福建省安溪一中、养正中学、南安一中三校10-11学年高二数学下学期联考期中考试卷 理

1 养正中学 惠安一中 安溪一中养正中学 惠安一中 安溪一中 20102010 20112011 学年度高二 下 期中学年度高二 下 期中 联考数学试卷 理科 联考数学试卷 理科 考试时间为 120 分钟 满分为 150 分 第 卷 选择题 共 50 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 请把答案涂在答题卡的相应位置 1 已知复数 z 1 i 则在复平面内对应的点在第 象限 z 一 二 三 四 2 若函数 f x 2x2 1 图象上 P 1 3 及邻近上点 Q 1 x 3 y 则 x y A 4 2 x B 4 x C 4 D 2 x 3 有 4 位学生和 3 位老师站在一排拍照 任何两位老师不站在一起的不同排法共有 A 4 2种 B 3 5 A 4 种 C 3 4 A 4 种 D 4 3 种 4 2 2 sincos xx dx 的值为 A 0 2 5 设 若 则 lnf xxx 0 2fx 0 x A B C D 2 ee ln2 2 ln2 6 用数学归纳法证明 时 由 k 到 k 1 1 1 2 321 1 321 1 21 1 n n n 左边需增添的项是 A B C D 1 2 kk 1 1 kk 21 1 kk 21 2 kk 7 已知函数的图象如右图所示 则函数 y f x 的图象可能为 yxfx O 1x y 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 A B C D 8 图 1 是一个水平摆放的小正方体木块 图 2 图 3 是由这样的小正方体木块叠放而成的 按照这样的规律放下去 至第七个叠放的图形中 小正方体木块总数就是 25 66 91 120 9 方程 x3 6x2 9x 10 0 的实根个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 10 设0 b 且f x 则下列大小关系式成立的是 a x x 11 A f b f f B f f b f 2 ba ab 2 ba ab C f f f D f f f ab 2 ba a a 2 ba ab 第 卷 非选择题 共 100 分 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 4 分 满分 20 分 请把答案填在答题纸的相应位置 11 已知i是虚数单位 则 3 1 i i 12 将数字填入标号为的五个方格里 每格填一个数字 则每个方格的1 2 3 4 51 2 3 4 5 标号与所填的数字恰有两个相同的不同的填法有 种 13 某物体做直线运动 其运动规律是 t 的单位是秒 s 的单位是米 则它在 2v tt 上的路程为 1 4 14 若数列的通项公式 记 n a 1 1 2 Nn n an 试通过计算的值 推测出 1 1 1 21n aaanf 3 2 1 fff nf 15 如右图所示的三角形数阵叫 莱布尼兹调和三角形 它们是由整数的倒数组成的 第行有个数且两端nn 1 1 1 2 1 2 1 3 1 6 1 3 1 4 1 12 1 12 1 4 1 5 1 20 1 30 1 20 1 5 3 的数均为 每个数是它下一行左右相邻两数 1 n 2n 的和 如 111 122 111 236 111 3412 则第10行第4个数 从左往右数 为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 13 分 在曲线上的某点 A 处做一切线使之与曲线以及 0 2 xxy 轴所围成的面积为 求 切点 A 的坐标以及切线方程 x 12 1 17 本小题满分 13 分 设 11 2 1 2 2 nn x f xxxf xnnN x 1 求 234 x x x的值 2 归纳 n x 的通项公式 并用数学归纳法证明 4 18 本小题满分 13 分 已知命题 若数列 n a是等比数列 且0 n a 则数列 12 n nn ba aan N 也是等比数列 类比这一性质 你能得到关于等差数列的一个什么 性质 并证明你的结论 19 本小题满分 13 分 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的房顶和外墙 需要建造隔热层 某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本 为 6 万元 该建筑物每年的能源消耗费用为 C 单位 万元 与隔热层厚度 x 单位 cm 满足关系 C x 0 x10 若不建隔热层 每年能源消耗费用为 8 万 35 k x 元 设 f x 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和 求 k 的值及 f x 的表达式 隔热层修建多厚时 总费用 f x 达到最小 并求最小值 5 20 本小题满分 14 分 已知在时有极值 0 322 3 1 f xxaxbxaa x 1 1 求常数 的值 a b 2 求的单调区间 f x 3 方程在区间 4 0 上有三个不同的实根时实数的范围 f xc c 21 本小题满分 14 分 已知函数 为自然对数的底数 aRaxexf x e 1 当 a 1 时 求函数的最小值 f x 2 若函数 f x 在上存在极小值 求 a 的取值范围 2 2 x 3 若 证明 n N 121 1 nnnn nne nnnne 6 养正中学 惠安一中 安溪一中 2010 2011 学年度高二 下 期中联考 数学试卷 理科 参考答案 一 选择题 共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 1 C 2 A 3 B 4 C 5 B 6 D 7 C 8 C 9 B 10 A 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 4 分 满分 20 分 11 1 i 12 20 13 14 15 2 52 22 n f n n 840 1 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 16 解 设点 A 函数 的导函数为 3 分 2 00 x x 2 xy xy2 00 2xxxy 曲线在点 处的切线方程为 即 5 分 00 2 0 2xxxxy 2 00 2xxxy 可得切线与 轴交于点 6 分x 0 2 0 x 阴影部分的面积 11 分 12 1 12 1 4 1 3 1 4 1 3 1 22 1 2 0 2 0 2 0 2 00 3 2 0 0 0 2 0 0 xxx xx x x dxxs x x 12 分 1 1 1 0 Ax 切线方程为 13 分12 xy 17 解 1 4 21323 21 22 2122 32 21 3245 22 32 xf xxf xxf x 4 分 2 根据计算结果 可以归纳出 2 1 n x n 6 分 证明 当 n 1 时 1 2 1 1 1 x 与已知相符 归纳出的公式成立 8 分 假设当 n k kN 时 公式成立 即 2 1 k x k 那么 7 1 2 2 242 1 2 224 1 1 2 1 k k k x k x xkk k 所以 当 n k 1 时公式也成立 12 分 由 知 nN 时 有 2 1 n x n 成立 13 分 18 解 类比等比数列的性质 可以得到等差数列的一个性质是 若数列 n a是等差数列 则数列 12n n aaa b n 也是等差数列 6 分 证明如下 设等差数列 n a的公差为d 则 12n n aaa b n 1 1 1 2 1 2 n nd na d an n 所以数列 n b是以 1 a为首项 2 d 为公差的等差数列 13 分 19 解 设隔热层厚度为 x cm 由题设 每年能源消耗费用为 C x 53 x k 再由 C 0 8 得 k 40 因此 C x 53 40 x 而建造费用为 C1 x 6x 最后得隔热层建造 费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f x 20C x C1 x 20 6x 6x 0 x10 6 分 53 40 x53 800 x f x 6 令 f x 0 即 6 解得 x 5 x 舍 2 53 2400 x 2 53 2400 x3 25 去 当 0 x 5 时 f x 0 当 5 x0 故 x 5 是 f x 的最小值点 对应的 最小值为 f 5 65 70 515 800 当隔热层修建 5cm 厚时 总费用达到最小值 70 万元 13 分 20 解 1 由题知 2 36fxxaxb 2 分 2 3601 1 0 1 01 302 ab f faba 联立 有 舍去 或 4 分 a b 1 3 a b 2 9 8 2 当时 ab 29 1339123 2 xxxxxf 故方程有根或 6 分fx 0 x 3x 1 x 3 3 31 1 1 fx 0 0 f x 极大值 极小值 由表可见 当时 有极小值 0 故符合题意 8 分x 1f x a b 2 9 由上表可知 的减函数区间为f x 31 的增函数区间为或 10 分f x 3 1 3 因为 4 0 3 4 1 1 0 4ffff 由数形结合可得 14 分04c 21 1 解 令 得 x f xex 1 x fxe 0fx 0 x 当时 当时 0 x 0fx 0 x 0fx 函数在区间上单调递减 在区间上单调递增 x f xex 0 0 当时 有最小值 1 4 分0 x f x 2 在上递增 若函数 f x 在上存在极小值 x fxea fx 2 2 x 2 2 x 即在有解 a 的取值范围是 8 分 0fx 2 2 x 2 2 1 e e 3 证明 由 1 知 对任意实数均有