变量与函数-正比例函数讲义

中国负责任的教育品牌 1 私塾国际学府学科教师辅导教案私塾国际学府学科教师辅导教案 组长审核 组长审核 学员编号 学员编号 HD00HD00 年年 级 八年级级 八年级 课课 时时 数 数 3 3 课时课时 学员姓名 学员姓名 辅导科目 数辅导科目 数 学学 学科教师 学科教师 授课主题授课主题变量与函数 正比例函数变量与函数 正比例函数 教学目的教学目的 1 1 了解常量与变量的含义 能够分清实例中的常量与变量 了解常量与变量的含义 能够分清实例中的常量与变量 2 2 掌握函数的概念 了解函数的表达形式 能够判断两个变量间是否是函数关系 掌握函数的概念 了解函数的表达形式 能够判断两个变量间是否是函数关系 3 3 掌握求函数自变量取值范围的方法 掌握求函数自变量取值范围的方法 4 4 了解函数的表达形式 了解函数的表达形式 5 5 了解正比例函数的定义与表达式 了解正比例函数的定义与表达式 教学重点教学重点 1 1 常量与变量的含义 常量与变量的含义 2 2 函数的概念和表达形式 函数的概念和表达形式 3 3 正比例函数表达式 正比例函数表达式 授课日期及时段授课日期及时段20172017 年年 3 3 月月 3131 日日 19 00 21 0019 00 21 00 星期五星期五 第第 1 1 次课次课 知识点一 变量与函数知识点一 变量与函数 1 1 常量与变量概念 常量与变量概念 在某一变化过程中 有些量的数值是变化的 我们称数值发生变化的量叫变量 有些 数值是始终不变的 我们称数值始终不变的量为常量 2 2 函数概念 函数概念 一般地 在一个变化中 如果有两个变量 x 和 y 并且对于 x 的每一个确定的值 y 都有唯一 确定的值与其对应 那么我们就说 x 是自变量 y 是 x 的函数 如果当 x a 时 y b 那么 b 就叫做当自变量 为 a 时的函数值 注意 注意 与 x 的每一个确定值对应的 y 值都是唯一的 例题解析例题解析 例 1 圆周长公式 C 2 R 中 下列说法正确的是 R 是常量 2 为变量 B C R 为变量 2 为常量 C R 为变量 2 C 为常量 D C 为变量 2 R 为常量 例 2 一辆汽车以 40km 小时的速度行驶 行驶路程 s km 与行驶时间 t 小时 的关系式 s 40t 其中 是变量 是常量 例 3 下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据 1 时间是 8 分钟时 水的温度为 2 此表反映了变量 和 之间的关系 其中 是自变量 是因变量 3 在 时间内 温度随时间增加而增加 时间内 水的温度不再变化 中国负责任的教育品牌 2 巩固练习巩固练习 变式 1 某种弹簧原长 20 厘米 每挂重物 1 千克 伸长 0 2 厘米 挂上重物后的长度 y 厘米 与所挂重物 x 千克 之间的关系式 y 20 0 2x 其中 是常量 是变量 变式 2 拖拉机开始工作时 油箱中有油 40 升 如果每小时用油 4 升 则邮箱中剩余油量 y 升 与工作时 间 x 时 的函数关系式 y 40 4x y 4x y 40 4x y 4x 40 变式 3 下列变化关系中 y 是 x 的函数的个数有 xy 2 x y 10 x y 5 y 3x 1 y x 4x 5 222 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 知识点二 求自变量的取值范围知识点二 求自变量的取值范围 在函数关系式中 y x 1 中 x 是自变量 y 是关于 x 的函数 在实际问题或是特殊的整式中 对 x 的取值有 要求 此时 x 可是取到值的范围就叫做自变量 x 的取值范围 求自变量取值范围的方法求自变量取值范围的方法 1 1 当函数关系式用解析式表达式 要使解析式有意义 当函数关系式用解析式表达式 要使解析式有意义 整式取全体实数 分式取使分母不为 0 的值 偶次根式取使被开方数 0 的值 奇数根式取全体实数 混合式取使每一个式子有意义的值 零次幂 负指数幂取使底数不为 0 的值 2 2 对于反应实际问题的函数关系 要使实际问题有意义 对于反应实际问题的函数关系 要使实际问题有意义 例题解析例题解析 例 1 函数 y 中自变量的取值范围是 1x x A x 1 B x 1 C x 1 D 1 x 例 2 若函数 y 有意义 则 x 的取值范围是 2 x x B C D 2x 2x 2x 2x 本知识点小结本知识点小结 中国负责任的教育品牌 3 例 3 王爷爷要在墙边用篱笆围一矩形菜地 篱笆总长是 75 米 菜地面积 S 平方米 与宽 x 米 的函数关 系式是 自变量的取值范围是 巩固练习巩固练习 变式 1 下列函数中 自变量x的取值范围是 3x 的是 A 1 3 y x B 1 3 y x C 3yx D 3yx 变式 2 函数 y 的自变量 x 的取值范围是 1 42 x x 变式 3 若等腰三角形的周长为 50 厘米 底边长为 x 厘米 一腰长为 y 厘米 则 y 与 x 的函数关系式及变量 x 的取值范围是 y 50 2x 0 x 50 y 50 2x 0 x 25 y 50 x 0 x 50 2 1 y 50 x 0 x 25 2 1 变式 4 已知矩形的周长为 24 厘米 它的长为 x 厘米 宽为 y 厘米 则 y 与 x 之间的函数关系式为 当 x 3 时 y 2 当 x 4 5 时 y 3 当 x 10 时 y 4 当 x 20 时 y 的值 是什么 x 的取值范围 知识点三 函数的图像知识点三 函数的图像 1 1 函数的表达方法 函数的表达方法 1 列表法 用表格的方法来表示两个变量之间的关系 年份人口数 亿 198410 34 198911 06 199411 76 199912 52 201013 71 2 解析式法 用代数表达式来表示两个变量之间的关系 例如 s 40t y 20 0 3x 等 本知识点小结本知识点小结 中国负责任的教育品牌 4 3 图像法 用图像来表示两个变量之间的关系 对于一个函数 如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横 纵坐标 那么坐标平面内由这些 点组成的图形 就是这个函数的图像 123456789 1 1 2 1 2 3 4 5 6 7 t S O 2 2 描点法画函数图像 描点法画函数图像 第一步 列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 第二步 描点 在直角坐标系中 以自变量的值为横坐标 相应的函数值为纵坐标 描出表格中数值对应 的各店 第三步 连线 按照横坐标由小到大的顺序 把所描出的各点用平滑曲线连接起来 例题解析例题解析 例 1 小明获得了科技发明奖 他马上告诉了两个朋友 10 分钟后 他们又各自告诉了另外两个朋友 10 分 钟后 这些朋友又各自告诉了两个朋友 如果消息按这样的速度传下去 80 分钟将有多少人知道这个消息 试回答问题并补充表格 时间 分钟 01020304050607080 告诉的 人数 24 总数 26 例 2 2014 年 5 月 10 日上午 小华同学接到通知 她的作文通过了 我的中国梦 征文选拔 需尽快上交 该作文的电子文稿 接到通知后 小华立即在电脑上打字录入这篇文章 录入一段时间后因事暂停 过了一 会儿 小华继续录入并加快了录入速度 直至录入完成 设从录入文稿开始所经过的时间为 x 录入字数为 y 下面能反映 y 与 x 的函数关系的大致图象是 B C D 例 3 画出函数 y 0 5x 的图像 并指出自变量 x 的取值范围 中国负责任的教育品牌 5 巩固练习巩固练习 变式 1 甲 乙两车沿直路同向行驶 车速分别为 20m s 和 25m s 现甲车在乙车前 500m 处 设 xs 0 x 100 后两车相距 ym 用解析式和图像表示 y 与 x 的对应关系 变式 2 下列平面直角坐标系中的图象 不能表示 y 是x的函数的是 知识点四 正比例函数知识点四 正比例函数 1 1 正比例函数定义 正比例函数定义 在函数中形如 y kx k 是常熟 k 0 的函数 叫做正比例函数 其中 k 叫做比例系 数 正比例函数 y kx 是经过原点 0 0 的直线 2 2 正比例函数的等价形式 正比例函数的等价形式 1 是的正比例函数 yx 2 为常数且 0 ykx kk 3 若与成正比例 yx 4 为常数且 0 k x y kk 3 正比例函数图像和性质 本知识点小结本知识点小结 中国负责任的教育品牌 6 定义定义函数函数叫做正比例函数叫做正比例函数 0 kkxy 图像图像 经过点 经过点 0 00 0 和 和 1 1 k k 的一条直线 的一条直线 性质性质图像在一 二象限内 图像在一 二象限内 y y 随随 x x 的增大而增大的增大而增大图像在二 四象限内 图像在二 四象限内 y y 随随 x x 的增大而减小的增大而减小 例题解析例题解析 例 1 下列式子中 表示 y 是 x 的正比例函数 y 3x 2 y 0 3x 4 3 4y x 4 y 3x 5x 5 y 4x 6 5 22 x y 例 2 若函数 3a 2b 是关于的正比例函数 求 a b 的值 xy3 ba yx 中国负责任的教育品牌 7 例 3 设有三个变量 其中是的正比例函数 是的正比例函数xyzyxzy 1 求证 是的正比例函数 zx 2 如果 2 4 时 求出关于的函数关系式 zxzx 巩固练习巩固练习 变式 1 若 y x 2 b 是正比例函数 则 b 的值是 A 0 B 2 C 2 D 0 5 变式 2 若函数 y 2 m x 是关于 x 的正比例函数 则常数 m 的值等于 3 2 m A 2 B 2 C D 3 3 变式 3 画出下列函数图像并判断是否是正比例函数 1 y 3x 2 y 4x 2 3 y x 4 y 4x 3 1 当堂检测当堂检测 1 小明去文具商店买日记本 已知每本日记本定价为 2 元 1 小明所花的钱 y 元 与所买日记本的本数 x 本 之间的关系式为 2 在这个问题中 变量是 常量是 2 函数的自变量的取值范围是 2 3 x yx A B C D 且2 x2 x2 x2 x0 x 3 函数的自变量 x 的取值范围是 1 3 x y x A x 1 B x 1 且 x 3 C x 1 D x 1 且 x 3 本知识点小结本知识点小结 中国负责任的教育品牌 8 4 齐鲁晚报 每份 0 8 元 购买 齐鲁晚报 所需钱数 y 元 与所买份数 x 之间的关系是 其 中 是常量 是变量 5 下列四个图象中 不表示某一函数图象的是 A B C D 6 与函数 y x 是同一函数的是 A y x B C D x x y 2 33 xy 2 xy 7 设点 A a b 是正比例函数图象上的任意一点 则下列等式一定成立的是 3 2 yx A 2a 3b 0 B 2a 3b 0 C 3a 2b 0 D 3a 2b 0 8 设圆的面积为 S 半径为 R 那么下列说法正确的是 A S 是 R 的一次函数 B S 是 R 的正比例函数 C S 是 R2 的正比例函数 D 以上说法都不正确 9 一等腰三角形的周长是 20cm 将底边长 y cm 表示成腰长 x cm 的函数 1 写出函数解析式 2 求出腰长 x 的取值范围 10 将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内 现用一注水管沿大容器内壁匀速注 水 如图所示 则小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象大致为 cm h min t 中国负责任的教育品牌 9 家庭作业家庭作业 1 要画一个面积为 20 平方厘米的长方形 其长为 x 厘米 宽为 y 厘米 在这一变化过程中 常量与变量分 别为 A 常量为 20 变量 x y B 常量为 20 y 变量为 x C 常量为 20 x 变量为 y D 常量为 x y 变量为 20 2 3 分 函数的自变量 x 的取值范围是 1 2 2 yx x A B C D 2x 2x 2x 2x 3 函数的自变量 x 的取值范围在数轴上表示为 1 x y x 4 下列函数中 y 是 x 的正比例函数的是 A y B y 4x C 10 D xy 2 x9 1 2 1 y x5 5 1 5 函数 y a 1 是正比例函数 则 a 的值是 1 a x A 2 B 1C 2 或 1 D 2 6 函数 y 中 自变量 x 的取值范围是 xx 1 1 2 7 7 已知一个正比例函数的图像经过点 1 3 则这个正比例函数表达式 8 如图所示的图案是由正六边形密铺而成 黑色正六边形周围第一层有六个白色正六边形 则第 N 层与白色 课堂总结