顺次连结 形成的四边形是 三 选择题 1 四边相等的四边形是 A 菱形B 矩形 C 正方形D 梯形 2 菱形的面积等于 第 10 页 共 18 页 A 对角线乘积 B 一边的平方 C 对角线乘积的一半 D 边长平方的一半 3 下列条件中 可以判定一个四边形是菱形的是 A 两条对角线相等 B 两条对角线互相垂直 C 两条对角线相等且垂直 D 两条对角线互相垂直平分 4 在ABCD 中 下列结论中 不一定正确的是 A AB CD B AC BD C 当 AC BD 时 它是菱形D 当 ABC 90 它是矩形 四 解答题 2 在矩形 ABCD 中 O 是对角线 AC 的中点 EF 是线段 AC 的中垂线 交 AD BC 于 E F 求证 四边形 AECF 是菱形 练习六 一 判断题 1 有一个角是直角的平行四边形是矩形 2 有一个角是直角的菱形是正方形 3 两条对角线互相垂直的矩形是正方形 4 四边都相等的矩形是正方形 5 正方形具有矩形和菱形的所有性质 6 既是矩形又是菱形的图形是正方形 二 填空题 1 正方形的性质 正方形的四个角 四条边 正方形的两条对角线 并且 2 正方形的对角线长为 10 cm 则正方形的边长是 3 正方形的判定方法 的菱形是正方形 的矩形是正方形 第 11 页 共 18 页 4 正方形以对角线的交点为中心 在平面上旋转最少 度可以与原图形重合 三 选择题 1 下列命题正确的是 A 四角相等且两边相等的四边形是正方形 B 对角线相等的平行四边形是正方形 C 对角线垂直的平行四边形是正方形 D 对角线和一边的夹角是 45 的菱形是正方形 2 如图 正方形 ABCD 的对角线 AC 是菱形 AEFC 的一边 则 FAB 等于 A 135 B 45 C 22 5 D 30 四 解答题 1 如左下图 ABCD 和 AEFG 都是正方形 求证 BE DG 2 1 顺次连结平行四边形四边中点所组成的图形是什么四边形 2 顺次连结矩形 菱形 正方形各边中点 分别组成什么四边形 练习七 一 选择题 1 一个等腰梯形的两底之差为 高为 则等腰梯形的两底的一个锐角为 126 A B C D 30 45 60 75 2 在 Rt ABC 中 ACB A AC 则 AB 边上的中线为 90 30cm3 第 12 页 共 18 页 A B C D cm1cm2cm5 1cm3 3 等边三角形一边上高线长为 那么这个等边三角形的中位线长为 cm32 A B C D cm3cm5 2cm2cm4 4 下列判定正确的是 A 对角线互相垂直的四边形是菱形 B 两角相等的四边形是梯形 C 四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 D 两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 5 顺次连结等腰梯形各边中点得到的四边形是 A 矩形 B 菱形 C 正方形 D 平行四边形 6 直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离 A 相等 B 不相等 C 可能相等也可能不相等 D 互相垂直 二 填空题 7 已知菱形的周长为 一条对角线长为 则这个菱形的面积为 cm40cm16 8 如图 EF 过平行四边形 ABCD 的对角线交点 O 交 AD 于 E 交 BC 于 F 已知 AB BC 4 OE 那么四边形 EFCD 的周长为 55 1 9 已知 如图 平行四边形 ABCD 中 AB AB 边上的高为 BC 边上的高为 则平行四1236 边形 ABCD 的周长为 10 ABC 中 AB AC BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D 则 D 点到 AB 的距离为 13 11 如图 在 Rt ABC 中 C AC BC AB 矩形 DEFG 的一边在 AB 上 顶点 9030 G F 分别在 AC BC 上 D E 在 AB 上 若 DG GF 1 4 则矩形 DEFG 的面积为 12 在 ABC 和 ADC 中 下列论断 AB AD BAC DAC BC DC 把其中两个论 断作为条件 另一个论断作为结论 写出一个真命题是 第 13 页 共 18 页 A B C D E A BC D E F G 13 如图 在 ABC 中 C B AB 的垂直平分线交 AB 于 D 交 BC 于 D DB 90 15 那么 AC 10 14 在 ABC 中 C 周长为 斜边上的中线 CD 则 Rt ABC 的面积 90cm 325 cm2 为 三 作图题 已知三个村庄的位置如图 三村联合打一口井 向三个村庄供水 使水井到三个村庄的距离相 等 水井的位置设在何处 请用尺规画出水井位置 不写作法 保留痕迹 A B C 四 解答证明题 16 在平行四边形 ABCD 中 BC 2AB E 为 BC 中点 求 AED 的度数 18 如图 在 ABC 中 BAC AD BC 于 D CE 平分 ACB 交 AD 于 G 交 AB 于 90 E EF BC 于 F 求证 四边形 AEFG 是菱形 第 14 页 共 18 页 A B CD E F A BC GF ED A B C D H G E O 1 2 3 4 5 6 19 如图 以正方形 ABCD 的对角线 AC 为一边 延长 AB 到 E 使 AE AC 以 AE 为一边作菱形 AEFC 若菱形的面积为 求正方形边长 29 20 如图 AD 是 ABC 边 BC 边上的高线 E F G 分别是 AB BC AC 的中点 求证 四边形 EDGF 是等腰梯形 21 如图 AC BD 是矩形 ABCD 的对角线 AH BD 于 H CG BD 于 G AE 为 BAD 的平分线 交 GC 的延长线于 E 求证 BD CE 第 15 页 共 18 页 参考答案参考答案 3 1 1 平行四边形的性质平行四边形的性质 一 1 CD BC C B 64 116 2 30 10 3 26 cm 4 2 1 30 60 120 5 4 二 1 A 2 A 3 D 4 C 5 C 6 C 7 A 三 1 解 ABCD 的周长为 20 cm AD DC 20 10 cm 而 ADC 的周长为 16 cm 2 1 即 AD DC AC 16 10 AC 16 AC 6 对角线 AC 的长为 6 cm 2 证明 AB CD 1 2 3 4 在 AOB 和 COD 中 AOB COD AO CO BO DO 43 21 CDAB 3 1 补全图形 略 2 证明 AD BC ADE CBF 在 ADE 和 CBF 中 ADE CBF AE CF CBAD CFBAED CBFADE 90 3 1 2 平行四边形的判别平行四边形的判别 一 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二 1 平行四边形 2 平行四边形 3 平行四边形 4 18 三 1 C 2 C 3 B 4 C 四 1 已知 四边形 ABCD AC 与 BD 为它的对角线 交于点 O 且 AO CO BO DO 求证 四 边形 ABCD 为平行四边形 证明 在 ABO 和 CDO 中 DOBO CODAOB COAO ABO CDO AB CD 同理可证 ADO CBO 第 16 页 共 18 页 AD BC 四边形 ABCD 为平行四边形 2 证明 连结 BD 与 AC 交于点 O AO CO BO DO 又 AE CF EO FO 四边形 EDFB 为平行四边形 3 1 2 三角形的的中位线三角形的的中位线 一 1 第三边 第三边 2 平行四边形 3 7 5 4 四 二 1 A 2 B 3 D 三 1 证明 F G 是 AB AC 的中点 FG BC 且 FG BC 2 1 CD DB 且 E 是 BC 的中点 DE BC FG DE 2 1 2 答 最多有三个 如图EFGH FMHN EMGN 证明 提示三角形中位线定理 3 2 1 矩形矩形 一 1 2 3 4 5 二 1 10 2 120 平方单位 3 对角线相等 四个内角均为 90 4 30 5 5 厘米 6 矩 7 平行四边形 内角是直角 相等 8 4 cm23 三 1 B 2 A 3 D 4 C 四 1 解 在矩形 ABCD 中 AE 平分 BAD BAE BAD 45 2 1 又 CAE 50 BAO BAE CAE 60 AOB 为等边三角形 OB AB ABO 60 OBE ABC ABO 90 60 30 BAE 45 BEA 45 AB BE OB BE BOE 75 2 30180 2 180 OBE 2 证明 如图在ABCD 中 AE BG CG DE 分别为四个内角平分线 1 2 90 3 4 90 在 ABH 中 AHB 90 GHE 在 AED 中 AED 90 同理可证 GFE 90 HGF 90 四边形 EFGH 为矩形 3 2 2 菱形菱形 一 1 2 3 4 5 二 1 菱形 2 3 30 150 30 150 或 150 30 150 30 4 40 cm2 5 相等 互相垂直且 2 a 平分一组对角 6 4 厘米 4厘米 7 邻边相等 互相垂直 8 菱形3 第 17 页 共 18 页 三 1 A 2 C 3 D 4 B 四 1 证明 在菱形 ABCD 中 AB AD BC CD B D 又 E F 分别是 BC CD 的中点 BE DF 在 ABE 和 ADF 中 AB AD B D BE DF ABE ADF AE AF 2 证明 证法不惟一 O 是 AC 的中点 AO CO 又在矩形 ABCD 中 AD BC 1 2 在 AOE 和 COF 中 1 2 AO CO AOE COF 90 AOE COF AE CF 又 EF 是 AC 的垂直平分线 AE CE AF CF AE CE AF CF 四边形 AECF 是菱形 3 2 3 正方形及其应用正方形及其应用 一 1 2 3 4 5 6 二 1 是直角 相等 相等 互相垂直平分于 2 5cm 3 一个内角是直角或对角线相等 2 一组邻边相等或对角线垂直 4 90 三 1 D 2 C 四 1 证明 四边形 ABCD AEFG 都是正方形 AB AD AE AG 又 BAE EAD 90 DAG EAD 90 BAE DAG BAE DAG BE DG 2 1 平行四边形 2 顺次连结矩形各边中点所组成的图形是菱形 顺次连结菱形各边中点所 组成的图形是矩