上海市黄浦区2013届高三数学一模考试试题 理（含解析）新人教版

1 20132013 年上海市黄浦区高考数学一模试卷 理科 年上海市黄浦区高考数学一模试卷 理科 一 填空题 本大题满分一 填空题 本大题满分 4242 分 分 1 3 分 2013 黄埔区一模 已知集合 A x 0 x 3 B x x2 4 则 A B 2 3 分 2013 黄埔区一模 若复数 z 2 i a i i 为虚数单位 为纯虚数 则 实数 a 的值为 3 3 分 2013 黄埔区一模 若数列 an 的通项公式为 an 2n 1 n N 则 4 3 分 2013 黄埔区一模 已知直线 l1 x ay 6 0 和 l2 a 2 x 3y 2a 0 则 l1 l2的充要条件是 a 5 3 分 2008 福建 x 9展开式中 x3的系数是 用数字作答 6 3 分 2011 福建 盒中装有形状 大小完全相同的 5 个球 其中红色球 3 个 黄色 球 2 个 若从中随机取出 2 个球 则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 7 3 分 2013 黄埔区一模 已知 则 tan 2 等于 8 3 分 2013 黄埔区一模 执行如图的程序框图 若 p 15 则输出的 n 2 9 3 分 2013 黄埔区一模 已知函数 且关于 x 的方程 f x x a 0 有且仅有两个实根 则实数 a 的取值范围是 10 3 分 2013 黄埔区一模 已知函数的最小正周期为 若将该函数的图象向左平移 m m 0 个单位后 所得图象关于原点对称 则 m 的最 小值为 11 3 分 2013 黄埔区一模 已知抛物线 y2 2px p 0 上一点 M 1 m 到其焦点 F 的距离为 5 该抛物线的顶点到直线 MF 的距离为 d 则 d 的值为 12 3 分 2013 黄埔区一模 已知函数 f x ax a 0 且 a 1 满足 f 2 f 3 若 y f 1 x 是 y f x 的反函数 则关于 x 的不等式的解集是 13 3 分 2013 黄埔区一模 已知 F 是双曲线 C 的右焦 点 O 是双曲线 C 的中心 直线 y 是双曲线 C 的一条渐近线 以线段 OF 为边作正三 角形 MOF 若点 M 在双曲线 C 上 则 m 的值为 14 3 分 2013 黄埔区一模 已知命题 若 f x m2x2 g x mx2 2m 则集合 是假命题 则实数 m 的取值范围是 二 选择题 本大题满分二 选择题 本大题满分 1212 分 分 15 3 分 2013 黄埔区一模 在四边形 ABCD 中 且 0 则四边形 ABCD A 矩形 B 菱形 C 直角梯形 D 等腰梯形 16 3 分 2013 黄埔区一模 若 z cos isin R i 是虚数单位 则 z 2 2i 的最小值是 A B C D 17 3 分 2013 黄埔区一模 若 f x 是 R 上的奇函数 且 f x 在 0 上单调 递增 则下列结论 y f x 是偶函数 对任意的 x R 都有 f x f x 0 3 y f x 在 0 上单调递增 y f x f x 在 0 上单调递增 其中正确结论的个数为 A 1B 2C 3D 4 18 3 分 2013 黄埔区一模 若矩阵满足下列条件 每行中的四个 数所构成的集合均为 1 2 3 4 四列中有且只有两列的上下两数是相同的 则这样 的不同矩阵的个数为 A 24B 48C 144D 288 三 解答题 本大题满分三 解答题 本大题满分 6666 分 分 19 12 分 2013 黄埔区一模 如图所示 在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别为线段 DD1 BD 的中点 1 求异面直线 EF 与 BC 所成的角 2 求三棱锥 C B1D1F 的体积 20 14 分 2013 黄埔区一模 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且 A B C 成等差数列 1 若 且 求 a c 的值 2 若 求 M 的取值范围 21 14 分 2013 黄埔区一模 如图所示 ABCD 是一个矩形花坛 其中 AB 6 米 AD 4 米 现将矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园 AMPN 要求 B 在 AM 上 D 在 AN 上 对角线 MN 过 C 点 且矩形 AMPN 的面积小于 150 平方米 1 设 AN 长为 x 米 矩形 AMPN 的面积为 S 平方米 试用解析式将 S 表示成 x 的函数 并 写出该函数的定义域 2 当 AN 的长度是多少时 矩形 AMPN 的面积最小 并求最小面积 4 22 16 分 2013 黄埔区一模 给定椭圆 C 称圆心在原点 O 半径是的圆为椭圆 C 的 准圆 已知椭圆 C 的一个焦点为 其 短轴的一个端点到点 F 的距离为 1 求椭圆 C 和其 准圆 的方程 2 若点 A 是椭圆 C 的 准圆 与 x 轴正半轴的交点 B D 是椭圆 C 上的两相异点 且 BD x 轴 求的取值范围 3 在椭圆 C 的 准圆 上任取一点 P 过点 P 作直线 l1 l2 使得 l1 l2与椭圆 C 都只 有一个交点 试判断 l1 l2是否垂直 并说明理由 23 10 分 2013 黄埔区一模 对于函数 y f x 与常数 a b 若 f 2x af x b 恒成立 则称 a b 为函数 f x 的一个 P 数对 若 f 2x af x b 恒成立 则称 a b 为函数 f x 的一个 类 P 数对 设函数 f x 的定义域为 R 且 f 1 3 1 若 1 1 是 f x 的一个 P 数对 求 f 2n n N 2 若 2 0 是 f x 的一个 P 数对 且当 x 1 2 时 f x k 2x 3 求 f x 在区间 1 2n n N 上的最大值与最小值 3 若 f x 是增函数 且 2 2 是 f x 的一个 类 P 数对 试比较下列各组中 两个式子的大小 并说明理由 f 2 n 与 2 n 2 n N f x 与 2x 2 x 0 1 5 20132013 年上海市黄浦区高考数学一模试卷 理科 年上海市黄浦区高考数学一模试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题 本大题满分一 填空题 本大题满分 4242 分 分 1 3 分 2013 黄埔区一模 已知集合 A x 0 x 3 B x x2 4 则 A B x 2 x 3 考点 交集及其运算 专题 计算题 不等式的解法及应用 分析 根据题意 B 为一元二次不等式的解集 解不等式可得集合 B 又由交集的性质 计 算可得答案 解答 解 由已知得 B x x 2 或 x 2 A x 0 x 3 A B x 0 x 3 x x 2 或 x 2 x 2 x 3 为所求 故答案为 x 2 x 3 点评 本题考查交集的运算 解题的关键在于认清集合的意义 正确求解不等式 2 3 分 2013 黄埔区一模 若复数 z 2 i a i i 为虚数单位 为纯虚数 则 实数 a 的值为 考点 复数的基本概念 专题 计算题 分析 首先进行复数的乘法运算 把复数整理成代数形式的标准形式 根据这个复数是一 个纯虚数 得到它的实部等于 0 而虚部不等于 0 求出结果 解答 解 z 2 i a i 2a 1 2 a i 若复数 z 2 i a i 为纯虚数 2a 1 0 a 2 0 a 故答案为 点评 本题考查复数的基本概念 解题时要注意复数实部等于 0 这个同学们不容易忽略 而虚部不等于 0 容易漏掉 3 3 分 2013 黄埔区一模 若数列 an 的通项公式为 an 2n 1 n N 则 6 考点 数列的极限 数列的求和 专题 等差数列与等比数列 分析 先判断数列 an 为等差数列 然后利用公式求出 再求极限即可 解答 解 因为 an 1 an 2 n 1 2n 2 常数 所以数列 an 为首项为 1 公差为 2 的等差数列 所以 所以 故答案为 点评 本题考查等差数列的求和及数列的极限 属中档题 4 3 分 2013 黄埔区一模 已知直线 l1 x ay 6 0 和 l2 a 2 x 3y 2a 0 则 l1 l2的充要条件是 a 1 考点 直线的一般式方程与直线的平行关系 专题 计算题 分析 由已知中 两条直线的方程 l1 x ay 6 0 和 l2 a 2 x 3y 2a 0 我们易求出 他们的斜率 再根据两直线平行的充要条件 即斜率相等 截距不相等 我们即可 得到答案 解答 解 直线 l1 x ay 6 0 和 l2 a 2 x 3y 2a 0 k1 k2 若 l1 l2 则 k1 k2 即 解得 a 3 或 a 1 又 a 3 时 两条直线重合 故答案为 1 点评 本题考查的知识点是直线的一般式方程与直线的平行关系 其中两个直线平行的充 要条件 易忽略截距不相等的限制 而错解为 1 或 3 7 5 3 分 2008 福建 x 9展开式中 x3的系数是 84 用数字作答 考点 二项式定理 分析 本题考查二项式定理的展开式 解题时需要先写出二项式定理的通项 Tr 1 因为题目 要求展开式中 x3的系数 所以只要使 x 的指数等于 3 就可以 用通项可以解决二项 式定理的一大部分题目 解答 解 写出 x 9通项 要求展开式中 x3的系数 令 9 2r 3 得 r 3 C93 84 故答案为 84 点评 本题是一个二项展开式的特定项的求法 解本题时容易公式记不清楚导致计算错误 所以牢记公式 它是经常出现的一个客观题 6 3 分 2011 福建 盒中装有形状 大小完全相同的 5 个球 其中红色球 3 个 黄色 球 2 个 若从中随机取出 2 个球 则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 考点 古典概型及其概率计算公式 专题 计算题 分析 先判断出此题是古典概型 利用排列 组合求出随机取出 2 个球的方法数及取出的 2 个球颜色不同的方法数 利用古典概型概率公式求出值 解答 解 从中随机取出 2 个球 每个球被取到的可能性相同 是古典概型 从中随机取出 2 个球 所有的取法共有 C52 10 所取出的 2 个球颜色不同 所有的取法有 C31 C21 6 由古典概型概率公式知 P 故答案为 点评 本题考查利用排列 组合求完成事件的方法数 考查利用古典概型概率公式求事件 的概率 7 3 分 2013 黄埔区一模 已知 则 tan 2 等于 1 考点 两角和与差的正切函数 专题 计算题 8 分析 把已知条件利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关 系化简后 即可求出 tan 的值 然后把所求式子中的角 2 变为 利用两角差的正切函数公式化简后 将各自的值代入即可求出值 解答 解 由 2tan 1 得到 tan 又 则 tan 2 tan 1 故答案为 1 点评 此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求 值 灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值 是一道基础题 8 3 分 2013 黄埔区一模 执行如图的程序框图 若 p 15 则输出的 n 5 考点 程序框图 专题 计算题 分析 由已知可得循环变量 n 的初值为 1 循环结束时 S p 循环步长为 1 由此模拟循环 执行过程 即可得到答案 解答 解 当 n 1 时 S 2 n 2 当 n 2 时 S 6 n 3 当 n 3 时 S 14 n 4 当 n 4 时 S 30 n 5 故最后输出的 n 值为 5 故答案为 5 点评 本题考查的知识点是程序框图 处理本类问题最常用的办法是模拟程序的运行 其 9 中分析循环过程中各变量在循环中的值是关键 9 3 分 2013 黄埔区一模 已知函数 且关于 x 的方程 f x x a 0 有且仅有两个实根 则实数 a 的取值范围是 1 考点 根的存在性及根的个数判断 专题 计算题 数形结合 分析 要求满足条件关于 x 的方程 f x x a 0 有且仅有两个实根时 实数 a 的取值范 围 我们可以转化求函数 y f x 与函数 y x a 的图象 有且仅有两个交点时实 数 a 的取值范围 解答 解 函数的图象如图所示 由图可知函数 y f x 与函数 y x a 的图象当 a 1 时 有且仅有两个交点 即当 a 1 时 f x x a 0 有且仅有两个实根 故答案 1 点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断 根据方程的根即为对应函数零点 将本题转化为求函数零点个数 进而利用图象法进行解答是解答本题的关键 10 3 分 2013 黄埔区一模 已知函数的最小正周期为 若将该函数的图象向左平移 m m 0 个单位后 所得图象关于原点对称 则 m 的最 小值为 考点 函数 y Asin x 的图象变换 专题 作图题 分析 由函数周期可求得 值 由题意知 该函数平移后为奇函数 根据奇函数性质得图 象过原点 由此即可求得 m 值 10 解答 解 由已知 周期为 解得 2 将该函数的图象向左平移 m m 0 个单位后 得 y sin 2 x m sin 2x 2m 因为其图象关于原点对称 所以该函数为奇函数 有 2m k k Z 则 m k Z 则正数 m 的最小值为 故答案为 点评 本题考查函数 y Asin x 的图象变换 考查奇偶函数的性质 属中档题 要 熟练掌握图象变换的方法 11 3 分 2013 黄埔区一模 已知抛物线 y2 2px p 0 上一点 M 1 m 到其焦点 F 的距离为 5 该抛物线的顶点到直线 MF 的距离为 d 则 d 的值为 考点 抛物线的简单性质 专题 计算题 分析 依题意 可求得 p 的值 继而可求得点 M 的坐标与直线 MF 的方程 利用点到直线间 的距离公式即可求得 d 的值 解答 解 抛物线的方程为 y2 2px p 0 其准线 l 的方程为 x 设点 M 1 m 在 l 上的射影为 M 则 MF MM 1 5 P 4 故 F 2 0 点 M 1 2 不妨取 M 1 2 则直线 MF 的方程为 y 0 2 x 2 即 2x y 4 0 抛物线的顶点 0 0 到直线 MF 的距离 d 故答案为 点评 本题考查抛物线的简单性质 考查点到直线间的距离公式 求得 p 的值是难点 也 是关键 考查运算能力与逻辑思维能力 属于中档题 11 12 3 分 2013 黄埔区一模 已知函数 f x ax a 0 且 a 1 满足 f 2 f 3 若 y f 1 x 是 y f x 的反函数 则关于 x 的不等式的解集是 x x 或 x 0 考点 其他不等式的解法 反函数 专题 不等式的解法及应用 分析 由题意得到 f x 为减函数 利用指数函数的性质得到 a 大于 0 小于 1 求出 f x 的反函数 将所求不等式变形后 即可求出解集 解答 解 函数 f x ax a 0 且 a 1 满足 f 2 f 3 f x 为减函数 即 0 a 1 y f 1 x logax 为减函数 所求不等式变形得 loga 1 1 logaa 1 a 当 x 0 时 去分母得 x 1 ax 即 a 1 x 1 解得 x 此时不等式的解集为 x x 当 x 0 时 去分母得 x 1 ax 即 a 1 x 1 解得 x 此时不等式的解集为 x x 0 综上 不等式的解集为 x x 或 x 0 故答案为 x x 或 x 0 点评 此题考查了其他不等式的解法 涉及的知识有 反函数 指数 对数函数的性质 利用了转化及分类讨论的思想 是一道中档题 13 3 分 2013 黄埔区一模 已知 F 是双曲线 C 的右焦 点 O 是双曲线 C 的中心 直线 y 是双曲线 C 的一条渐近线 以线段 OF 为边作正三 角形 MOF 若点 M 在双曲线 C 上 则 m 的值为 3 考点 双曲线的简单性质 专题 计算题 12 分析 依题意 m M c c 将 M 点的坐标代入双曲线方程可得到关于 m 的方程 解之即可 解答 解 F c 0 是双曲线 C 1 a 0 b 0 的右焦点 直线 y 是 双曲线 C 的一条渐近线 又双曲线 C 的一条渐近线为 y x m 又点 M 在双曲线 C 上 MOF 为正三角形 M c c 1 又 c2 a2 b2 1 即 m 1 m2 6m 1 0 又 m 0 m 3 故答案为 3 点评 本题考查双曲线的简单性质 考查其渐近线方程 考查代入法与解方程的能力 属 于难题 14 3 分 2013 黄埔区一模 已知命题 若 f x m2x2 g x mx2 2m 则集合 是假命题 则实数 m 的取值范围是 m 1 或 m 7 考点 复合命题的真假 命题的真假判断与应用 专题 计算题 分析 由 是假命题可知 m2 m x2 2m 0 在 13 上有解 构造函数 h x m2 m x2 2m 结合二次函数的图象可求 m 的范围 解答 解 f x m2x2 g x mx2 2m 又 是假命题 m2x2 mx2 2m 即 m2 m x2 2m 0 在上有解 令 h x m2 m x2 2m 或 解可得 m 1 或 m 7 故答案为 m 1 或 m 7 点评 本题主要考查了复合命题的真假关系的应用 解题的关键是二次函数的性质的应用 二 选择题 本大题满分二 选择题 本大题满分 1212 分 分 15 3 分 2013 黄埔区一模 在四边形 ABCD 中 且 0 则四边形 ABCD A 矩形 B 菱形 C 直角梯形 D 等腰梯形 考点 相等向量与相反向量 数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题 计算题 分析 由 可得四边形 ABCD 的对边 AB CD 且 AB CD 四边形 ABCD 为平行四边形 0 可得平行四边形的对角线 AC BD 从而可得四边形 ABCD 为菱形 解答 解 即一组对边平行且相等 0 即对角线互相垂直 该四边形 ABCD 为菱形 故选 B 点评 利用向量的知识进行判断是解决本题的关键 本题主要考查了由向量相等及向量垂 直的知识进行判断四边形的知识 16 3 分 2013 黄埔区一模 若 z cos isin R i 是虚数单位 则 z 2 2i 的最小值是 A B C D 考点 复数求模 14 专题 计算题 分析 易得复数 z 表示的点在单位圆上 而要求的值为单位圆上的点到复数 2 2i 表示的点 Z 的距离 由数形结合的思想可得答案 解答 解 由复数的几何意义可知 z cos isin 表示的点在单位圆上 而 z 2 2i 表示该单位圆上的点到复数 2 2i 表示的点 Z 的距离 由图象可知 z 2 2i 的最小值应为点 A 到 Z 的距离 而 OZ 2 圆的半径为 1 故 z 2 2i 的最小值为 故选 D 点评 本题考查复数的模长的最值 涉及复数的几何意义和数形结合的思想 属基础题 17 3 分 2013 黄埔区一模 若 f x 是 R 上的奇函数 且 f x 在 0 上单调 递增 则下列结论 y f x 是偶函数 对任意的 x R 都有 f x f x 0 y f x 在 0 上单调递增 y f x f x 在 0 上单调递增 其中正确结论的个数为 A 1B 2C 3D 4 考点 命题的真假判断与应用 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 由 f x 是 R 上的奇函数 且 f x 在 0 上单调递增 知 y f x 是 偶函数 对任意的 x R 不一定有 f x f x 0 y f x 在 0 上单调递减 y f x f x f x 2在 0 上单调递 减 解答 解 f x 是 R 上的奇函数 且 f x 在 0 上单调递增 15 y f x 是偶函数 故 正确 对任意的 x R 不一定有 f x f x 0 故 不正确 y f x 在 0 上单调递减 故 不正确 y f x f x f x 2在 0 上单调递增 故 正确 故选 B 点评 本题考查命题的真假判断及其应用 解题时要认真审题 仔细解答 注意等价转化 思想的合理运用 18 3 分 2013 黄埔区一模 若矩阵满足下列条件 每行中的四个 数所构成的集合均为 1 2 3 4 四列中有且只有两列的上下两数是相同的 则这样 的不同矩阵的个数为 A 24B 48C 144D 288 考点 矩阵变换的性质 几种特殊的矩阵变换 专题 计算题 分析 根据分步计数原理 先从集合 1 2 3 4 中选取 2 个数 再将它们插在矩阵四列 的某 2 个位置 最后将剩余的两个数插在余下的 2 个位置 这样共有 C42A42 2 144 种不同的排列方法 由此即可得到满足条件的不同矩阵的个数 解答 解 按以下步骤进行排列 从集合 1 2 3 4 中选取 2 个数 总共有 C42 6 种方法 将选取的两个数插在第一列 第二列 第三列或第四列的 2 个位置 因为上下对应的数字相同 所以总共有 A42 12 种方法 将剩余的两个数插在余下的 2 个位置 共 2 种方法 综上 可得满足条件的不同排列共有 C42A42 2 144 个 因此 满足条件的不同矩阵的个数为 144 个 故选 C 点评 本题给出 2 行 4 列的矩阵 求满足条件的不同矩阵的个数 着重考查了排列与组合 的计算方法和矩阵基本概念等知识 属于基础题 三 解答题 本大题满分三 解答题 本大题满分 6666 分 分 19 12 分 2013 黄埔区一模 如图所示 在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别为线段 DD1 BD 的中点 1 求异面直线 EF 与 BC 所成的角 2 求三棱锥 C B1D1F 的体积 16 考点 异面直线及其所成的角 棱柱 棱锥 棱台的体积 专题 综合题 空间位置关系与距离 分析 1 分别以 DA DC DD1为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直角坐标系 利用向量法能 求出异面直线 EF 与 BC 所成的角 2 先求出 再由向量法求出点 F 到平面 D1B1C 的距离 由此能求出三 棱锥 C B1D1F 的体积 解答 解 1 分别以 DA DC DD1为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直角坐标系 在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别为线段 DD1 BD 的中点 E 0 0 1 F 1 1 0 B 2 2 0 C 0 2 0 1 1 1 2 0 0 设异面直线 EF 与 BC 所成的角为 则 cos cos 异面直线 EF 与 BC 所成的角为 arccos 2 在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别为线段 DD1 BD 的中点 2 B1 2 2 2 D1 0 0 2 C 0 2 0 F 1 1 0 0 2 2 设平面 D1B1C 的法向量 x y z 则 解得 1 1 0 点 F 到平面 D1B1C 的距离 d 三棱锥 C B1D1F 的体积 V 17 点评 本题考查异面直线所成的角的求法 考查三棱锥的体积的求法 解题时要认真审题 注意向量法的合理运用 20 14 分 2013 黄埔区一模 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且 A B C 成等差数列 1 若 且 求 a c 的值 2 若 求 M 的取值范围 考点 二阶行列式与逆矩阵 等差数列的通项公式 平面向量数量积的运算 专题 平面向量及应用 分析 1 利用等差数列的定义和数量积的定义及余弦定理即可求出 2 利用行列式的定义及三角函数的单调性即可得出 解答 解 1 A B C 成等差数列 2B A C 又 A B C 0 B 60 accos 180 60 3 解得 ac 6 根据余弦定理可得 化为 a2 c2 24 6 2 M A C M 的取值范围是 点评 熟练掌握等差数列的定义 数量积的定义 余弦定理 行列式的定义及三角函数的 18 单调性是解题的关键 21 14 分 2013 黄埔区一模 如图所示 ABCD 是一个矩形花坛 其中 AB 6 米 AD 4 米 现将矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园 AMPN 要求 B 在 AM 上 D 在 AN 上 对角线 MN 过 C 点 且矩形 AMPN 的面积小于 150 平方米 1 设 AN 长为 x 米 矩形 AMPN 的面积为 S 平方米 试用解析式将 S 表示成 x 的函数 并 写出该函数的定义域 2 当 AN 的长度是多少时 矩形 AMPN 的面积最小 并求最小面积 考点 函数与方程的综合运用 函数的定义域及其求法 函数解析式的求解及常用方法 专题 综合题 函数的性质及应用 分析 1 由题意设出 AN 的长为 x 米 因为三角形 DNC 相似于三角形 ANM 则对应线段成 比例可知 AM 由此能用解析式将 S 表示成 x 的函数 并求出该函数的定义域 2 利用 a b 2 当且仅当 a b 时取等号的方法求出 S 的最小值即可 解答 1 解 设 AN 的长为 x 米 x 4 由题意可知 AM SAMPN AN AM 由 SAMPN 150 得 150 x 4 4 x 25 S 定义域为 4 x 25 2 S 6 x 4 4 2 4 8 4 10 分 当且仅当 6 x 4 即 x 4 时 取 号 19 即 AN 的长为 4 米 矩形 AMPN 的面积最小 最小为 80 4 米 点评 本题考查根据题设关系列出函数关系式 并求出处变量的取值范围 考查利用基本 不等式求最值 解题的关键是确定矩形的面积 22 16 分 2013 黄埔区一模 给定椭圆 C 称圆心在原点 O 半径是的圆为椭圆 C 的 准圆 已知椭圆 C 的一个焦点为 其 短轴的一个端点到点 F 的距离为 1 求椭圆 C 和其 准圆 的方程 2 若点 A 是椭圆 C 的 准圆 与 x 轴正半轴的交点 B D 是椭圆 C 上的两相异点 且 BD x 轴 求的取值范围 3 在椭圆 C 的 准圆 上任取一点 P 过点 P 作直线 l1 l2 使得 l1 l2与椭圆 C 都只 有一个交点 试判断 l1 l2是否垂直 并说明理由 考点 直线与圆锥曲线的关系 平面向量数量积的运算 椭圆的简单性质 专题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 1 利用椭圆和其 准圆 的标准方程及其定义即可得出 2 先设出点 B D 的坐标并求出点 A 的坐标 利用向量的数量积得出 再 利用点 B 在椭圆上即可得出其取值范围 3 通过分类讨论 假设在椭圆 C 的 准圆 上任取一点 P 作直线与椭圆相切 联 立直线与椭圆的方程 利用根与系数的关系求出直线是否满足两条直线垂直的条件 即可 解答 解 1 由题意可得 b 1 r 2 椭圆 C 的方程为 其 准圆 的方程为 x2 y2 4 2 由 准圆 的方程为 x2 y2 4 令 y 0 解得 x 2 取点 A 2 0 设点 B x0 y0 则 D x0 y0 x0 2 y0 x0 2 y0 点 B 在椭圆上 20 即的取值范围为 3 当过准圆上点 P 的直线 l 与椭圆相切且其中一条直线的斜率为 0 而另一条斜 率不存在时 则点 P 为 此时 l1 l2 当过准圆上的点 P 的直线 l 的斜率存在不为 0 且与椭圆相切时 设点 P x0 y0 直线 l 的方程为 m y y0 x x0 联立消去 x 得到关于 y 的一元二次方程 0 化为 m 存在 m1m2 点 P 在准圆上 m1m2 1 即直线 l1 l2的斜率 因此当过准圆上的点 P 的直线 l 的斜率存在 不为 0 且与椭圆相切时 直线 l1 l2 综上可知 在椭圆 C 的 准圆 上任取一点 P 过点 P 作直线 l1 l2 使得 l1 l2与 椭圆 C 都只有一个交点 l1 l2 点评 熟练掌握椭圆和圆的标准方程及其定义 向量的数量积 直线与椭圆相切问题时联 立直线与椭圆的方程得出根与系数的关系 两条直线垂直的条件是解题的关键 23 10 分 2013 黄埔区一模 对于函数 y f x 与常数 a b 若 f 2x af x b 恒成立 则称 a b 为函数 f x 的一个 P 数对 若 f 2x af x b 恒成立 则称 a b 为函数 f x 的一个 类 P 数对 设函数 f x 的定义域为 R 且 f 1 3 21 1 若 1 1 是 f x 的一个 P 数对 求 f 2n n N 2 若 2 0 是 f x 的一个 P 数对 且当 x 1 2 时 f x k 2x 3 求 f x 在区间 1 2n n N 上的最大值与最小值 3 若 f x 是增函数 且 2 2