统计信号处理实验二东南大学

统计信号处理 实验二 统计信号处理统计信号处理 实验二实验二 目的 目的 1 掌握参数估计方法 2 掌握用计算机分析数据的方法 内容 内容 假设一个运动目标 在外力作用下作一维匀加速运动 其运动轨迹满足的 方程为 其中为目标的加速度 为 t 0 时目标运 0 2 2 1 svtatts av 动的速度 初速度 为目标在 t 0 时的初始位置 对目标位置的观测结 0 s 果为 x ts tn t 其中为观测到的目标位置 为白色观测噪声 假设在 x t 0 1 n tN t 0 1 2 99s 时刻分别取得了 100 个观测结果 x 0 x 1 x 99 1 分别用最大似然 最小二乘方法 根据观测结果求出 和 av 0 s 2 用 Monte Carlo 法 计算出上面两种方法求出的参数的偏差和方差 3 利用估计出的参数 得到目标位置的时间参数的估计 并用 s t s t Monte Carlo 法计算在 t 0 1 2 99s 等各个时间点上对目标位置估计的 方差和偏差 4 将噪声的分布改为在 1 1 区间分布 应用上面推导出的最大似然 最小二乘公式对参数进行估计 并计算估计的偏差和方差 要求 要求 1 设计仿真计算的 Matlab 程序 给出软件清单 2 完成实验报告 对实验结果进行描述 并给出实验结果 对实验数据进 行分析 实验过程 实验过程 假设 s0 1 2 v0 0 35 a 0 098 为实际值 将其代入 得到 2 00 1 2 s tatv ts s t 为白色观测噪声 假设在 t 0 1 2 99s 时 x ts tn t 0 1 n tN 刻分别取得了 100 个观测结果 x 0 x 1 x 99 1 分别用最大似然 最小二乘方法 根据观测结果求出 和 a0 v 0 s 1 利用最大似然估计 ML 估计 的目标是寻找使得先验概率密度函数 最大的条件作为估计的结果 即 这个数值可以用 x P max ml p x 下面的公式计算出 或 即可解出让似然 0 ml p x ln 0 ml p x 函数取得最大值的 ML 本实验中 2 21 1 2 2 1 N i ii x N N exxxP 2 2 11 2 1 2 2 1 N i N i ii N i ii xx N e N i i N i N i iii N iN xxxxxP 1 2 11 2 21 2 1 2 1 2 1 ln ln 其中 2 i00 sv i0 5ai 分别令 0 ln 0 s P 0 ln 0 v P 0 ln a P N i it 1 1 N i it 1 2 2 N i it 1 3 3 N i it 1 4 4 N i i xtx 1 0 N i ii xtx 1 1 N i ii xtx 1 2 2 可以得到矩阵方程 则 bA bAT 其中 432 321 21 5 0 22 22 ttt ttt ttN A a v s 0 0 2 1 0 2 2 2 tx tx tx b 2 线性最小二乘法限定限定观测结果和待估计参量之间有下列线性线性关系 xH n 等式中的 H 是根据先验知识已知的参数矩阵 n 是在观测中附加的未知干扰 设计目标就是寻找一个使得观测误差平方和最小的参数矢量作为估计结果 1 TT LS H HH x 2 用 Monte Carlo 法 计算出上面两种方法求出的参数的偏差和方差 3 利用估计出的参数 得到目标位置的估计 并用 Monte Carlo 法计 s t s t 算在 t 0 1 2 99s 等各个时间点上对目标位置估计的方差和偏差 4 将噪声的分布改为在 1 1 区间的均匀分布 应用最大似然法对参数进 行估计 自己推导该分布下的计算公式 将噪声的分布改为在 1 1 区间分布 nt unifrnd 1 1 最大似然估计的 方法要进行变化 max ml p x 对于均匀分布的情况 联合密度函数为二值函数 计算最大似然比较困难 近 似用正态分布结果进行近似 实验结果 实验结果 1 最大似然和最小二乘法所得结果如下 分析 对三者的估计量都比较准确 最大似然估计和最小二乘法相比 结果相 差很小 基本符合实际值 2 偏差与方差 两种方法得到的结果偏差很小 可以认为是无偏估计 并且两种方法的性能接 近 3 各个时间点上对目标位置估计的方差和偏差 从图中可以看出 两种方法下的估计结果偏差很小 方差也不大 估计的效果 很不错 4 将程序中 estimation 函数 nt randn 1 100 换成 nt unifrnd 1 1 重复 1 2 3 内容 1 2 3 比较可知 噪声分布改为均匀分布后 参数估计的方差和偏差变小 特别是最 小二乘法的方差降低了很多 估计原因是因为 1 1 区间均匀分布的噪声方差小 于白噪声 程序 程序 estimation m function theta ml theta ls bias every ml bias every ls variance every ml variance every l s estimation s0 v0 a N for j 1 N t 0 99 nt randn 1 100 Generate values from a normal distribution with mean 1 and standard deviation 2 r 1 2 randn 100 1 nt 均值为 0 方差为 1 st s0 v0 t 0 5 a t 2 xt st nt t1 sum t t2 t t t3 t 2 t t4 t 2 t 2 x t0 sum xt x t1 sum xt t x t2 sum xt t 2 A 200 2 t1 t2 2 t1 2 t2 t3 t2 t3 0 5 t4 b 2 x t0 2 x t1 x t2 theta ml j inv A b 表示求转置 inv 表示求逆矩阵 theta ml j 表示取 出第 j 列 h s ones 100 1 h v t h a 0 5 t 2 H h s h v h a theta ls j inv H H H xt end xt ba ml H theta ml xt ba ls H theta ls bias every ml sum xt ba ml N st bias every ls sum xt ba ls N st variance every ml var xt ba ml variance every ls var xt ba ls 1 clear 1 s0 1 2 v0 0 35 a 0 098 t 0 99 N 100 x s0 v0 t 0 5 a t 2 figure 1 ml ls estimation s0 v0 a N subplot 1 2 1 bar mean ml set gca XTickLabel s0 v0 a set 函数 将当前图形 gca 的 x 轴坐标刻度 xtick 标志为 s0 v0 a title 最大似然估计值 subplot 1 2 2 bar mean ls set gca XTickLabel s0 v0 a title 最小二乘法估计值 s mean ml v1 s 2 a1 s 3 s1 s 1 s mean ls v2 s 2 a2 s 3 s2 s 1 for j 1 100 x1 j s1 v0 t j 0 5 a1 t j 2 end for j 1 100 x2 j s1 v0 t j 0 5 a1 t j 2 end figure 2 subplot 311 plot x title 理想轨迹 grid on subplot 312 plot x1 title 最大似然估计 grid on subplot 313 plot x2 title 最小二乘法估计 grid on 2 clear all s0 1 2 v0 0 35 a 0 098 N 100 ml ls bias every ml bias every ls variance every ml variance every ls estimatio n s0 v0 a N ml ml ls ls bias ml sum ml N s0 v0 a variance ml var ml bias ls sum ls N s0 v0 a variance ls var ls figure 1 subplot 2 3 1 bar bias ml 1 1 bias ls 1 1 取矩阵的第一行第一列 即 s0 的偏差 set gca XTickLabel 最大似然 最小二乘法 title s0 的偏差 subplot 2 3 2 bar bias ml 1 2 bias ls 1 2 set gca XTickLabel 最大似然 最小二乘法 title v0 的偏差 subplot 2 3 3 bar bias ml 1 3 bias ls 1 3 set gca XTickLabel 最大似然 最小二乘法 title a 的偏差 subplot 2 3 4 bar variance ml 1 1 variance ls 1 1 set gca XTickLabel 最大似然 最小二乘法 title s0 的方差 subplot 2 3 5 bar variance ml 1 2 variance ls 1 2 set gca XTickLabel 最大似然 最小二乘法 title v0 的方差 subplot 2 3 6 bar variance ml 1 3 variance ls 1 3 set gca XTickLabel 最大似然 最小二乘法 title a 的方差 3 clear all s0 1 2 v0 0 35 a 0 098 N 100 ml ls bias every ml bias every ls variance every ml variance every ls estimatio n s0 v0 a N figure