【步步高】2013-2014学年高中数学 综合检测同步训练 苏教版选修2-1

1 综合检测综合检测 一 填空题 1 已知命题p x R R x2 x 0 则綈p为 1 4 2 双曲线 1 的焦距是 x2 m2 12 y2 4 m2 3 已知空间向量a a 1 n 2 b b 2 1 2 若 2a a b b与b b垂直 则 a a 4 设a R R 则 a 1 是 直线l1 ax 2y 1 0 与直线l2 x a 1 y 4 0 平行 的 条件 5 设点P1 1 2 3 P2 2 1 3 P3 3 2 1 且a a b b 若ka a b b P1P3 P2P3 与a a 3b b垂直 则实数k 1 2 6 已知命题p 若a b 0 则 loga logb 1 则命题p的逆命题 否命题 逆否命 1 2 1 2 题中真命题的个数为 7 若命题 x R R 使x2 a 1 x 1b 0 M为椭圆上一动点 F1为椭圆的左焦点 则线段MF1的 x2 a2 y2 b2 中点P的轨迹是 9 设F1 F2是椭圆E 1 a b 0 的左 右焦点 P为直线x 上一点 x2 a2 y2 b2 3a 2 F2PF1是底角为 30 的等腰三角形 则E的离心率为 10 如图 将边长为 1 的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角 若点P满足 BP 1 2BA 1 2 则 2的值为 BC BD BP 11 在正方体ABCD A1B1C1D1中 直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为 12 过M 2 0 的直线m与椭圆 y2 1 交于P1 P2两点 线段P1P2的中点为P 设直 x2 2 线m的斜率为k1 k1 0 直线OP的斜率为k2 则k1k2的值为 13 设F1 F2是椭圆 1 的两个焦点 P是椭圆上一点 且PF1 PF2 1 则 x2 3 y2 4 cos F1PF2 14 椭圆 1 a b 0 的两个焦点是F1 F2 以F1F2为边作正三角形PF1F2 若椭圆 x2 a2 y2 b2 2 与PF1 PF2的交点恰好为PF1 PF2的中点 则椭圆的离心率为 二 解答题 15 已知p 0 q x2 2x 1 m2 0 mb 0 的离心率为 且a2 2b x2 b2 y2 a2 2 2 1 求椭圆的方程 2 若直线l x y m 0 与椭圆交于A B两点 且线段AB的中点在圆x2 y2 5 上 求m的值 18 如图 平面PAC 平面ABC ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形 E F O分别为 PA PB AC的中点 AC 16 PA PC 10 设G是OC的中点 证明 FG 平面BOE 19 如图 在四棱锥A BCDE中 底面BCDE为矩形 侧面ABC 底面BCDE BC 2 CD AB AC 2 1 证明 AD CE 2 设CE与平面ABE所成的角为 45 求二面角C AD E的余弦值 20 已知椭圆 1 与射线y x x 0 交于点A 过A作倾斜角互补的两条直线 x2 2 y2 42 它们与椭圆的另一交点为点B和点C 1 求证 直线BC的斜率为定值 并求出这个定值 2 求 ABC面积的最大值 3 答案答案 1 x R R x2 x 0 2 8 3 4 充分不必要 5 6 1 1 4 3 5 2 19 24 7 1 a 3 8 椭圆 9 10 11 12 13 14 1 3 4 9 4 3 3 1 2 3 53 15 解 由 0 得 2 x 10 x 2 10 x 即p 2 x 10 由x2 2x 1 m2 0 m 0 得 x 1 m x 1 m 0 所以 1 m x 1 m 即q 1 m x 1 m 又因为p是q的必要条件 所以Error 解得m 3 又m 0 所以实数m的取值范围是 3 m 0 16 解 p 0 2m 1 m 0 m 1 3 q 1 2 0 m 15 5 m 5 p q为假 p q为真 p假q真或p真q假 p假q真 Error m 15 1 3 q假p真 Error m 综上可知 实数m的取值范围为 m 15 1 3 17 解 1 由题意得Error 解得Error 故椭圆的方程为x2 1 y2 2 2 设A x1 y1 B x2 y2 线段AB的中点为M x0 y0 联立直线与椭圆的方程得 Error 即 3x2 2mx m2 2 0 所以x0 x1 x2 2 m 3 y0 x0 m 2m 3 即M m 3 2m 3 又因为M点在圆x2 y2 5 上 所以 2 2 5 m 3 2m 3 解得m 3 18 证明 如图 连结OP 以点O为坐标原点 分别以OB OC OP所在直线为x轴 y轴 4 z轴 建立空间直角坐标系O xyz 则O 0 0 0 B 8 0 0 P 0 0 6 E 0 4 3 F 4 0 3 G 0 4 0 因为 8 0 0 0 4 3 OB OE 设平面BOE的法向量为n n x y z 则Error 解得x 0 4y 3z 令z 4 则n n 0 3 4 所以平面BOE的一个法向量为n n 0 3 4 由 4 4 3 得n n 0 FG FG 又直线FG不在平面BOE内 所以FG 平面BOE 19 1 证明 作AO BC 垂足为O 则AO 底面BCDE 且O为BC的中点 以O为坐标原 点 射线OC为x轴正方向 建立如图 1 所示的空间直角坐标系O xyz 图 1 设A 0 0 t 由已知条件有C 1 0 0 D 1 0 2 E 1 0 2 0 2 CE 2 1 t AD 2 所以 0 得AD CE CE AD 2 解 作CF AB 垂足为F 连结FE 如图 2 所示 设F x 0 z 则 x 1 0 z CF 0 0 0 BE 2 CF BE 图 2 5 故CF BE 又AB BE B 所以CF 平面ABE 故 CEF是CE与平面ABE所成的角 CEF 45 由CE 得CF 63 又CB 2 所以 FBC 60 所以 ABC为等边三角形 因此A 0 0 3 作CG AD 垂足为G 连结GE 在 Rt ACD中 求得 AG AD 2 3 故G 2 3 2 2 3 3 3 GC 1 3 2 2 3 3 3 GE 5 3 2 3 3 3 又 1 0 AD 23 GC AD 0 GE AD 所以与的夹角等于二面角C AD E的平面角 GC GE 由 cos GC GE GC GE GC GE 10 10 得二面角C AD E的余弦值为 10 10 20 1 证明 由Error 得A 1 2 设直线AB的斜率为k 则直线AC的斜率为 k 直线AB的方程为y k x 1 2 直线AC的方程为y k x 1 2 将 代入椭圆方程并化简得 k2 2 x2 2 k kx k2 2k 2 0 22 1 和xB是它的两个根 xB k2 2 2k 2 k2 2 yB kxB k 2 2k2 4k 2 2 k2 2 同理可得xC yC k2 2 2k 2 k2 2 2k2 4k 2 2 k2 2 kBC yB yC xB xC2 2 解 设直线BC的方程为y