2011-2012年高考数学一轮复习 第13章《极限》（理）自测题

第十三章第十三章 极限名师检测题极限名师检测题 时间 120 分钟 分值 150 分 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 lim n 1 1 3 1 32 1 3n A B 5 3 3 2 C 2 D 不存在 解析 lim n 1 1 3 1 32 1 3n 1 1 1 3 3 2 答案 B 2 对于函数f x Error Error 给出下列命题 其中正确的命题是 A B C D 答案 A 3 A 1 B 1 2 C D 0 1 3 解析 据题意 不妨令an 1 n 答案 A 4 已知函数y f x 是其定义域A内的连续的奇函数 若x0 A且f x0 M 则f x 等于 lim A 0 B M C M D M 解析 f x 是奇函数 f x0 f x0 M 又 f x 是定义域内的连续函数 答案 D 5 设f x Error Error 则f x 的连续区间为 A 0 2 B 0 1 答案 C 6 设数列 an 的前n项和Sn满足an 5Sn 3 n N 那么 a1 a3 a2n 1 的值为 lim A B 1 5 1 5 C D 4 5 3 4 解析 an 5Sn 3 an 1 5Sn 1 3 得an 1 an 1 4 an 为等比数列 公比为q 1 4 a1 a3 a5 a2n 1是公比为q2 的等比数列 1 16 又a1 5S1 3 原式 3 4 a1 1 q2 3 4 1 1 16 4 5 答案 C 7 已知f x Error Error g x Error Error 则f x g x 在x 0 处 A 不连续 B 连续 C 无法确定连续与否 D 以上都不正确 解析 f x g x Error Error f x g x 在x 0 处连续 1 2 答案 B 8 如下图所示 设n N 则函数f x 的图象大致是 lim x x2n 1 x2n 1 x 解析 f x Error Error 所以 A 项正确 答案 A 9 设 则 的值是 3 4 5 4 lim n sinn cosn 1 sinn cosn A cos B 1 cos 1 cos C 1 D 1 解析 sin 3 4 5 4 1 sin cos cos lim n sinn cosn 1 sinn cosn lim x sin cos n cos sin cos n 1 答案 A 10 当m0 时 的值为 lim m2 x2 m n2 x2 n A B 0 m n C 1 D n m 解析 0 lim m2 x2 m n2 x2 n m m n n m m n n 答案 B 11 已知f 3 2 f 3 2 则 的值为 lim x 3 2x 3f x x 3 A 4 B 8 C 0 D 不存在 解析 lim x 3 2x 3f x x 3 lim x 3 f 3 x 3f 3 3f x 3f 3 x 3 lim x 3 f 3 x 3 3 f x f 3 x 3 f 3 3 lim x 3 f x f 3 x 3 f 3 3 lim x 3 f x f 3 x 3 f 3 3f 3 2 3 2 8 答案 B 12 已知 an 是首项为 1 公比为q的等比数列 pn a1 a2Cn1 a3Cn2 an 1Cnn n N n 2 Qn Cn0 Cn2 Cn4 Cnm 其中m 2 t 表示t的最大整数 例如 2 5 2 如果数列 有极 n 2 Pn Qn 限 那么公比q的取值范围是 A 1 q 1 且q 0 B 1 q 1 且q 0 C 3 q 1 且q 0 D 3 q 1 且q 0 解析 Pn 1 Cn1q1 Cn2q2 Cnnqn 1 q n 当n为偶数时 Qn Cn0 Cn2 Cn4 Cnn 2n 1 当n为奇数时 Qn Cn0 Cn2 Cnn 1 2n 1 Qn 2n 1 2 n Pn Qn 1 q n 2n 1 1 q 2 有极限 1 1 3 q 1 Pn Qn 1 q 2 又 q 0 3 q 1 且q 0 答案 C 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 请把正确答案填在题中横线上 13 2 则a lim n 1 a n 1 n a 解析 1 a 2 lim n 1 a n 1 n a lim n 1 a 1 n 1 a n a 1 答案 1 14 解析 原式 x3 2x 1 x2 2x2 2x2 2x 1 x3 4x3 2x2 1 4 2 x 1 4 答案 1 4 15 已知 2 则 x f 3x f 2x x 解析 2 6 x f 3x 3x f 3x 6 即 2x f 2x f 2x 2x 1 6 f 2x x 2f 2x 2x 1 3 答案 1 3 16 以下五个命题 f x 在 0 1 连续 1 x 若f x 是 a b 内的连续函数 则f x 在 a b 内有最大值和最小值 1 lim x x 1 x2 lim x 1 1 x2 1 若f x Error Error 则f x 0 lim x 0 其中 正确命题的序号是 请把你认为正确的命题的序号都填上 解析 f x 在x 0 处不连续 f x 在 a b 上连续 f x 在 a b 上有最值 而在 a b 内不一定有最值 1 lim x x 1 x2 lim x 1 1 x2 1 而 1 lim x x 1 x2 lim x 1 1 x2 1 故极限不存在 因为f x 1 而f x 0 故f x 不存在 故正确的为 lim x 0 lim x 0 lim x 0 答案 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 求 的值 lim x 0 3 1 mx 1 x 解析 原式 lim x 0 31 mx 1 3 1 mx 2 31 mx 1 x 3 1 mx 2 31 mx 1 lim x 0 1 mx 1 x 3 1 mx 2 31 mx 1 lim x 0 m 3 1 mx 2 31 mx 1 m 1 1 1 m 3 18 本小题满分 12 分 已知等比数列 an 的首项为a1 公比为q 且有 求首 lim n a1 2 q qn 1 4 项a1的取值范围 解析 0 q 1 或q 1 lim n a1 2 q qn 1 4 当 0 q 1 时 即有 0 4a1 2 1 解之得 a1 且a1 1 4 3 4 1 2 当q 1 时 即 1 得a1 lim n a1 3 1 1 4 a1 3 1 4 15 4 故a1的取值范围为 a1 且a1 或a1 1 4 3 4 1 2 15 4 19 本小题满分 12 分 已知等差数列前三项是a 4 3a 前n项和为Sn Sk 2 550 1 求a及k的值 2 求 lim n 1 S1 1 S2 1 Sn 解析 1 设该数列为 an 则a1 a a2 4 a3 3a Sk 2 550 由已知a 3a 2 4 a1 a 2 公差d a2 a1 4 2 2 由Sk ka1 k k 1 d 2 得k2 k 2 550 0 得k 50 或k 51 舍 a 2 k 50 2 由Sn na1 n n 1 d 得Sn n n 1 1 2 1 S1 1 S2 1 Sn 1 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n 1 1 n 1 1 lim n 1 S1 1 S2 1 Sn lim n 1 1 n 1 20 本小题满分 12 分 已知函数f x 在区间 2 0 上的部分区域上的解析式为f x 1 x 1 欲使该函数在这一区间上处处连续 应给出该函数在该区间上某些点处的补充定义 请你给出这 3 x3 1 一定义 解析 显然除x 1 处 已知函数在区间 2 0 上处处有意义 且每一点x0 2 x0 1 或 10 且 a2 2 a3 3 an n a 1 n N 1 求 an 的通项 2 求 lim n Sn a2n 1 n 解析 1 a1 a2n 1 a2 2 an n 当n 2 时 a1 a2 n 1 1 a2 2 an 1 n 1 由 得 a2n 2 a2 1 an n an na2n 2 a2 1 n 2 当n 1 时 由题意得a1 a2 1 an na2n 2 a2 1 n N 2 Sn a2 1 1 2a2 3 a2 2 4 a2 3 n 1 a2 n 2 n a2 n 1 a2Sn a2 1 a2 2 a2 2 3 a2 3 n 1 a2 n 1 n a2 n 得 1 a2 Sn a2 1 1 a2 a2 2 a2 n 1 n a2 n a 0 且a 1 a2 1 0 Sn 1 a2 a2 2 a2 n 1 n a2 n na2n 1 a2n 1 a2 lim n Sn a2n 1 n lim n 1 n 1 a2 a2n a2n 1 Error Error 22 本小题满分 12 分 已知数列 an 的前n项和为Sn 其中an 且a1 Sn n 2n 1 1 3 1 求a2 a3 2 猜想数列 an 的通项公式 并用数学归纳法加以证明 3 求Sn lim n 解析 1 由a2 得a2 由a1 1 3 a2 2 3 1 3 5 1 3 a2 a3 得a3 1 3 5 1 15 1 3 1 3 5 a3 3 5 1 5 7 1 35 2 猜想an 1 2n 1 2n 1 下面用数学归纳法证明 显然n 1 时 猜想成立 若n k时猜想成立 即ak 1 2k 1 2k 1 当n k 1 时 由ak 1 Sk 1 k 1 2k 1 即Sk 1 k 1 2k 1 ak 1 同时 Sk k 2k 1 ak k 2k 1 两式相减 ak 1 Sk 1 Sk k 1