上海市交通大学附属中学2013届高三数学5月月考试题 理 沪教版

1 上上海海交交通通大大学学附附属属中中学学 2 20 01 12 2 2 20 01 13 3 学学年年度度第第二二学学期期 高高三三数数学学月月考考试试卷卷 理理 说明 本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 本套试卷另附答题纸 每道题的解 答必须写在答题纸的相应位置 本卷上任何解答都不作评分依据 一 填空题 本大题满分 56 分 每题 4 分 填错或不填在正确的位置一律得零分 1 已知复数满足 则 zizi 1 z 2 已知集合 则 lg 1 213Sx yxTxx ST 3 在等差数列中 已知 则通项公式 n a13 7 a29 15 a n a 4 若 P 是圆上的动点 则 P 到直线的最小距离是0124 22 yxyx02434 yx 5 某区有 200 名学生参加数学竞赛 随机抽取 10 名学生成绩如下 则总体标准差的点估计值是 精确到 0 01 6 函数的最大值是 3 sinsin yxx 7 二项式展开式中的常数项为 9 1 x x 8 已知曲线的极坐标方程分别为 12 CC 4cos0 0 2 则曲线与交点的一个极坐标为 cos3 1 C 2 C 9 若 则 1 23 32 lim 21 112 nn nn n a a a 10 已知是最小正周期为 2 的函数 当时 若在区间 xf 1 1 x 2 1f xx 上有两个不相等的实数根 则实数的取值范围是 3 5 axxf a 11 某校学生在上学路上要经过 2 个路口 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的 遇 到红灯的概率都是 遇到红灯时停留的时间都是 2 分钟 则该校某个学生在上学路上 1 3 因遇到红灯停留的总时间的均值等于 分钟 12 设直线与平面相交但不垂直 则下列所有正确的命题序号是 m 在平面内有且只有一条直线与直线垂直 m 成 绩 人 数 40 11 5060 2213 708090 2 过直线有且只有一个平面与平面垂直 m 与直线平行的直线不可能与平面垂直 m 与直线垂直的直线不可能与平面平行 m 与直线平行的平面不可能与平面垂直 m 13 已知定义域为 R 的偶函数 对于任意 满足 且当 xfRx 2 2 xfxf 时 令 其中 函数20 xxxf 1 xgxg 1 xggxg nn Nn 则方程的解得个数为 结 201 4212 xx g x xx 2014 n x gf x 果用 n 表示 14 函数的图像与函数 的图像所有交 1 1 y x 2sinyx 2 4 xkkkZ 点的横坐标之和等于 2012 则满足条件的整数k的值是 二 选择题 本大题满分 20 分 15 如果命题 曲线上的点的坐标都是方程的C 0f x y 解 是正确的 则下列命题中正确的是 A 曲线是方程的曲线 C 0f x y B 方程的每一组解对应的点都在曲线上 0f x y C C 不满足方程的点不在曲线上 0f x y x yC D 方程是曲线的方程 0f x y C 16 若框图所给的程序运行的结果为 那么判断框中应填入的关于的判断条件错90S k 误的是 A B C D 8k 8k 9k 9k 17 将若干水倒入底面半径为的圆柱器皿中 底面水平放置 量得水面的高度为cm2 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒置的圆锥形器皿中 则水面的高度是 cm6 A B C D cm36cm6cm1823cm1233 18 设是公比为的等比数列 首项 对于 当且仅 n aq 64 1 1 a Nn nn ab 2 1 log 当时 数列的前项和取得最大值 则的取值范围为 4 n n bnq 第第 16 题图题图 3 A B C D 32 3 4 3 4 22 23 22 三 解答题 本大题满分 74 分 本大题共有 5 题 解答下列各题必须在答题纸规定的方框 内写出必要的步骤 19 本题共 本题共 2 2 小题 其中第小题 其中第 1 1 小题小题 6 6 分 第分 第 2 2 小题小题 6 6 分 满分分 满分 1212 分 分 如图所示 在三棱锥ABCP 中 PD 平面ABC 且垂足D在棱AC上 6ABBC 1AD 3CD 3PD 1 证明PBC 为直角三角形 2 求点到平面PBC的距离 A 20 本题共 本题共 2 2 小题 其中第小题 其中第 1 1 小题小题 7 7 分 第分 第 2 2 小题小题 7 7 分 满分分 满分 1414 分 分 在ABC 中 角 A B C的对边分别为 a b c 且 3 cos 4 B 1 求 2 sin2cos 2 AC B 的值 2 若3b 求ABC 面积的最大值 21 本题共 本题共 2 2 小题 其中第小题 其中第 1 1 小题小题 6 6 分 第分 第 2 2 小题小题 8 8 分 满分分 满分 1414 分 分 已知函数 22 32log logf xxg xx 1 当时 求函数的值域 1 4x 1 h xf xg x 2 如果对任意的 不等式恒成立 求 1 2 2 nn x nN 2 f xfxk g x 实数的取值范围 k B P A CD 4 22 本题共 本题共 3 3 小题 其中第小题 其中第 1 1 小题小题 4 4 分 第分 第 2 2 小题小题 6 6 分 第分 第 3 3 小题小题 6 6 分 满分分 满分 1616 分 分 已知椭圆 2 2 1 4 y x 的左 右两个顶点分别为A B 曲线C是以A B两点为顶 点 焦距为2 5的双曲线 设点P在第一象限且在曲线C上 直线AP与椭圆相交于另一 点T 1 求曲线C的方程 2 设P T两点的横坐标分别为 1 x 2 x 求证 12 xx 为一定值 3 设TAB 与POB 其中O为坐标原点 的面积分别为 1 S与 2 S 且 15PA PB 求 22 12 SS 的取值范围 23 本题满分 本题满分 1818 分 第分 第 1 1 小题小题 4 4 分 第分 第 2 2 小题小题 6 6 分 第分 第 3 3 小题小题 8 8 分分 已知数列的各项都是正数 且满足 n a 1 1a 1 1 4 2 nnn aaa nN 1 求证 2 n a nN 2 判断数列的单调性 n a 2 求数列的通项公式 n a n a 参考答案 一 填空题 1 2 3 2n 1 4 5 5 17 64 6 2 2 11 xx 4 3 7 84 8 9 10 11 12 2 3 6 2 1 15 15 0 a 3 4 13 14 1002 或 1003 2014 2n 14 函数图象的对称中心是 1 0 这也是函数 1 1 y x 2sinyx 的对称中心 其对称两个交点的横坐标之和为 2 于是共有 2 4 xkkkZ 2012 个交点 注意到在内有 4 个交点 其余周期内均 2 个交点 又 而周期 0 2 kZ 为 2 于是或 1003 1002k 二 15 C 16 D 17 B 18 C 三 三 5 1919 本题共 本题共 2 2 小题 其中第小题 其中第 1 1 小题小题 6 6 分 第分 第 2 2 小题小题 6 6 分 满分分 满分 1212 分 分 解 解 1 1 以点E为坐标原点 以EB EC所在的直线分别为x轴 y轴建立如图的空间 直角坐标系Exyz 1 则 2 0 0B 0 2 0C 0 1 3P 2 于是 2 1 3BP 2 2 0BC 因为 2 1 32 2 00BP BC AA BPBC BPBC 5 PBC 为直角三角形 6 2 2 由 1 可得 0 2 0A 于是 0 1 3AP 7 2 1 3PB 0 3 3PC 设平面PBC的法向量为 nx y z 则 0 0 n PB n PC 即 230 330 xyz yz 取1y 则3z 2x 平面PBC的一个法向量为 2 1 3n 10 点A到平面PBC的距离为 12 42 6 3 6 AP n n 解二 解二 1 联 BD 直接计算 求出 于是 可验证 2 6 cos 3 3 ABD 2 6BP 于是是直角三角形 2 利用体积可得 222 BPBCPC PBC A BPCP ABC VV 2020 本题共 本题共 2 2 小题 其中第小题 其中第 1 1 小题小题 6 6 分 第分 第 2 2 小题小题 6 6 分 满分分 满分 1212 分 分 解 解 I 因为 3 cos 4 B 所以 7 sin 4 B 1 又 22 sin2cos2sincoscos 22 ACB BBB 1 2sincos 1 cos 2 BBB 73 2 44 1 8 1 3 7 8 6 II 由已知得 222 3 cos 24 acb B ac 7 又因为3b 所以 22 3 3 2 acac 8 又因为 22 3 32 2 acacac B P A CD E x y z 6 所以6ac 当且仅当6ac 时 ac取得最大值 11 此时 1173 7 sin6 2244 ABC SacB 所以ABC 的面积的最大值为 3 7 4 12 2121 本题共 本题共 2 2 小题 其中第小题 其中第 1 1 小题小题 6 6 分 第分 第 2 2 小题小题 8 8 分 满分分 满分 1414 分 分 解 解 1 2 分 2 222 42log log2 log1 2h xxxx 因为 所以 4 分 1 4x 2 log0 2x 故函数的值域为 6 分 h x 0 2 2 由得 2 f xfxk g x 222 34log 3log logxxkx 令 因为 所以 2 logtx 1 2 2 nn x 2 log 1txn n 所以对一切的恒成立 8 分 34 3 ttk t 1tn n 当时 若时 9 分0n 0t kR 当时 恒成立 即 0 1t 34 3 tt k t 9 415kt t 函数在单调递减 于是时取最小值 此时 于是 9 415t t 0 1t 1t 2 2x 10 分 2k 当时 此时时 恒成立 即 2 1n 1 2 t 34 3 tt k t 9 415kt t 因为 当且仅当 即时取等号 所以的最小值为 9 412t t 9 4t t 3 2 t 9 415t t 3 12 分 3k 当时 此时时 恒成立 即 3 2n 1 tn n 34 3 tt k t 9 415kt t 函数在单调递增 于是时取最小值 此时 9 415t t 1 tn n tn 9 415n n 2nx 于是 14 分 9 415kn n 2222 本题共 本题共 3 3 小题 其中第小题 其中第 1 1 小题小题 4 4 分 第分 第 2 2 小题小题 6 6 分 第分 第 3 3 小题小题 6 6 分 满分分 满分 1616 分 分 解 解 1 1 依题意可得 1 0A 1 0B 1 双曲线的焦距为2 5 5c 222 5 14bca 3 双曲线C的方程为 2 2 1 4 y x 4 2 2 证明 证明 设点 11 P x y 22 T xy 0 i x 1 2i 直线AP的斜率为k 7 0k 则直线AP的方程为 1yk x 5 联立方程组 2 2 1 1 4 yk x y x 整理 得 2222 4240kxk xk 6 解得1x 或 2 2 4 4 k x k 2 2 2 4 4 k x k 7 同理方程组 2 2 1 1 4 yk x y x 可得 2 1 2 4 4 k x k 9 12 1xx 为一定值 10 3 3 设点 11 P x y 22 T xy 0 i x 1 2i 则 11 1 PAxy 11 1 PBxy 15PA PB 2 111 1115xxy 即 22 11 16xy 11 点P在双曲线上 则 2 2 1 1 1 4 y x 所以 22 11 4416xx 即 2 1 4x 12 又 点P是双曲线在第一象限内的一点 所以 1 12x 122 1 2 SAByy 211 11 22 SOByy 22222222 12212112 1 44154 4 SSyyxxxx 13 由 2 知 12 1xx 即 2 1 1 x x 设 2 1 tx 则14t 22 12 4 5SSt t 4 t t 在 1 2上单调递减 在 2 4上单调递增 14 当4t 即 1 2x 时 22 12 min 40SSf 当2t 即 1 2x 时 22 12 max 21SSf 22 12 SS 的取值范围为 0 1 16 2323 本题共 本题共 3 3 小题 其中第小题 其中第 1 1 小题小题 4 4 分 第分 第 2 2 小题小题 6 6 分 第分 第 3 3 小题小题 8 8 分 满分分 满分 1818 分 分 解 1 当 n 1 时 a1 1 a1 2 命题正确 假设 n k 时有 2 则 n k 1 时 4 2 n k 1 时命题正确 k a 1k a 1 2 k a k a 因此对一切的有 2 nN n a 2 数列单调递增 下证对一切的有 n anN n a 1n a 8 当 n 1 时 a1 1 a2 a1 4 a1 a1 a2 命题正确 1 2 3 2 假设 n k 时有 则 n k 1 时 k a 1k a 4 4 2 1k a 2k a 1 2 k a k a 1 2 1k a 1k a 1kk aa 1 2 1kk aa 1kk aa 4 而0 0 n k 1 时命 1 2 1kk aa 1kk aa 1kk aa 1kk aa 1k