2011届高三数学一轮复习阶段质量检测（06）《不等式推理与证明》（理）

阶段质量检测阶段质量检测 六六 不等式 推理与证明不等式 推理与证明 时间时间 120120 分钟 满分分钟 满分 150150 分分 第第 卷卷 选择题 共选择题 共 4040 分分 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 1 下列命题中的真命题是 下列命题中的真命题是 A A 若 若a a b b c c d d 则 则acac bdbd B B 若 若 a a b b 则 则a a2 2 b b2 2 C C 若 若a a b b 则 则a a2 2 b b2 2 D D 若 若a a b b 则 则a a2 2 b b2 2 解析 由解析 由a a b b 可得 可得a a b b 0 0 a a2 2 b b2 2 答案 答案 D D 2 2 已知函数 已知函数f f x x Error 若 若f f x x 1 1 则 则x x的取值范围是的取值范围是 A A 1 1 B B 1 1 C C 0 10 1 D D 1 11 1 解析 将原不等式转化为 解析 将原不等式转化为 Error 或或Error 从而得 从而得x x 1 1 或或x x 1 1 答案 答案 D D 3 3 若集合 若集合A A x x 2 2x x 1 1 3 3 B B x x 0 0 则 则A A B B是是 2 2x x 1 1 3 3 x x A A x x 1 1 x x 或或 2 2 x x 3 3 B B x x 2 2 x x 3 3 1 1 2 2 C C x x x x 2 2 D D x x 1 1 x x 1 1 2 2 1 1 2 2 解析 解析 2 2x x 1 1 3 3 3 3 2 2x x 1 1 3 3 1 1 x x 2 2 又又 0 0 2 2x x 1 1 x x 3 3 0 0 2 2x x 1 1 3 3 x x x x 3 3 或或x x A A B B x x 1 1 x x 1 1 2 2 1 1 2 2 答案 答案 D D 4 4 给出下面类比推理命题 给出下面类比推理命题 其中其中 Q Q 为有理数集 为有理数集 R R 为实数集 为实数集 C C 为复数集为复数集 若若a a b b R R 则 则a a b b 0 0 a a b b 类比推出类比推出 若若a a b b C C 则 则a a b b 0 0 a a b b 若若a a b b c c d d R R 则复数 则复数a a b bi i c c d di i a a c c b b d d 类比推出类比推出 若若 a a b b c c d d Q Q 则 则a a b b c c d d a a c c b b d d 2 22 2 若若a a b b R R 则 则a a b b 0 0 a a b b 类比推出类比推出 若若a a b b C C 则 则a a b b 0 0 a a b b 其中类比得到的结论正确的个数是其中类比得到的结论正确的个数是 A A 0 0 B B 1 1 C C 2 2 D D 3 3 解析 解析 是正确的 是正确的 是错误的 因为复数不能比较大小 如是错误的 因为复数不能比较大小 如a a 5 5 6i6i b b 4 4 6i6i 虽然满足虽然满足a a b b 1 1 0 0 但复数 但复数a a与与b b不能比较大小 不能比较大小 答案 答案 C C 5 5 三段论 三段论 只有船准时起航 才能准时到达目的港 只有船准时起航 才能准时到达目的港 某艘船是准时到达目的港的 某艘船是准时到达目的港的 所以这艘船是准时起航的所以这艘船是准时起航的 中小前提是中小前提是 A A B B C C D D 解析 大前提是解析 大前提是 小前提是 小前提是 结论是 结论是 答案 答案 B B 6 6 不等式组 不等式组Error 所表示的平面区域的面积等于 所表示的平面区域的面积等于 A A B B C C D D 3 3 2 2 2 2 3 3 4 4 3 3 3 3 4 4 解析 不等式组表示的平面区域如图所示 解析 不等式组表示的平面区域如图所示 由由Error 得交点得交点A A的坐标为的坐标为 1 1 1 1 又又B B C C两点的坐标为两点的坐标为 0 4 0 4 0 0 4 4 3 3 故故S S ABCABC 4 4 1 1 1 1 2 2 4 4 3 3 4 4 3 3 答案 答案 C C 8 8 某公司租地建仓库 每月土地占用费 某公司租地建仓库 每月土地占用费y y1 1与仓库到车站的距离成反比 而每月库存货物与仓库到车站的距离成反比 而每月库存货物 的运费的运费y y2 2与仓库到车站的距离成正比 如果在距离车站与仓库到车站的距离成正比 如果在距离车站 1010 kmkm 处建仓库 这两项费用处建仓库 这两项费用 y y1 1和和y y2 2分别为分别为 2 2 万元和万元和 8 8 万元 那么 要使这两项费用之和最小 仓库应建在离车站万元 那么 要使这两项费用之和最小 仓库应建在离车站 A A 5 5 kmkm 处处 B B 4 4 kmkm 处处 C C 3 3 kmkm 处处 D D 2 2 kmkm 处处 解析 由题意可设解析 由题意可设y y1 1 y y2 2 k k2 2x x k k1 1 x x k k1 1 xyxy1 1 k k2 2 y y2 2 x x 把把x x 1010 y y1 1 2 2 与与x x 1010 y y2 2 8 8 分别代入上式得分别代入上式得k k1 1 2020 k k2 2 0 80 8 y y1 1 y y2 2 0 80 8x x x x为仓库与车站距离为仓库与车站距离 2 20 0 x x 费用之和费用之和y y y y1 1 y y2 2 0 80 8x x 2 2 8 8 2 20 0 x x 0 0 8 8x x 2 20 0 x x 当且仅当当且仅当 0 80 8x x 即 即x x 5 5 时等号成立 时等号成立 2 20 0 x x 答案 答案 A A 第第 卷卷 非选择题 共非选择题 共 110110 分分 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 请把正确答案填在题中横线上分 请把正确答案填在题中横线上 9 9 不等式 不等式 x x 1 1 0 0 的解集是的解集是 x x 1 1 解析 解析 0 0 x x 1 1 x x 1 1 同时同时x x 1 01 0 即 即x x 1 1 x x 1 1 答案 答案 x x x x 1 1 1010 关于 关于x x的不等式的不等式x x2 2 a a 1 1 x x abab 0 0 的解集是的解集是 x x x x 1 1 或或x x 4 4 则实数 则实数a a b b的值的值 分别为分别为 解析 由不等式的解集为解析 由不等式的解集为 x x x x 1 1 或或x x 4 4 可得 可得 1 41 4 是方程是方程x x2 2 a a 1 1 x x abab 0 0 的两根 的两根 Error 解得 解得a a 4 4 b b 1 1 答案 答案 4 14 1 1111 关于 关于x x的不等式的不等式axax2 2 4 4x x 1 1 2 2x x2 2 a a恒成立 那么实数恒成立 那么实数a a的取值范围是的取值范围是 解析 不等式解析 不等式axax2 2 4 4x x 1 1 2 2x x2 2 a a 可化为可化为 a a 2 2 x x2 2 4 4x x a a 1 01 0 当当a a 2 2 0 0 即 即a a 2 2 时 不恒成立 不合题意 时 不恒成立 不合题意 当当a a 2 02 0 时 要使不等式恒成立 时 要使不等式恒成立 需需Error 解得解得a a 2 2 所以所以a a的取值范围为的取值范围为 2 2 答案 答案 2 2 1212 2010 2010 淄博模拟淄博模拟 若若f f a a 3 3m m 1 1 a a b b 2 2m m 当 当m m 0 1 0 1 时时f f a a 1 1 恒成立 则恒成立 则 a a b b的最大值为的最大值为 解析 设解析 设g g m m f f a a 3 3a a 2 2 m m b b a a 由于当 由于当m m 0 1 0 1 时时g g m m f f a a 3 3a a 2 2 m m b b a a 1 1 恒成立 恒成立 于是于是Error 即 即Error 满足此不等式组的点 满足此不等式组的点 a a b b 构成图中的阴影部分 其中构成图中的阴影部分 其中A A 2 2 3 3 5 5 3 3 设设a a b b t t 显然直线 显然直线a a b b t t过点过点A A时 时 t t取得最大值取得最大值 7 7 3 3 答案 答案 7 7 3 3 1313 某公司租赁甲 乙两种设备生产 某公司租赁甲 乙两种设备生产A A B B两类产品 甲种设备每天能生产两类产品 甲种设备每天能生产A A类产品类产品 5 5 件件 和和B B类产品类产品 1010 件 乙种设备每天能生产件 乙种设备每天能生产A A类产品类产品 6 6 件和件和B B类产品类产品 2020 件 已知设备甲每件 已知设备甲每 天的租赁费为天的租赁费为 200200 元 设备乙每天的租赁费为元 设备乙每天的租赁费为 300300 元 现该公司至少要生产元 现该公司至少要生产A A类产品类产品 5050 件 件 B B类产品类产品 140140 件 所需租赁费最少为件 所需租赁费最少为 元 元 解析 设需租赁甲种设备解析 设需租赁甲种设备x x台 乙种设备台 乙种设备y y台 台 则则Error 目标函数为目标函数为z z 200200 x x 300300y y 作出其可行域 易知当作出其可行域 易知当x x 4 4 y y 5 5 时 时 z z 200200 x x 300300y y有最小值有最小值 23002300 元 元 答案 答案 23002300 1414 已知点 已知点P P a a b b 与点与点Q Q 1 0 1 0 在直线在直线 2 2x x 3 3y y 1 1 0 0 的两侧 则下列说法正确的是的两侧 则下列说法正确的是 2 2a a 3 3b b 1 1 0 0 a a 0 0 时 时 有最小值 无最大值 有最小值 无最大值 b b a a M M R R 使 使 M M恒成立 恒成立 a a2 2 b b2 2 当当a a 0 0 且且a a 1 1 b b 0 0 时 则时 则的取值范围为的取值范围为 b b a a 1 1 1 1 3 3 2 2 3 3 解析 由已知解析 由已知 2 2a a 3 3b b 1 21 2 0 0 1 1 0 0 即即 2 2a a 3 3b b 1 1 0 0 错 错 当当a a 0 0 时 由时 由 3 3b b 2 2a a 1 1 可得可得 b b a a 2 2 3 3 1 1 3 3a a 不存在最小值 不存在最小值 错 错 表示为表示为 a a b b 与与 0 0 0 0 两点间的距离 由线性规划知识可得 两点间的距离 由线性规划知识可得 a a2 2 b b2 2 恒成立 恒成立 a a2 2 b b2 2 1 1 4 4 9 9 1 13 3 1 13 3 正确 正确 表示为表示为 a a b b 和和 1 0 1 0 两点的斜率 两点的斜率 b b a a 1 1 由线性规划知识可知由线性规划知识可知 正确 正确 答案 答案 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算 步骤步骤 1515 本小题满分本小题满分 1212 分分 已知已知f f x x 3 3x x2 2 a a 6 6 a a x x b b 1 1 解关于解关于a a的不等式的不等式f f 1 1 0 0 2 2 当不等式当不等式f f x x 0 0 的解集为的解集为 1 3 1 3 时 求实数时 求实数a a b b的值 的值 解 解 1 1 f f 1 1 3 3 a a 6 6 a a b b a a2 2 6 6a a b b 3 3 f f 1 1 0 0 a a2 2 6 6a a 3 3 b b 0 0 2424 4 4b b 当 当 0 0 即即b b 6 6 时 时 f f 1 1 0 0 的解集为的解集为 当当b b 6 6 时 时 3 3 a a 3 3 b b 6 6b b 6 6 f f 1 1 0 0 的解集为的解集为 a a 3 3 a a 3 3 b b 6 6b b 6 6 2 2 不等式 不等式 3 3x x2 2 a a 6 6 a a x x b b 0 0 的解集为的解集为 1 3 1 3 Error 解之 得解之 得Error 1616 本小题满分本小题满分 1212 分分 若若a a1 1 0 0 a a1 1 1 1 a an n 1 1 n n 1 21 2 2 2a an n 1 1 a an n 1 1 求证 求证 a an n 1 1 a an n 2 2 令令a a1 1 写出 写出a a2 2 a a3 3 a a4 4 a a5 5的值 观察并归纳出这个数列的通项公式的值 观察并归纳出这个数列的通项公式a an n 1 1 2 2 解 解 1 1 证明 证明 采用反证法采用反证法 若 若a an n 1 1 a an n 即即 a an n 解得 解得a an n 0 1 0 1 2 2a an n 1 1 a an n 从而从而a an n a an n 1 1 a a2 2 a a1 1 0 10 1 与题设 与题设a a1 1 0 0 a a1 1 1 1 相矛盾 相矛盾 故故a an n 1 1 a an n成立 成立 2 2 a a1 1 a a2 2 a a3 3 a a4 4 a a5 5 a an n 1 1 2 21 n n 1 1 2 2 2 2 3 3 4 4 5 5 8 8 9 9 1 16 6 1 17 7 n n N N 1717 本小题满分本小题满分 1212 分分 2010 2010 吉林模拟吉林模拟 沪杭高速公路全长沪杭高速公路全长 166166 千米 假设某汽车从上千米 假设某汽车从上 海莘庄镇进入该高速公路后以不低于海莘庄镇进入该高速公路后以不低于 6060 千米千米 时且不高于时且不高于 120120 千米千米 时的速度匀速行驶时的速度匀速行驶 到杭州 已知该汽车每小时的运输成本到杭州 已知该汽车每小时的运输成本y y 以元为单元以元为单元 由可变部分和固定部分组成 可由可变部分和固定部分组成 可 变部分与速度变部分与速度v v 千米千米 时时 的平方成正比 比例系数为的平方成正比 比例系数为 0 020 02 固定部分为 固定部分为 200200 元 元 1 1 把全程运输成本把全程运输成本y y 元元 表示为速度表示为速度v v 千米千米 时时 的函数 并指出这个函数的定义域 的函数 并指出这个函数的定义域 2 2 汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小 最小运输成本为多少元 汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小 最小运输成本为多少元 解 解 1 1 依题意得 依题意得 y y 200 200 0 020 02v v2 2 1 16 66 6 v v 166 0 02166 0 02v v 60 60 v v 120 120 2 20 00 0 v v 2 2 y y 166 0 02166 0 02v v 166 2 166 2 2 20 00 0 v v 0 0 0 02 2v v 2 20 00 0 v v 664 664 元元 当且仅当当且仅当 0 020 02v v 即即v v 100100 千米千米 时时取等号 时时取等号 2 20 00 0 v v 答 当速度为答 当速度为 100100 千米千米 时时 最小的运输成本为时时 最小的运输成本为 664664 元 元 1818 本小题满分本小题满分 1414 分分 已知函数已知函数f f x x axax2 2 4 4 a a为非零实数为非零实数 设函数 设函数F F x x Error 1 1 若若f f 2 2 0 0 求 求F F x x 的表达式 的表达式 2 2 设设mnmn 0 0 m m n n 0 0 试判断 试判断F F m m F F n n 能否大于能否大于 0 0 解 解 1 1 由由f f 2 2 0 40 4a a 4 4 0 0 a a 1 1 F F x x 2 2 4 0 4 0 xx xx 2 2 Error m m n n一正一负 一正一负 不妨设不妨设m m 0 0 且且n n 0 0 则 则m m n n 0 0 F F m m F F n n f f m m f f n n amam2 2 4 4 anan2 2 4 4 a a m m2 2 n n2 2 当当a a 0 0 时 时 F F m m F F n n 能大于能大于 0 0 当当a a 0 0 时 时 F F m m F F n n 不能大于不能大于 0 0 1919 本小题满分本小题满分 1414 分分 某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志 中国中国 印印 舞动的北京舞动的北京 和奥运会吉祥物和奥运会吉祥物 福娃福娃 该厂所用的主要原料为 该厂所用的主要原料为A A B B两种贵金两种贵金 属 已知生产一套奥运会标志需用原料属 已知生产一套奥运会标志需用原料A A和原料和原料B B的量分别为的量分别为 4 4 盒和盒和 3 3 盒 生产一套奥盒 生产一套奥 运会吉祥物需用原料运会吉祥物需用原料A A和原料和原料B B的量分别为的量分别为 5 5 盒和盒和 1010 盒 若奥运会标志每套可获利盒 若奥运会标志每套可获利 700700 元 奥运会吉祥物每套可获利元 奥运会吉祥物每套可获利 12001200 元 该厂月初一次性购进原料元 该厂月初一次性购进原料A A B B的量分别为的量分别为 200200 盒和盒和 300300 盒 问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大 盒 问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大 最大利润为多少 最大利润为多少 解 设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为解 设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为x x y y套 月利润为套 月利润为z z元 元 由题意得由题意得Error 目标函数为目标函数为z z 700700 x x 12001200y y 作出二元一次不等式组所表示的平面区域 即可行域 如图 作出二元一次不等式组所表示的平面区域 即可行域 如图 目标函数可变形为目标函数可变形为y y x x 7 7 1 12 2 z z 1 12 20 00 0 4 4 5 5 7 7 1 12 2 3 3 1 10 0 当当y y x x 通过图中的点通过图中的点A A时 时 最大 最大 z z最大 解最大 解Error 得点得点A A坐标为坐标为 7 7 1 12 2 z z 1 12 20 00 0 z z 1 12 20 00 0 20 24 20 24 将点将点A A 20 24 20 24 代入代入z z 700700 x x 12001200y y 得得z zmax max 700 20700 20 1200 241200 24 4280042800 元 元 答 该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为答 该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为 2020 2424 套时月利润最大 最大利润为套时月利润最大 最大利润为 4280042800 元 元 2020 本小题满分本小题满分 1414 分分 已知函数已知函数f f x x axax 2ln2lnx x f f 1 1 0 0 b b x x 1 1 若函数若函数f f x x 在其定义域内为单调函数 求在其定义域内为单调函数 求a a的取值范围 的取值范围 2 2 若函数若函数f f x x 的图象在的图象在x x 1 1 处的切线的斜率为处的切线的斜率为 0 0 且 且a an n 1 1 f f n n2 2 1 1 1 1 a an n n n 1 1 已知已知a a1 1 4 4 求证 求证 a an n 2 2n n 2 2 解 解 1 1 因为因为f f 1 1 a a b b