2010年青海省高考数学二轮复习 导数应用新人教版

用心 爱心 专心 20102010 年青海省高考数学二轮复习年青海省高考数学二轮复习 导数应用新人教版导数应用新人教版 一 专题综述一 专题综述 导数是微积分的初步知识 是研究函数 解决实际问题的有力工具 在高中 阶段对于导数的学习 主要是以下几个方面 1 1 导数的常规问题 1 刻画函数 比初等方法精确细微 2 同几何中切线联系 导数方法 可用于研究平面曲线的切线 3 应用问题 初等方法往往技巧性要求较高 而导数方法显得简便 等关于n次多项式的导数问题属于较难类型 2 2 关于函数特征 最值问题较多 所以有必要专项讨论 导数法求最值要 比初等方法快捷简便 3 3 导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型 也是高考中考察 综合能力的一个方向 应引起注意 二 知识整合二 知识整合 1 导数概念的理解 2 利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值 复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容 课本中先通过实例 引 出复合函数的求导法则 接下来对法则进行了证明 3 3 要能正确求导 必须做到以下两点 1 熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和 差 积 商的求导法则 复 合函数的求导法则 2 对于一个复合函数 一定要理清中间的复合关系 弄清各分解函数中应对 哪个变量求导 4 4 求复合函数的导数 一般按以下三个步骤进行 1 适当选定中间变量 正确分解复合关系 2 分步求导 弄清每一步 求导是哪个变量对哪个变量求导 3 把中间变量代回原自变量 一般是 x 的函数 也就是说 首先 选定中间变量 分解复合关系 说明函数关系 y f f x 然后将已知函数对中间变量求导 y 中间变量对自变量求导 x 最后求 x y 并将中间变量代回为自变量的函数 整个过程可简记为分解 求导 回代 熟练以后 可以省略中间过程 若遇多重复合 可以相应地多次 用中间变量 三 例题分析三 例题分析 例例 1 1 1 1 2 xbax xx xfy 在1 x处可导 则 a b 思路思路 1 1 2 xbax xx xfy 在1 x处可导 必连续1 lim 1 xf x 用心 爱心 专心 baxf x lim 1 1 1 f 1 ba 2lim 0 x y x a x y x 0 lim 2 a 1 b 例例 2 2 已知 f x 在 x a 处可导 且 f a b 求下列极限 1 h hafhaf h 2 3 lim 0 2 h afhaf h lim 2 0 分析 分析 在导数定义中 增量 x 的形式是多种多样 但不论 x 选择哪种形 式 y 也必须选择相对应的形式 利用函数 f x 在 ax 处可导的条件 可以 将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式 解 解 1 h hafafafhaf h hafhaf hh 2 3 lim 2 3 lim 00 bafaf h afhaf h afhaf h hafaf h afhaf hh hh 2 2 1 2 3 lim 2 1 3 3 lim 2 3 2 lim 2 3 lim 00 00 2 h h afhaf h afhaf hh 2 2 0 2 0 lim lim 00 lim lim 0 2 2 0 afh h afhaf hh 说明 说明 只有深刻理解概念的本质 才能灵活应用概念解题 解决这类问题的 关键是等价变形 使极限式转化为导数定义的结构形式 例例 3 3 观察 1 nn nxx xxcos sin xxsin cos 是否可判断 可 导的奇函数的导函数是偶函数 可导的偶函数的导函数是奇函数 解 解 若 xf为偶函数 xfxf 令 lim 0 xf x xfxxf x x xfxxf x xfxxf xf xx lim lim 00 lim 0 xf xfxxf x 可导的偶函数的导函数是奇函数 另证 xfxxfxff 可导的偶函数的导函数是奇函数 例例 4 4 1 求曲线 1 2 2 x x y在点 1 1 处的切线方程 2 运动曲线方程为 2 2 2 1 t t t S 求 t 3 时的速度 用心 爱心 专心 分析 分析 根据导数的几何意义及导数的物理意义可知 函数 y f x 在 0 x处的 导数就是曲线 y f x 在点 00 yxp处的切线的斜率 瞬时速度是位移函数 S t 对时间的导数 解 解 1 22 2 22 2 1 22 1 22 1 2 x x x xxx y 0 4 22 1 x y 即曲线在点 1 1 处的切线斜率 k 0 因此曲线 1 2 2 x x y在 1 1 处的切线方程为 y 1 2 2 1 2 2 t t t S t tt t t ttt 4 21 4 1 2 324 2 27 26 1112 27 2 9 1 3 t S 例例 5 5 求下列函数单调区间 1 52 2 1 23 xxxxfy 2 x x y 1 2 3 x x k y 2 0 k 4 ln2 2 xy 解 解 1 23 2 xxy 1 23 xx 3 2 x 1 时0 y 1 3 2 x 0 y 3 2 1 1 3 2 2 2 2 1 x x y 0 0 3 2 2 1 x k y kx k 0 y 0 0 kkx 0 y k k 0 k 0 k 4 x x x xy 141 4 2 定义域为 0 2 1 0 x 0 y 2 1 x 0 y 例例 6 6 求证下列不等式 用心 爱心 专心 1 1 2 1ln 2 22 x x xx x x 0 x 2 x x 2 sin 2 0 x 3 xxxx tansin 2 0 x 证 证 1 2 1ln 2 x xxxf 0 0 f 0 1 1 1 1 1 2 x x x x xf xfy 为 0 上 0 x 0 xf 恒成立 2 1ln 2 x xx 1ln 1 2 2 x x x xxg 0 0 g 0 1 4 2 1 1 1 4 244 1 2 2 2 22 x x xx xxx xg xg在 0 上 0 x 0 1ln 1 2 2 x x x x恒成立 2 原式 2sin x x 令 xxxf sin 2 0 x 0cos x 0tan xx 2 tan cos x xxx xf 2 0 x 0 x f 2 0 2 2 f x x 2 sin 3 令xxxxfsin2tan 0 0 f x xxx xxxf 2 2 2 cos sin coscos1 cos2sec 2 0 x 0 x f 2 0 xxxxsintan 例例 7 7 利用导数求和 1 2 用心 爱心 专心 分析 分析 这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决 转换思 维角度 由求导公式 1 nn nxx 可联想到它们是另外一个和式的导数 利用导 数运算可使问题的解决更加简捷 解 解 1 当 x 1 时 当 x 1 时 两边都是关于 x 的函数 求导得 即 2 两边都是关于 x 的函数 求导得 令 x 1 得 即 例例 8 8 设0 a 求函数 0 ln xaxxxf的单调区间 分析 分析 本小题主要考查导数的概念和计算 应用导数研究函数性质的方法 及推理和运算能力 解 解 0 1 2 1 x axx xf 当0 0 xa时 0 42 0 22 axaxxf 0 42 0 22 axaxxf i 当1 a时 对所有0 x 有0 42 22 aax 即0 x f 此时 xf在 0 内单调递增 ii 当1 a时 对1 x 有0 42 22 axax 用心 爱心 专心 即0 x f 此时 xf在 0 1 内单调递增 又知函数 xf在 x 1 处连续 因此 函数 xf在 0 内单调递增 iii 当10 a时 令0 x f 即0 42 22 axax 解得aaxaax 122 122或 因此 函数 xf在区间 122 0 aa 内单调递增 在区间 122 aa 内也单调递增 令0 42 0 22 axaxxf即 解得aaxaa 122122 因此 函数 xf在区间 122 12 2aaaa 内单调递减 例例 9 9 已知抛物线4 2 xy与直线 y x 2 相交于 A B 两点 过 A B 两点的切 线分别为 1 l和 2 l 1 求 A B 两点的坐标 2 求直线 1 l与 2 l的夹角 分析 分析 理解导数的几何意义是解决本例的关键 解解 1 由方程组 2 4 2 xy xy 解得 A 2 0 B 3 5 2 由 y 2x 则4 2 x y 6 3 x y 设两直线的夹角为 根据两 直线的夹角公式 23 10 6 4 1 64 tan 所以 23 10 arctan 说明 说明 本例中直线与抛物线的交点处的切线 就是该点处抛物线的切线 注 意两条直线的夹角公式有绝对值符号 例例 1010 2001 年天津卷 设0 a x x e a a e xf 是R上的偶函数 I 求a的值 II 证明 xf在 0 上是增函数 解 解 I 依题意 对一切Rx 有 xfxf 即 x xx x ae aee a a e 1 用心 爱心 专心 0 1 1 x x e e a a对一切Rx 成立 由此得到0 1 a a 1 2 a 又 0 a 1 a II 证明 由 xx eexf 得 xx eexf 1 2 xx ee 当 0 x时 有0 1 2 xx ee 此时0 x f xf在 0 上是增函数 四 四 0404 年高考导数应用题型集锦年高考导数应用题型集锦 1 全国卷 10 函数 y xcosx sinx 在下面哪个区间内是增函数 A 2 3 2 B 2 C 2 5 2 3 D 2 3 2 全国卷 22 本小题满分 14 分 已知函数 f x ln 1 x x g x xlnx i 求函数 f x 的最大值 ii 设 0 a b 证明 0 g a g b 2g 2 ba b a ln2 3 天津卷 9 函数 0 2 6 sin 2 xxy 为增函数的区间是 A 3 0 B 12 7 12 C 6 5 3 D 6 5 4 天津卷 20 本小题满分 12 分 已知函数xbxaxxf3 23 在1 x处 取得极值 I 讨论 1 f和 1 f是函数 xf的极大值还是极小值 II 过点 16 0 A作曲线 xfy 的切线 求此切线方程 江苏卷 10 函数13 3 xxxf在闭区间 3 0 上的最大值 最小值分别是