【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 第二章 第2节对函数的进一步认识(第2课时)目标导学 北师大版必修1

1 2 22 2 函数的表示法函数的表示法 1 掌握函数的三种表示方法 会选择适当的方法表示函数 2 掌握求函数解析式的一般方法 3 了解简单的分段函数 并能简单应用 1 函数的表示法 1 列表法 列一个两行多列的表格 第一行是 取的值 第二行是对应的 这种用 的形式表示两个变量之间 的方法 称为列表法 列表法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系 比较直观 但它只能表示有 限个元素间的函数关系 2 图像法 以自变量x的取值为横坐标 对应的函数值y为 在平面直角坐标 系中描出各个点 这些点构成了函数y f x 的图像 这种用 把两个变量间的 表示出来的方法 称为图像法 图像法可以直观地表示函数局部变化规律 进而可以预测它的整体趋势 比如心电图 等 3 解析法 一个函数的对应关系可以用自变量的 简称解析式 表示出来 这种方法称为解析法 解析法有两个优点 一是简明 全面地概括了变量间的变化规律 二是可以通过解析 式求出任意一个自变量所对应的函数值 缺点是并不是任意函数都可用解析法表示 仅当 两个变量间有变化规律时 才能用解析法表示 做一做 1 已知函数f x 1 3x 2 则f x 的解析式是 A f x 3x 2 B f x 3x 1 C f x 3x 1 D f x 3x 4 2 分段函数 所谓 分段函数 习惯上指在定义域的不同部分 有不同的 的函数 分段函数是一个函数 不要把它误认为是几个函数 分段函数的定义域是各段定义域 的并集 值域是各段值域的并集 生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题 如出租 车的计费 个人所得税纳税额等等 处理分段函数问题时 首先要确定自变量的数值属于 哪个区间段 从而选取相应的对应关系 做一做 2 函数f x Error 则f 的值为 f 1 2 A B 1 C D 2 1 2 1 3 答案 答案 1 1 自变量 函数值 表格 函数关系 2 纵坐标 图像 2 函数关系 3 解析表达式 做一做 1 C 设x 1 t 则x t 1 则f t 3 t 1 2 3t 1 则f x 3x 1 2 对应关系 做一做 2 A 如何画分段函数的图像 剖析 剖析 画分段函数的图像要先分析分段函数的定义域 遵循定义域优先的原则 例如 画函数y Error 的图像 步骤 画整个二次函数y x 1 2的图像 再取其在区间 0 上的图像 其 他部 分删去不要 画一次函数y x的图像 再取其在区间 0 上的图像 其他 部分删去不要 这两部分合起来就是所要画的分段函数的图像 如图所示 由此可得 画分段函数y Error D1 D2 两两交集是空集 的图像的步骤是 画整个函数y f1 x 的图像 再取其在区间D1上的图像 其他部分删去不要 画整个函数y f2 x 的图像 再取其在区间D2上的图像 其他部分删去不要 依次画下去 将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图像 题型一 求函数的解析式 例 1 已知f x 是一次函数 且f f x 9x 4 求f x 的解析式 分析 分析 解答本题可利用待定系数法 设f x kx b k 0 再根据题设条件列方程 组求解待定系数k b 反思 反思 本题以f x 为一次函数作为切入点 运用待定系数法 构建所设参数的方程组 从而解决问题 这是一种常用的解题方法 已知函数类型求函数解析式常用此方法 例 2 已知f 1 x 2 求f x xx 分析 分析 本题实际上是寻找对应关系f怎样对自变量起作用 解答本题可在 x 2 x 中配凑出 1 或将 1 整体换元来求解 xx 反思 反思 换元法是求解函数解析式的基本方法 在不清楚函数类型的情况下往往运用此 法 但要注意自变量的取值范围的变化情况 否则就得不到正确的表达式 例 3 已知 2f f x x x 0 求f x 1 x 分析 分析 已知x和 互为倒数 故可在等式 2f f x x中令x取 的值 得到关于 1 x 1 x 1 x f x f的另一个等式 把f x 与f看成未知数 通过解方程组求得f x 1 x 1 x 反思 反思 对于已知等式中出现两个不同变量的函数关系式 依据这两个变量的关系 重 3 新建立关于这两个变量的不同等式 利用整体思想把f x 和另一个函数看成未知数 解方 程组得函数f x 的解析式 类似于解二元一次方程组 故称为方程组法 题型二 分段函数 例 4 已知函数f x Error Error 1 画出函数的图像 2 根据已知条件分别求f 1 f 3 f f 3 f f f 3 的值 分析 分析 给出的函数是分段函数 应注意在不同的范围上用不同的关系式 1 函数f x 在不同区间上的关系都是常见的函数关系 因而可利用常见函数的图像 作图 2 根据自变量的值所在的区间 选用相应的关系式求函数值 反思 反思 分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的 处理分段函数的问 题时 首先要确定自变量的数值属于哪一个区间 从而选相应的对应关系 对于分段函数 各个分段的 端点 要注意处理好 题型三 函数的图像 例 5 作出下列函数的图像 1 y 1 x x Z Z 2 y 2x2 4x 3 0 x 3 分析 分析 1 中函数的定义域为 Z Z 2 中函数是二次函数 且定义域为 0 3 作图像时 要注意定义域对图像的影响 反思 反思 1 图像法是表示函数的方法之一 画函数图像时 以定义域 对应法则为依据 采用列表 描点法作图 当已知解析式是一次或二次式时 可借助一次函数或二次函数的 图像帮助作图 2 作图像时 应标出某些关键点 例如 图像的顶点 端点 与坐标轴的交点等 要 分清这些关键点是实心点 还是空心点 题型四 应用问题 例 6 如图所示 从边长为 2a的正方形铁片的四个角各裁一个边长为x的正方形 然后折成一个无盖的长方体盒子 要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常 数t 试把铁盒的容积V表示为x的函数 并求出其定义域 分析 分析 可由题意将长方体的高度和底面正方形的边长表示出来 但要注意定义域x不 但受解析式的影响 还受t的限制 反思 反思 求实际问题中函数的定义域时 除考虑函数解析式有意义外 还要考虑使实际 问题有意义 如本题中单从解析式上看 使解析式有意义的x R R 但问题的实际意义 x a 且 t 这就是实际问题对自变量的制约 x 2a 2x 答案 答案 例 1 解 解 设f x kx b k 0 则f f x k kx b b k2x kb b 9x 4 Error 解得k 3 b 1 或k 3 b 2 4 f x 3x 1 或f x 3x 2 例 2 解 解 方法一 配凑法 f 1 x 2 1 2 1 1 1 xxxx f x x2 1 x 1 方法二 换元法 令 1 t t 1 则x t 1 2 t 1 x f t t 1 2 2 t2 1 t 1 t 1 2 f x x2 1 x 1 例 3 解 解 f x 2f x 令x取 的值 1 x 1 x 得f 2f x 1 x 1 x 于是得关于f x 与f的方程组 1 x Error 解得f x x 0 2 3x x 3 例 4 解 解 1 分别画出y x2 x 0 y 1 x 0 y 0 x 0 的图像 即得所求 函数的图像如图所示 2 f 1 12 1 f 3 0 f f 3 f 0 1 f f f 3 f f 0 f 1 12 1 例 5 解 解 1 这个函数的图像由一些点组成 这些点都在直线y 1 x上 x Z Z y Z Z 这些点都为整数点 如图 所示为函数图像的一部分 图 图 2 0 x 3 这个函数的图像是抛物线y 2x2 4x 3 介于 0 x 3 之间的一段 弧 且y 2x2 4x 3 2 x 1 2 5 当x 0 时 y 3 当x 3 时 y 3 如图 所 示 例 6 解 解 依题意知 长方体铁盒高为x 底面正方形的边长为 2a 2x 则 V 2a 2x 2 x 4x a x 2 Error Error 5 a 0 0 x 2at 1 2t a 1 2t 2at 1 2t 铁盒容积V 4x a x 2 定义域为 Error 1 已知函数f x 由下表给出 则f 3 的值为 x1234 f x 3 2 4 1 A 1 B 2 C 3 D 4 2 函数f x 的图像是 x x x 3 2011 山东寿光高一期中 若f x 则方程f 4x x的根是 1x x A B C 2 D 2 1 2 1 2 4 已知f x 1 x2 1 则f x 5 已知函数f x 2 2 1 12 2 2 xx xx x x 1 求f f 的值 3 2 若f a 3 求a的值 答案 答案 1 D 2 C f x 应选 C 1 0 1 0 xx xx 3 A f 4x x 41 4 x x 4x 1 4x2 4x2 4x 1 0 x 1 2 4 x2 2x 2 设x 1 t 则x t 1 所以f t t 1 2 1 即f x x 1 2 1 x2 2x 2 5 分析 分析 本题给出的是一个