北师大版七年级数学全册知识点整理(精校版)

北师大版七年级全册数学定理知识点汇总北师大版七年级全册数学定理知识点汇总 七年级上册七年级上册 第一章第一章 丰富的图形世界丰富的图形世界 单元备注 单元备注 学生易错点 学生易错点 1 图形的展开与折叠 图形的展开与折叠 2 三视图三视图 判断图形个数判断图形个数 1 1 几何图形 几何图形 1 1 从实物中抽象出来的各种图形 包括立体图形和平面图形 1 2 立体图形 有些几何图形的各个部分不都在同一平面内 它们是立体图形 1 3 平面图形 有些几何图形的各个部分都在同一平面内 它们是平面图形 2 2 点 线 面 体 点 线 面 体 2 1 几何图形的组成 点 线和线相交的地方是点 它是几何图形中最基本的图形 线 面和面相交的地方是线 分为直线和曲线 面 包围着体的是面 分为平面和曲面 体 几何体也简称体 2 2 点动成线 线动成面 面动成体 3 3 生活中的立体图形 生活中的立体图形 圆柱 柱 生活中的立体图形 球 棱柱 三棱柱 四棱柱 长方体 正方体 五棱柱 按名称分 锥 圆锥 棱锥 4 4 棱柱及其有关概念 棱柱及其有关概念 4 1 棱 在棱柱中 任何相邻两个面的交线 都叫做棱 侧棱 相邻两个侧面的交线叫做侧棱 4 2 n 棱柱有两个底面 n 个侧面 共 n 2 个面 3n 条棱 n 条侧棱 2n 个顶点 5 5 正方体的平面展开图 正方体的平面展开图 1111 种种 侧面是曲面底面是圆面圆柱 侧面是正方形或长方形底面是多边形棱体 柱体 侧面是曲面底面是圆面圆锥 侧面都是三角形底面是多边形棱锥 锥体 6 6 截一个正方体 截一个正方体 用一个平面去截一个正方体 截出的面可能是三角形 四边形 五边形 六边形 7 7 三视图 三视图 物体的三视图指主视图 俯视图 左视图 主视图 从正面看到的图 叫做主视图 左视图 从左面看到的图 叫做左视图 俯视图 从上面看到的图 叫做俯视图 8 8 多边形 多边形 8 1 由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形 叫做多边形 8 2 从一个 n 边形的同一个顶点出发 分别连接这个顶点与其余各顶点 可以把这个 n 边形分割成 n 2 个三角形 8 3 弧 圆上 A B 两点之间的部分叫做弧 8 4 扇形 由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形 Tips Tips 1 2 3 球体 由球面围成的 球面是曲面 4 几何图形是由点 线 面构成的 几何体与外界的接触面或我们能看到的外表就是几何体的表面 几何的表面 有平面和曲面 面与面相交得到线 线与线相交得到点 5 棱 在棱柱中 任何相邻两个面的交线都叫做棱 6 侧棱 相邻两个侧面的交线叫做侧棱 所有侧棱长都相等 7 棱柱的上 下底面的形状相同 侧面的形状都是长方形 8 根据底面图形的边数 人们将棱柱分为三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 它 们底面图形的形状分别为三边形 四边形 五边形 六边形 9 长方体和正方体都是四棱柱 10 圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成 11 圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成 12 设一个多边形的边数为 n n 3 且 n 为整数 从一个顶点出发的对角线有 n 3 条 可以把 n 边形成 n 2 个三角形 这个 n 边形共有条对角线 2 3 nn 13 圆上两点之间的部分叫做弧 弧是一条曲线 14 扇形 由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形 15 凸多边形和凹多边形都属于多边形 有弧或不封闭图形都不是多边形 第二章第二章 有理数及其运算有理数及其运算 单元备注 单元备注 1 数轴是新知识很多地方用到数轴是新知识很多地方用到 2 去绝对值与绝对值的几何意义很很总要有些学生在去绝对值和绝对值几何意义做去绝对值与绝对值的几何意义很很总要有些学生在去绝对值和绝对值几何意义做 题比较容易出错 去绝对值的主要数学思想是题比较容易出错 去绝对值的主要数学思想是 分情况讨论分情况讨论 这也是贯穿初高中这也是贯穿初高中 的一个重要数学思想 的一个重要数学思想 3 有理数混合运算中去去括号变号很多同学容易在这块丢分有理数混合运算中去去括号变号很多同学容易在这块丢分 1 1 有理数的分类 有理数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 负有理数 或 整数 有理数 分数 2 2 相反数 相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数 零的相反数是零 3 3 数轴 数轴 规定了原点 正方向和单位长度的直线叫做数轴 画数轴时 要注意上述规定的三要素缺一不可 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 解题时要真正掌握数形结合的思想 并能灵活运用 4 4 倒数 倒数 如果 a 与 b 互为倒数 则有 ab 1 反之亦成立 倒数等于本身的数是 1 和 1 零没有倒数 5 5 绝对值 绝对值 在数轴上 一个数所对应的点与原点的距离 叫做该数的绝对值 a 0 零的绝对值时它本身 也可看成它的相反数 若 a a 则 a 0 若 a a 则 a 0 6 6 有理数比较大小 有理数比较大小 正数大于零 负数小于零 正数大于一切负数 数轴上的两个点所表示的数 右边的总比左边的大 两个负数 绝对值大的反而小 7 7 有理数的运算 有理数的运算 7 1 五种运算 加 减 乘 除 乘方 7 2 有理数的运算顺序 先算乘方 再算乘除 最后算加减 如果有括号 就先算括 号里面的 7 3 运算律 加法交换律 abba 加法结合律 cbacba 乘法交换律 baab 乘法结合律 bcacab 乘法对加法的分配律 acabcba Tips Tips 1 数轴的三要素 原点 正方向 单位长度 三者缺一不可 2 任何一个有理数 都可以用数轴上的一个点来表示 反过来 不能说数轴上所有 的点都表示有理数 3 如果两个数只有符号不同 那么我们称其中一个数为另一个数的相反数 也称这 两个数互为相反数 0 的相反数是 0 4 在数轴上 表示互为相反数的两个点 位于原点的侧 且到原点的距离相等 5 数轴上两点表示的数 右边的总比左边的大 正数在原点的右边 负数在原点的 左边 6 绝对值的定义 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离 数 a 的绝对值记作 a 7 正数的绝对值是它本身 负数的绝对值是它的数 0 的绝对值是 0 或 0 0 0 0 aa a aa a 0 0 aa aa a 8 绝对值的性质 除 0 外 绝对值为一正数的数有两个 它们互为相反数 互为相反数的两数 除 0 外 的绝对值相等 任何数的绝对值总是非负数 即 a 0 9 比较两个负数的大小 绝对值大的反而小 比较两个负数的大小的步骤如下 先求出两个数负数的绝对值 比较两个绝对值的大小 根据 两个负数 绝对值大的反而小 做出正确的判断 10 绝对值的性质 对任何有理数 a 都有 a 0 若 a 0 则 a 0 反之亦然 若 a b 则 a b 对任何有理数 a 都有 a a 11 有理数加法法则 同号两数相加 取相同符号 并把绝对值相加 异号两数相加 绝对值相等时和为 0 绝对值不等时取绝对值较大的数的符 号 并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值 一个数同 0 相加 仍得这个数 12 加法的交换律 结合律在有理数运算中同样适用 13 灵活运用运算律 使用运算简化 通常有下列规律 互为相反的两个数 可以先相加 符号相同的数 可以先相加 分母相同的数 可以先相加 几个数相加能得到整数 可以先相加 14 有理数减法法则 减去一个数 等于加上这个数的相反数 15 有理数减法运算时注意两 变 改变运算符号 改变减数的性质符号 变为相反数 有理数减法运算时注意一个 不变 被减数与减数的位置不能变换 也就是 说 减法没有交换律 16 有理数的加减法混合运算的步骤 写成省略加号的代数和 在一个算式中 若有减法 应由有理数的减法法则 转化为加法 然后再省略加号和括号 0 1 2 3123 越来越大 利用加法则 加法交换律 结合律简化计算 注意 减去一个数等于加上这个数的相反数 当有减法统一成加法时 减数 应变成它本身的相反数 17 有理数乘法法则 两数相乘 同号得正 异号得负 绝对值相乘 任何数与 0 相乘 积仍为 0 如果两个数互为倒数 则它们的乘积为 1 乘法的交换律 结合律 分配律在有理数运算中同样适用 18 有理数乘法运算步骤 先确定积的符号 求出各因数的绝对值的积 19 乘积为 1 的两个有理数互为倒数 零没有倒数 求分数的倒数 就是把分数的分子分母颠倒位置 一个带分数要先化成假分 数 正数的倒数是正数 负数的倒数是负数 20 有理数除法法则 两个有理数相除 同号得正 异号得负 并把绝对值相除 0 除以任何非 0 的数都得 0 0 不可作为除数 否则无意义 21 有理数的乘方 一个数可以看作是本身的一次方 如 5 51 当底数是负数或分数时 要先用括号将底数括上 再在右上角写指数 22 乘方的运算性质 正数的任何次幂都是正数 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 任何数的偶数次幂都是非负数 1 的任何次幂都得 1 0 的任何次幂都得 0 1 的偶次幂得 1 1 的奇次幂得 1 在运算过程中 首先要确定幂的符号 然后再计算幂的绝对值 23 有理数混合运算法则 先算乘方 再算乘除 最后算加减 如果有括号 先算括号里面的 第三章第三章 字母表示数字母表示数 单元备注 单元备注 an aaaa 个 n a 指数 底数 幂 这章算是这册比较难的一个知识点 一是对同类项的理解二十运算 学生容易出错的这章算是这册比较难的一个知识点 一是对同类项的理解二十运算 学生容易出错的 地方大多在化简计算 有几点 地方大多在化简计算 有几点 1 是化简计算过程中去括号变号是化简计算过程中去括号变号 2 化简求值中化简求值中 整体思想整体思想 的运用的运用 3 化简计算中一个字母表示另个字母带入换算化简计算中一个字母表示另个字母带入换算 1 1 代数式 代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式 单独的一个数或一个字 母也是代数式 2 2 同类项 同类项 所有字母相同 并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项 几个常数项也是同 类项 3 3 合并同类项法则 合并同类项法则 把同类项的系数相加 字母和字母的指数不变 4 4 去括号法则 去括号法则 括号前是 把括号和它前面的 号去掉后 原括号里各项的符号都不改变 括号前是 把括号和它前面的 号去掉后 原括号里各项的符号都要改变 5 5 整式的运算 整式的运算 整式的加减法 去括号 合并同类项 Tips Tips 1 代数式的概念 用运算符号 加 减 乘除 乘方 开方等 把数与表示数的字 母连接而成的式子叫做代数式 单独的一个数或一个字母也是代数式 代数式中除了含有数 字母和运算符号外 还可以有括号 代数式中不含有 等符号 等式和不等式都不是代数式 但等号 和不等号两边的式子一般都是代数式 代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义 是实际问题的要符 合实际问题的意义 2 代数式的书写格式 代数式中出现乘号 通常省略不写 如 vt 数字与字母相乘时 数字应写在字母前面 如 4a 带分数与字母相乘时 应先把带分数化成假分数后与字母相乘 如应 a 3 1 2 写作 a 3 7 数字与数字相乘 一般仍用 号 即 号不省略 在代数式中出现除法运算时 一般按照分数的写法来写 如 4 a 4 应写 作 注意 分数线具有 号和括号的双重作用 4 4 a 在表示和 或 差的代差的代数式后有单位名称的 则必须把代数式括起来 再将单位名称写在式子的后面 如平方米 22 ba 3 代数式的系数 代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数 如 3x 4y 的系 数分别为 3 4 单个字母的系数是 1 如 a 的系数是 1 只含字母因数的代数式的系数是 1 或 1 如 ab 的系数是 1 a3b 的系数是 1 4 代数式的项 代数式表示 6x2 2x 7 的和 6x2 2x 7 是它的项 726 2 xx 其中把不含字母的项叫做常数项 在交待某一项时 应与前面的符号一起交待 5 同类项 所含字母相同 并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项 判断几个代数式是否是同类项有两个条件 a 所含字母相同 b 相同字母的指 数也相同 这两个条件缺一不可 同类项与系数无关 与字母的排列顺序无关 几个常数项也是同类项 6 合差同类项 把代数式中的同类项合并成一项 叫做合并同类项 合并同类项的理论根据是逆用乘法分配律 合并同类项的法则是把同类项的系数相加 所得结果作为系数 字母和字母 的指数不变 如果两个同类项的系数互为相反数 合并同类项后结果为 0 不是同类项的不能合并 不能合并的项 在每步运算中都要写上 只要不再有同类项 就是最后结果 结果还是代数式 7 根据去括号法则去括号 括号前面是 号 把括号和它前面的 号去掉 括号 里各项都不改变符号 括号前面是 号去掉 括号里各项都改变符号 8 根据分配律去括号 括号前面是 号看成 1 括号前面是 号看成 1 根据乘 法的分配律用 1 或 1 去乘括号里的每一项以达到去括号的目的 去括号时 要连同括号前面的符号一起去掉 去括号时 首先要弄清楚括号前是 号还是 号 改变符号时 各项都变号 不改变符号时 各项都不变号 第四章第四章 平面图形及位置关系平面图形及位置关系 单元备注 单元备注 这一章重要是为后面几何打基础 重点在于 这一章重要是为后面几何打基础 重点在于 1 重点在平行的性质与证明重点在平行的性质与证明 2 同旁内角 内错角 同位角的定义 这个有些学生在开始的时候会出现小失误后同旁内角 内错角 同位角的定义 这个有些学生在开始的时候会出现小失误后 面没什么问题 面没什么问题 3 垂线的性质与判定垂线的性质与判定 1 1 线段 线段 绷紧的琴弦 人行横道线都可以近似的看做线段 线段有两个端点 2 2 射线 射线 将线段向一个方向无限延长就形成了射线 射线有一个端点 3 3 直线 直线 将线段向两个方向无限延长就形成了直线 直线没有端点 4 4 点 直线 射线和线段的表示 点 直线 射线和线段的表示 在几何里 我们常用字母表示图形 一个点可以用一个大写字母表示 一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示 一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示 端点字母写 在前面 一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示 5 5 点和直线的位置关系有两种 点和直线的位置关系有两种 点在直线上 或者说直线经过这个点 点在直线外 或者说直线不经过这个点 6 6 直线的性质 直线的性质 直线公理 经过两个点有且只有一条直线 过一点的直线有无数条 直线是是向两方面无限延伸的 无端点 不可度量 不能比较大小 直线上有无穷多个点 两条不同的直线至多有一个公共点 7 7 线段的性质 线段的性质 线段公理 两点之间的所有连线中 线段最短 两点之间的距离 两点之间线段的长度 叫做这两点之间的距离 线段的中点到两端点的距离相等 线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的 8 8 线段的中点 线段的中点 点 M 把线段 AB 分成相等的两条相等的线段 AM 与 BM 点 M 叫做线段 AB 的中点 9 9 角 角 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 两条射线的公共端点叫做这个角的顶点 这两条射线叫做这个角的边 或 角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的 1010 平角和周角 平角和周角 一条射线绕着它的端点旋转 当终边和始边成一条直线时 所形成的角叫做平角 终 边继续旋转 当它又和始边重合时 所形成的角叫做周角 1111 角的表示 角的表示 角的表示方法有以下四种 用数字表示单独的角 如 1 2 3 等 用小写的希腊字母表示单独的一个角 如 等 用一个大写英文字母表示一个独立 在一个顶点处只有一个角 的角 如 B C 等 用三个大写英文字母表示任一个角 如 BAD BAE CAE 等 注意 用三个大写英文字母表示角时 一定要把顶点字母写在中间 边上的字母 写在两侧 1212 角的度量 角的度量 角的度量有如下规定 把一个平角 180 等分 每一份就是 1 度的角 单位是度 用 表示 1 度记作 1 n 度记作 n 把 1 的角 60 等分 每一份叫做 1 分的角 1 分记作 1 把 1 的角 60 等分 每一份叫做 1 秒的角 1 秒记作 1 1 60 1 60 1313 角的性质 角的性质 角的大小与边的长短无关 只与构成角的两条射线的幅度大小有关 角的大小可以度量 可以比较 角可以参与运算 1414 角的平分线 角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线 把这个角分成两个相等的角 这条射线叫做这个角 的平分线 1515 平行线 平行线 在同一个平面内 不相交的两条直线叫做平行线 平行用符号 表示 如 AB CD 读作 AB 平行于 CD 平行线是无限延伸的 无论怎样延伸也不相交 当遇到线段 射线平行时 指的是线段 射线所在的直线平行 1616 平行线公理及其推论 平行线公理及其推论 平行公理 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 推论 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也互相平行 补充平行线的判定方法 1 平行于同一条直线的两直线平行 2 在同一平面内 垂直于同一条直线的两直线平行 3 平行线的定义 1717 垂直 垂直 两条直线相交成直角 就说这两条直线互相垂直 其中一条直线叫做另一条直线的垂 线 它们的交点叫做垂足 直线 AB CD 互相垂直 记作 AB CD 或 CD AB 读作 AB 垂直于 CD 或 CD 垂直于 AB 1818 垂线的性质 垂线的性质 平面内 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短 简称 垂线段最短 1919 点到直线的距离 点到直线的距离 过 A 点作 l 的垂线 垂足为 B 点 线段 AB 的长度叫做点 A 到直线 l 的距离 2020 同一平面内 两条直线的位置关系 同一平面内 两条直线的位置关系 相交或平行 Tips Tips 一 线段 射线 直线一 线段 射线 直线 1 正确理解直线 射线 线段的概念以及它们的区别 名称图形表示方法端点长度 直线 l BA 直线 AB 或 BA 直线l 无端点无法度量 射线 MO 射线 OM1 个无法度量 线段 l BA 线段 AB 或 BA 线段 l 2 个可度量长度 2 直线公理 经过两点有且只有一条直线 二 比较线段的长短二 比较线段的长短 1 线段公理 两点间线段最短 两之间线段的长度叫做这两点之间的距离 2 比较线段长短的两种方法 圆规截取比较法 刻度尺度量比较法 3 用刻度尺可以画出线段的中点 线段的和 差 倍 分 4 用圆规可以画出线段的和 差 倍 三 角的度量与表示三 角的度量与表示 1 角 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 这个公共端点叫做角的顶点 这 两条射线叫做角的边 2 角的表示法 角的符号为 用三个字母表示 如图 1 所示 AOB 用一个字母表示 如图 2 所示 b 用一个数字表示 如图 3 所示 1 用希腊字母表示 如图 4 所示 3 经过两点有且只有一条直线 4 两点之间的所有连线中 线段最短 5 两点之间线段的长度 叫做这两点之间的距离 6 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的 如图 5 所示 7 一条射线绕它的端点旋转 当终边和始边成一条直线时 所成的角叫做平角 如 图 6 所示 8 终边继续旋转 当它又和始边重合时 所成的角叫做周角 如图 7 所示 9 从一个角的顶点引出的一条射线 把这个角分成两个相等的角 这条射线叫做这 个角的平分线 10 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 11 如果两条直线都与第三条直线平行 那么这两条直线互相平行 12 互相垂直的两条直线的交点叫做垂足 13 平面内 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 14 如图 8 所示 过点 C 作直线 AB 的垂线 垂足为 O 点 线段 CO 的长度叫做点 C 到直线 AB 的距离 A O B 图 1 b 图 2 1 图 3 图 4 终边 始边 图 5 平角 图 6周角 图 7 图 8 C AB O 第五章第五章 一元一次方程一元一次方程 1 1 方程 方程 含有未知数的等式叫做方程 2 2 方程的解 方程的解 能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 3 3 等式的性质 等式的性质 等式的两边同时加上 或减去 同一个代数式 所得结果仍是等式 等式的两边同时乘以同一个数 或除以同一个不为 0 的数 所得结果仍是等式 4 4 一元一次方程 一元一次方程 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程 5 5 解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的一般步骤 1 去分母 2 去括号 3 移项 把方程中的某一项改变符号后 从方程的一边移到另一边 4 合并同类项 5 将未知数的系数化为 1 Tips Tips 1 在一个方程中 只含有一个未知数 x 元 并且未知数的指数是 1 次 这样的 方程叫做一元一次方程 2 等式两边同时加上 或减去 同一个代数式 所得结果仍是等式 3 等式两边同时乘同一个数 或除以同一个不为 0 的数 所得结果仍是等式 4 解方程的步骤 解一元一次方程 一般要通过去分母 去括号 移项 合并同类 项 未知数的系数化为 1 等几个步骤 把一个一元一次方程 转化 成 x m 的形 式 第六章第六章 生活中的数据生活中的数据 1 1 科学记数法 科学记数法 一般地 一个大于 10 的数可以表示成的形式 其中 n 是正整数 n a 10 101 a 这种记数方法叫做科学记数法 2 2 扇形统计图及其画法 扇形统计图及其画法 扇形统计图 利用圆与扇形来表示总体与部分的关系 即圆代表总体 圆中的各个扇 形分别代表总体中的不同部分 扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小 这样的统计 图叫做扇形统计图 扇形统计图画法 i 计算不同部分占总体的百分比 在扇形中 每部分占总体的百分比等于该部分 所对应的扇形圆心角的度数与 360 的比 ii 计算各个扇形的圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 的度数 iii 在圆中画出各个扇形 并标上百分比 3 3 各种统计图的特点 各种统计图的特点 条形统计图 能够清晰地反映每个项目的具体数目及之间的大小关系 折线统计图 能够清晰地反映同一事物在不同时期的变化情况 扇形统计图 能够清晰地表示各部分在总体中所占的百分比及各部分之间的大小 关系 Tips Tips 1 科学记数法 一般地 一个大于 10 的数可以表示成 a 10n 的形式 其中 1 an 2 在应用时需要注意以下几点 a 法则使用的前提条件是 同底数幂相除 而且 0 不能做除数 所以法则中 a 0 b 任何不等于 0 的数的 0 次幂等于 1 即 0 1 0 aa 如 1100 2 50 1 则 00 无意义 c 任何不等于 0 的数的 p 次幂 p 是正整数 等于这个数的 p 的次幂的倒数 即 p p a a 1 a 0 p 是正整数 而 0 1 0 3 都是无意义的 当 a 0 时 a p 的 值一定是正的 当 a 0 时 a p 的值可能是正也可能是负的 如 4 1 2 2 8 1 2 3 d 运算要注意运算顺序 8 8 整式的乘法整式的乘法 8 18 1 单项式乘法单项式乘法 1 单项式乘法法则 单项式相乘 把它们的系数 相同字母分别相乘 对于只在一个 单项式里含有的字母 连同它的指数作为积的一个因式 2 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点 a 积的系数等于各因式系数积 先确定符号 再计算绝对值 这时容易出现的 错误的是 将系数相乘与指数相加混淆 b 相同字母相乘 运用同底数的乘法法则 c 只在一个单项式里含有的字母 要连同它的指数作为积的一个因式 d 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用 e 单项式乘以单项式 结果仍是一个单项式 8 28 2 单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘 1 单项式乘以多项式 是通过乘法对加法的分配律 把它转化为单项式乘以单项式 即单项式与多项式相乘 就是用单项式去乘多项式的每一项 再把所得的积相加 2 单项式与多项式相乘时要注意以下几点 a 单项式与多项式相乘 积是一个多项式 其项数与多项式的项数相同 b 运算时要注意积的符号 多项式的每一项都包括它前面的符号 c 在混合运算时 要注意运算顺序 8 38 3 多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘 1 多项式与多项式相乘 先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项 再把所得的积相加 2 多项式与多项式相乘时要注意以下几点 a 多项式与多项式相乘要防止漏项 检查的方法是 在没有合并同类项之前 积的项数应等于原两个多项式项数的积 b 多项式相乘的结果应注意合并同类项 c 对含有同一个字母的一次项系数是 1 的两个一次二项式相乘 其二次项系数为 1 一次项系数等于两abxbaxbxax 2 个因式中常数项的和 常数项是两个因式中常数项的积 对于一次项系数不 为 1 的两个一次二项式 mx a 和 nx b 相乘可以得到 abxmambmnxbnxamx 2 9 9 平方差公式 平方差公式 1 平方差公式 两数和与这两数差的积 等于它们的平方差 即 22 bababa 2 其结构特征是 a 公式左边是两个二项式相乘 两个二项式中第一项相同 第二项互为相反数 b 公式右边是两项的平方差 即相同项的平方与相反项的平方之差 3 平方差公式中的 a b 可以是单项式 也可以是多项式 4 平方差公式可以逆用 即 a2 b2 a b a b 5 平方差公式还能简化两数之积的运算 解这类题 首先看两个数能否转化成 6 a b a b 的形式 然后看 a2与 b2是否容易计算 1010 完全平方公式 完全平方公式 1 完全平方公式 两数和 或差 的平方 等于它们的平方和 加上 或减去 它 们的积的 2 倍 即 口决 首平方 尾平方 2 倍乘积 222 2 bababa 在中央 2 结构特征 a 公式左边是二项式的完全平方 b 公式右边共有三项 是二项式中二项的平方和 再加上或减去这两项乘积的 2 倍 c 在运用完全平方公式时 要注意公式右边中间项的符号 以及避免出现 这样的错误 222 baba 3 公式中的 a b 可以是单项式 也可以是多项式 4 3 掌握理解完全平方公式的变形公式 222222 1 2 2 2 ababababababab 22 4ababab 22 1 4 ababab 5 完全平方式 我们把形如 的二次三项式称作完全平 2222 2 2 aabb aabb 方式 6 当计算较大数的平方时 利用完全平方公式可以简化数的运算 7 完全平方公式可以逆用 即 222222 2 2 aabbabaabbab 1111 整式的除法 整式的除法 11 111 1 单项式除以单项式的法则单项式除以单项式的法则 1 1 单项式除以单项式的法则 一般地 单项式相除 把系数 同底数幂分别相除 后 作为商的因式 对于只在被除式里含有的字母 则连同它的指数一起作为商 的一个因式 2 根据法则可知 单项式相除与单项式相乘计算方法类似 也是分成系数 相同字 母与不相同字母三部分分别进行考虑 11 211 2 多项式除以单项式的法则多项式除以单项式的法则 1 多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除 以单项式 再把所得的商相加 用字母表示为 abcmambmcm 2 多项式除以单项式 注意多项式各项都包括前面的符号 第二章第二章 平行线与相交线平行线与相交线 余角补角 补角 角 两线相交 对顶角 同位角 三线八角 内错角 同旁内角 平行线的判定 平行线 平行线的性质 尺规作图 1 1 余角与补角 余角与补角 1 如果两个角的和是直角 那么称这两个角互为余角 简称为互余 称其中一个角 是另一个角的余角 2 如果两个角的和是平角 那么称这两个角互为补角 简称为互补 称其中一个角 是另一个角的补角 3 互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角 它们只与角的度数有关 与角的 位置无关 4 余角和补角的性质 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等 5 余角和补角的性质用数学语言可表示为 6 则 同角的余角 或补角 0000 1290 180 1390 180 23 相等 7 且则 等角的余 0000 1290 180 3490 180 14 23 角 或补角 相等 8 余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法 2 2 对顶角 对顶角 1 两条直线相交成四个角 其中不相邻的两个角是对顶角 2 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线 这两个角叫做对顶角 3 对顶角的性质 对顶角相等 4 对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛 它是证明两个角相等的依据及 重要桥梁 5 对顶角是从位置上定义的 对顶角一定相等 但相等的角不一定是对顶角 3 3 同位角 内错角 同旁内角 同位角 内错角 同旁内角 1 两条直线被第三条直线所截 形成了 8 个角 2 同位角 两个角都在两条直线的同侧 并且在第三条直线 截线 的同旁 这样 平行线与相交线 的一对角叫做同位角 3 内错角 两个角都在两条直线之间 并且在第三条直线 截线 的两旁 这样的 一对角叫做内错角 4 同旁内角 两个角都在两条直线之间 并且在第三条直线 截线 的同旁 这样 的一对角叫同旁内角 5 这三种角只与位置有关 与大小无关 通常情况下 它们之间不存在固定的大小 关系 4 4 六类角 六类角 1 补角 余角 对顶角 同位角 内错角 同旁内角六类角都是对两角来说的 2 余角 补角只有数量上的关系 与其位置无关 3 同位角 内错角 同旁内角只有位置上的关系 与其数量无关 4 对顶角既有数量关系 又有位置关系 5 5 平行线的判定方法 平行线的判定方法 1 同位角相等 两直线平行 2 内错角相等 两直线平行 3 同旁内角互补 两直线平行 4 在同一平面内 如果两条直线都平行于第三条直线 那么这两条直线平行 5 在同一平面内 如果两条直线都垂直于第三条直线 那么这两条直线平行 6 6 平行线的性质 平行线的性质 1 两直线平行 同位角相等 2 两直线平行 内错角相等 3 两直线平行 同旁内角互补 4 平行线的判定与性质具备互逆的特征 其关系如下 7 7 尺规作线段和角 尺规作线段和角 1 在几何里 只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图 2 尺规作图是最基本 最常见的作图方法 通常叫基本作图 3 尺规作图中直尺的功能是 a 在两点间连接一条线段 b 将线段向两方延长 4 尺规作图中圆规的功能是 a 以任意一点为圆心 任意长为半径作一个圆 b 以任意一点为圆心 任意长为半径画一段弧 5 5 熟练掌握以下作图语言 a 作射线 b 在射线上截取 c 在射线 上依次截取 d 以点 为圆心 为半径画弧 交 于点 e 分别以点 点 为圆心 以 为半径作弧 两弧相交于点 f 过点 和点 画直线 或画射线 g 在 的外部 或内部 画 6 在作较复杂图形时 涉及基本作图的地方 不必重复作图的详细过程 只用一句 话概括叙述就可以了 1 画线段 2 画 第三章第三章 生活中的数据生活中的数据 单位换算 科学记数法 近似数 生活中的数据 精确数 有效数字 精确度 统计图 象形统计图 1 单位换算 1 长度单位 a 百万分之一米又称微米 即 1 微米 10 6米 b 10 亿分之一米又称纳米 即 1 纳米 10 9米 c 1 微米 103 纳米 d 1 米 10 分米 100 厘米 103 毫米 106 微米 109 纳米 2 面积单位 10 6千米 2 1 米2 102分米2 104厘米2 106毫米2 1012微米2 1018纳米2 3 质量单位 1 吨 103千克 106克 2 2 科学计数法表示绝对值小于 科学计数法表示绝对值小于 1 1 的较小数据的较小数据 1 科学记数法 对任意一个正数可能写成 a 10n 的形式 其中 1 a 10 n 是整数 这种记数的方法称为科学记数法 2 用科学计数法表示绝对值小于 1 的较小数据时 也可以表示为 a 10n 的形式 其 中 1 a 10 n 为负整数 n 等于这个数的第一个不为零的数字前面所有零的 个数 包括小数点前面的一个零 的相反数 3 3 近似数与精确数 近似数与精确数 1 精确数是指一个物体或描述一事件的真实数值 2 近似数是指用测量或统计的方法 四舍五入 估计等得到的数 3 近似数产生的原因有 a 由于测量工具和测量方法的局限性不可能得到物体的准确值 b 有些事件也不可能或没有必要得出它的精确值 4 近似数 a 的真值的范围大于或等于 a 与它的最末位的半个单位的差而小于 a 与它 的最末位的半个单位的和 例如近似数 1 60 的真值范围为大于或等于 1 595 而小 于 1 605 4 4 有效数字 有效数字 1 对于一个近似数 从左边第一个不为零的数字起 到精确到的数位为止 所有的 数字都叫这个数的有效数字 2 对于科学计数法型的近似数 由 a 10n 1 a 10 中的 a 来确定 a 的有效 数字就是这个近似数的有效数字 与 10n无关 3 对带有记数单位的近似数 由数字来确定 与单位无关 5 5 近似数的精确度 近似数的精确度 1 近似数的精确度是近似数精确的程度 2 近似数四舍五入到哪一位 就说这个近似数精确到哪一位 3 精确度是由该近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定的 4 对于单独一个近似数 根据最后一位有效数字在该数中所处的位置直接确定精确 度 5 对用科学记数法表示的数应注意将其还原为原来的数后 再确定其精确度 6 对带单位的近似数 也要还原为原来的数后再确定其精确度 7 对近似数进行取舍时需要注意一般形式与科学记数法形式 6 6 统计图 表 统计图 表 1 条形统计图 能清楚地表示出每个项目的具体数目 2 折线统计图 能清楚地反映事物的变化情况 3 扇形统计图 能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比 4 象形统计图 能直观地反映数据之间的意义 5 从统计图中获取更多的有用信息 应做到以下几步 a 审清统计图横轴和纵轴代表的意义 若是象形统计图则要看准每个形象图标 代表什么意义 b 把各部分的数据找出来 c 以图中读出的信息作为参考 已知 推测相关量的变化趋势或规律 d 对需要计算后回答的信息要准确地进行计算 6 制作象形统计图 a 象形统计图比一般的统计图更直观 更简洁生动 极富有个性和情感 但准 确性差一些 b 制作象形统计图没有固定的格式 需要具有较强的想像力和创造力 c 制作象形统计图 一是要明确制作的统计图的特点 二是要结合具体问题 分析数据特点和规律 通过设计简明 直观 形象的 统计图 加深对问题的理解 7 统计工作包括 定目标 收集数据 整理数据 表达与描述数据 分析结果 第四章第四章 概率概率 必然事件 事件不可能事件 不确定事件 概率等可能性游戏的公平性 概率的定义 概率几何概率 设计概率模型 1 1 事件 事件 1 事件分为必然事件 不可能事件 不确定事件 2 必然事件 事先就能肯定一定会发生的事件 也就是指该事件每次一定发生 不 可能不发生 即发生的可能是 100 或 1 3 不可能事件 事先就能肯定一定不会发生的事件 也就是指该事件每次都完全没 有机会发生 即发生的可能性为零 4 不确定事件 事先无法肯定会不会发生的事件 也就是说该事件可能发生 也可 能不发生 即发生的可能性在 0 和 1 之间 5 三种事件都是相对于事件发生的可能性来说的 若事件发生的可能性为 100 则 为必然事件 若事件发生的可能性为 0 则为不可能事件 若事件不一定发生 即发生的可能性在 0 1 之间 则为不确定事件 6 简单地说 必然事件是一定会发生的事件 不可能事件是绝对不可能发生的事件 不确定事件是指有可能发生 也有可能不发生的事件 7 表示事件发生的可能性的方法通常有三种 a 用语言叙述可能性的大小 b 用图例表示 c 用概率表示 2 2 等可能性 等可能性 1 等可能性 是指几种事件发生的可能性相等 2 游戏规则的公平性 就是看游戏双方的结果是否具有等可能性 a 首先要看游戏所出现的结果的两种情况中有没有必然事件或不可能事件 若 有一个必然事件或不可能事件 则游戏是不公平的 b 其次如果两个事件都为不确定事件 则要看这两个事件发生的可能性是否相 同 即看双方获胜的可能性是否相同 只有双方获胜的可能性相同 游戏才 是公平的 c 游戏是否公平 并不一定是游戏结果的两种情况发生的可能性都是二分之一 只要对游戏双方获胜的事件发生的可能性一样即可 3 3 概率 概率 3 概率 是反映事件发生的可能性的大小的量 它是一个比例数 一般用 P 来表示 P A 事件 A 可能出现的结果数 所有可能出现的结果数 4 必然事件发生的概率为 1 记作 P 必然事件 1 5 不可能事件发生的概率为 0 记作 P 不可能事件 0 6 不确定事件发生的概率在 0 1 之间 记作 0 P 不确定事件 1 7 概率是对 可能性 的定量描述 给人以更直接的感觉 8 概率并不提供确定无误的结论 这是由不确定现象造成的 9 概率的计算 a 直接数数法 即直接数出所有可能出现的结果的总数 n 再数出事件 A 可能 出现的结果数 m 利用概率公式直接得出事件 A 的概率 m n P A b 对于较复杂的题目 我们可采用 列表法 或画 树状图法 4 4 几何概率 几何概率 1 事件 A 发生的概率等于此事件 A 发生的可能结果所组成的面积 用 SA表示 除以 所有可能结果组成图形的面积 用 S全表示 所以几何概率公式可表示为 P A SA S全 这是因为事件发生在每个单位面积上的概率是相同的 2 求几何概率 a 首先分析事件所占的面积与总面积的关系 b 然后计算出各部分的面积 c 最后代入公式求出几何概率 5 5 设计概率模型 游戏或事件 设计概率模型 游戏或事件 1 1 设计符合要求的简单概率模型 游戏或事件 是对概率计算的逆向运用 2 2 设计通常分四步 a 首先分析设计应符合什么条件 b 其次确定选用什么图形表示更合理 c 然后再按一定要求和操作经验来设计模型 d 最后再通过计算或其他方法来验证设计的模型是否符合条件 6 6 注意 注意 1 随机事件发生与不发生的可能性不总是各占一半 都为 50 2 现实生活中存在着大量的不确定事件 而概率正是研究不确定事件的一门学科 3 必然事件发生的概率为 1 即 P 必然事件 1 不可能事件发生的概率为 0 即 P 不可能事件 0 如果 A 为不确定事件 那么 0 P A c a c b b c a a b c a c b b cc a c b b c a 同时成立时 能组成三角形 b 当两条较短线段之和大于最长线段时 则可以组成三角形 3 确定第三边 未知边 的取值范围时 它的取值范围为大于两边的差而小于两边 的和 即 abcab 3 3 三角形中三角的关系 三角形中三角的关系 1 三角形内角和定理 三角形的三个内角的和等于 1800 2 三角形按内角的大小可分为三类 a 锐角三角形 即三角形的三个内角都是锐角的三角形 b 直角三角形 即有一个内角是直角的三角形 我们通常用 Rt 表示 直 角三角形 其中直角 C 所对的边 AB 称为直角三角表的斜边 夹直角的两 边称为直角三角形的直角边 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余 c 钝角三角形 即有一个内角是钝角的三角形 3 判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数 4 直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半 5 任意一个三角形都具备六个元素 即三条边和三个内角 都具有三边关系和三内 角之和为 1800的性质 6 三角形内角和定理包含一个等式 它是我们列出有关角的方程的重要等量关系 4 4 三角形的三条重要线段 三角形的三条重要线段 1 三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线 中线和高线 2 三角形的角平分线 a 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交 这个角的顶点和交点之间 的线段叫做三角形的角平分线 b 任意三角形都有三条角平分线 并且它们相交于三角形内一点 3 三角形的中线 a 在三角形中 连接一个顶点与它对边中点的线段 叫做这个三角形的中线 b 三角形有三条中线 它们相交于三角形内一点 4 三角形的高线 a 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形的高线 简称为三角形的高 b 任意三角形都有三条高线 它们所在的直线相交于一点 F 三 三 三三 三 三 三 三三 三 三 三 三三 三 三 三 三 三 1 A D C E B D B A C F E A D CB 5 5 全等图形 全等图形 1 两个能够重合的图形称为全等图形 2 全等图形的性质 全等图形的形状和大小都相同 3 全等图形的面积或周长均相等 4 判断两个图形是否全等时 形状相同与大小相等两者缺一不可 5 全等图形在平移 旋转 折叠过程中仍然全等 6 全等图形中的对应角和对应线段都分别相等 6 6 全等分割 全等分割 1 把一个图形分割成两个或几个全等图形叫做把一个图形全等分割 2 对一个图形全等分割 a 首先要观察分析该图形 发现图形的构成特点 b 其次要大胆尝试 敢于动手 必要时可采用计算 交流 讨论等方法完成 7 7 全等三角形 全等三角形 1 能够重合的两个三角形是全等三角形 用符号 连接 读作 全等于 2 用 连接的两个全等三角形 表示对应顶点的字母写在对应的位置上 3 全等三角形的性质 全等三角形的对应边 对应角相等 这是今后证明边 角相 等的重要依据 4 两个全等三角形 准确判定对应边 对应角 即找准对应顶点是关键 8 8 全等三角形的判定 全等三角形的判定 区 别相 同 中 线平分对边三条中线交于三角形内部 角平分线平分内角三条角平分线交于三角表内部 锐角三角形 三条高线都在三角形内部 直角三角形 其中两条恰好是直角边高 线 垂直于对边 或其延长 线 钝角三角形 其中两条在三角表外部 1 都是线段 2 都从顶点画出 3 所在直线相交于一 点 1 三边对应相等的两个三角形全等 简写为 边边边 或 SSS 2 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 简写为 角边角 或 ASA 3 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 简写为 角角边 或 AAS 4 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 简写为 边角边 或 SAS 5 注意以下内容 a 三角形全等的判定条件中必须是三个元素 并且一定有一组边对应相等 b 三边对应相等 两边及夹角对应相等 一边及任意两角对应相等 这样的两 个三角形全等 c 两边及其中一边的对角对应相等不能判定两三角形全等 6 熟练运用以下内容 a 熟练运用三角形判定条件 是解决此类题的关键 b 已知 SS 可考虑 A 第三边 即 SSS B 夹角 即 SAS c 已知 SA 可考虑 A 另一角 即 AAS 或 ASA B 夹角的另一边 即 SAS d 已知 AA 可考虑 A 任意一边 即 AAS 或 A