八年级数学上册 三角形相关的重要知识点 苏科版

用心 爱心 专心1 三角形三角形 求助编辑百科名片 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形 平面上三条直 线或球面上三条弧线所围成的图形 三条直线所围成的图形叫平面三角形 三条弧线所围 成的图形叫球面三角形 也叫三边形 目录 三角形的定义 三角形的内角和 三角形分类 三角形形状的判定方法 解直角三角形 斜三角形特殊情况 解斜三角形 斜三角形的解法 三角形的性质 三角形的全等 定义 变化的方式 条件 五心坐标 五心的坐标 五心的距离 三角形为什么具有稳定性 三角形的边角之间的关系 特殊三角形 三角形的面积公式 三角形重要定理 勾股定理 毕达哥拉斯定理 射影定理 欧几里得定理 正弦定理 余弦定理 生活中的三角形物品 三角形中的线段 三角形相关定理 三角函数 三角函数 种类 锐角三角函数 三角形的稳定性 三角形的定义 三角形的内角和 三角形分类 三角形形状的判定方法 解直角三角形 斜三角形特殊情况 解斜三角形 用心 爱心 专心2 斜三角形的解法 三角形的性质 三角形的全等 定义 变化的方式 条件 五心坐标 五心的坐标 五心的距离 三角形为什么具有稳定性 三角形的边角之间的关系 特殊三角形 三角形的面积公式 三角形重要定理 勾股定理 毕达哥拉斯定理 射影定理 欧几里得定理 正弦定理 余弦定理 生活中的三角形物品 三角形中的线段 三角形相关定理 三角函数 三角函数 种类 锐角三角函数 三角形的稳定性 展开 编辑本段三角形的定义 在同一平面上 由三条边首尾相接组成的内角和为 180 一定是 180 这是个准确的数 的封闭图形叫做三角形 三角形是几何图案的基本图形 各种多边形都是由三角形组成的 三角形的内角和 在欧几里得的几何体系中 三角形都是平面上的 所以三角形的内角和为 180 度 三 角形的一个外角等于两个不相邻的内角的和 三角形的一个外角大于其他两内角的任一个 用心 爱心 专心3 角 注 在非欧几何中 三角形的内角和有可能大于 180 度也有可能小于 180 此时的三 角形也从平面也变为了球面或者伪球面 证明 根据三角形的外角和等于内角可以证明 详细参见 培优 走进三角形 如何证明三角形的内角和等于 180 方法 1 将三角形的三个角撕下来拼在一起 可求出内角和为 180 方法 2 在三角形任意一个顶点处做辅助线 可求出内角和为 180 例题 已知有一 ABC 求证 ABC BAC BCA 180 证明 做 BC 的延长线至点 D 过点 C 作 AB 的平行线至点 E AB CE 已知 ABC ECD 两直线平行 同位角相等 BAC ACE 两直线平行 内错角相等 BCD 180 ACB ACE ECD BCD 180 等式的性质 ABC BAC BCA 180 等量代换 编辑本段三角形分类 1 按角度分 a 锐角三角形 三个角都小于 90 度 三个角都为锐角 等边三角形也是锐角三角形 b 直角三角形 简称 Rt 直角三角形两个锐角互余 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在直角三角形中 如果有一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 在直角三角形中 如果有一条直角边等于斜边的一半 那么这条直角边所对的锐角 等于 30 和 相反 c 钝角三角形 有一个角大于 90 度 d 证明全等时可用 HL 方法 锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形 2 按边分 不等边三角形 等腰三角形 含等边三角形 三角形形状的判定方法 若一个三角形的三边 a b c a bc 2 则这个三角形是锐角三角形 a 2 b 2 c 2 则这个三角形是直角三角形 a 2 b 20 现在 把 b L 2 a 代 入 s a b 就有 s a L 2 a a 2 L 2 a a 0 这是关于 a 的一个二次函数 并且 A 10 所以 s 2a L 2 a 0 令 s 0 有 2a L 2 所以 a L 4 所以 Smax L 4 L 2 L 4 L 2 16 max 最大值 b a L 4 此时 矩形为正方形 也可以用不等式 因为 a b 2 0 又因 a b 2 a b 2 4ab 所以有 a b 2 4ab 0 即 a b a b 2 4 当 a b 去 s 有最大值 因为 a b L 2 s a b 所以 s L 2 2 4 L 2 16 现在 来谈一谈周长固定三角形面积的问题 说有一根长度固定为 L 的绳子 现在要 围成一个三角形 问 什么样的三角形面积才是最大的 好像 一般三角形的性质并不多 一个三边关系定理 三角形两边之和大于第三边 和一个内角和定理 三角形三个内角的和等于 180 还有个推论 三角形两边之差小于第 三边 不妨设绳子 L 围成的三角形一边为 x 则另外两边之和为 L x 根据三边关系定理 有 x L x 于是有 0 x L 2 物理学中在处理问题时 不是常用控制变量法吗 我们何 不使用呢 假设 x 为一个常量 则 L x 也为常量 且 x2c 可以 以 2c x 的中点建立坐标系 则 a 2 L x 2 2 b 2 L x 2 2 x 2 2 L L 2x 三角形与椭圆 所以椭圆方程为 X 2 L x 2 2 Y 2 L L 2x 4 1 用心 爱心 专心9 函数图像的直观反映 三角形的面积为 s 1 2 2c Y 因为 x 2c 是固定的 所以 s 取决于 Y 当 Y 取 max 时 即 Y b 时 s 有最大值 即 S s x max 且此时 该三角形为等要三角形 c L 2 2Lx 4 1 2 1 4 x L 2 2Lx 1 2 0 x L 2 现在 我们得到了一个关于 s 最大值的函数 或者说以最大值 s 为自变量的函数 S s x 可以说我们的目标是 函数最大值的最大值 Smax max s x max 剩下的就是微积分的技 巧了 对 S s x max 求导 S LX L 2 2Lx 1 2 L 2 2Lx 1 2 令 S 0 有 LX L 2 2Lx 1 2 L 2 2Lx 1 2 则 LX L 2 2Lx 解之得 x L 3 且有 x L 3 L 2 满足三角 形条件 此时的三角形是一个正三角形 Smax max s x max 3 1 2 L 2 36 此模型的思想有 点类似变分法 函数的函数 泛函 但还是有本质的差别 也可以用海伦公式 s p p a p b p c 1 2 其中 p a b c 2 用不等式来解决 或者用二元函数的偏导及拉格朗日乘法 来解解决也行 不要以为 海伦公式 s p p a p b p c 1 2 比微积分简单一些 前提是你必须知道 这个公式 而且能够证明 我就给大家一个证明 这是我在分解因式中 遇到较麻烦的一 次 要证明海伦公式 s p p a p b p c 1 2 首先 要知道余弦定理 勾股定理的扩展 余弦定理 a 2 b 2 c 2 2bccosA 则有 cosA b 2 c 2 a 2 2bc 所以 sinA 1 b 2 c 2 a 2 2bc 2 1 2 a 2 b 2 c 2 2 2 a 4 b 4 c 4 2bc 2 1 2 又因为 三角形面积公式 s 1 2 bcsinA 1 2 bc a 2 b 2 c 2 2 2 a 4 b 4 c 4 2bc 2 1 2 1 4 a 2 b 2 c 2 2 2 a 4 b 4 c 4 1 2 与角度 A 并无直接关系 又 a 2 b 2 c 2 2 2 a 4 b 4 c 4 2a 2b 2 2a 2c 2 2b 2c 2 a 4 b 4 c 4 用心 爱心 专心10 b 2c 2 a 2c 2 b 4 a 4 2a b 2 a 2c 2 b 2c 2 c 4 b 2c 2 2abc 2 a 2c 2 b 4 a 4 2a b 2 a 2c 2 b 2c 2 2abc 2 c 4 配方 c 2 b 2 2ab a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 2ab a 2 c 4 c 2 b a 2 b a b a 2 c 2 b a 2 c 4 c 2 b a 2 c 4 b a 2 b a 2 c 2 b a 2 分解因式 c 2 b a 2 c 2 b a 2 b a 2 c 2 b a 2 c 2 c 2 b a 2 提公因式 b a 2 c 2 b a 2 c 2 b a 2 c 2 1 b a 2 c 2 b a 2 c 2 1 b a c b a c b a 2 c 2 b a c a c b a b c a b c b c a a c b s 1 4 a b c a b c b c a a c b 1 2 a b c 2 a b c 2 b c a 2 a c b 2 1 2 a b c 2 a b c 2 c b c a 2 b a c b 2 a 1 2 在令 p a b c 2 就得到海伦公式 s p p a p b p c 1 2 有了此公式 在利用不等式 问题就可以解决了 需要知道的一个不等式 a b c 3 27 abc a b c 均为正数 当 a b c 时 取 p a p b p c 3p a b c 3 27 又 2p a b c p a p b p c p3 27 则有 p a p b p c 1 2 p p 1 2 3 3 1 2 所以 p 1 2 p a p b p c 1 2 p2 3 3 1 2 即 s 3 1 2 36 p2 当 p a p b p c 即 a b c 时 取 s 有最大值 3 1 2 36 L 2 2006 全国卷 l 理科第 11 题 用长度分别为 2 3 4 5 6 单位 的 5 根细棒 围成一个三角形 允许连接 但不许折断 能够得到的三角形的最大面积是 B A 8 5 1 2 B 6 10 1 2 C 3 55 1 2 D 20 分析 首先 这几个整数成等差数列 公差为 1 它们的和为 20 现在 要把这 5 个 数任意的分成 3 组 然后围成三角形 最后找出这些三角形中面积最大的一个 如果 真的去分组 在统计比较 时间上显然不够 这个时候就需要你会建立 数学 模型了 并且能够转化数学 把离散组合 转化为连续的数学 数学家在研究问题时 往往关注一些变中不变的东西 那往往是大规律 大道理 不 以人的意志为之转移 带有根本性的 把这 5 个数任意的分成 3 组 然后围成三角形 无 论怎么变化 有一条是不变的 它们的和为 20 于是要解决的问题就是 当三角形周长固 定时 什么样的三角形面积才是最大的 上面研究过 正三角形的面积最大 并且由 S s x max 且此时 该三角形为等腰三角形 1 4 x L 2 2Lx 1 2 0 x L 2 的函数图像可知 x 在区间 0 L 3 为增函数 在 L 3 L 2 为减函数 所以 当三 角形周长固定时 越接近正三角形形状的三角形面积越大 20 3 6 6667 显然这里的 5 个 数是组合不成 6 6667 的 只能退而求其次了 我们发现 猜出来的 2 5 3 4 6 的组合是最接近正三角形的 所以它的面积最大 经过简单的计算 就知道结果了 B 6 10 1 2 用心 爱心 专心11 我们在来做一件事 比较一下周长固定的面积最大的矩形与三角形的面积 L 2 16 与 3 1 2 36 L2 为了方便比较 把它们换为小数 0 0625L 2 与 0 048112522L 2 我们发现 四边形 正方形 的面积要大一些 根据这中经验 是否可以数学归纳 提出猜想 1 在 平面内曲线周长固定时 圆的面积最大 猜想 2 在平面内曲线周长固定时 围成的 n 边 形中 正 n 边形的面积最大 事实上 第一个猜想是正确的 不过需要变分法来处理 同样需要微积分来研究 不 过是高等微积分了 编辑本段特殊三角形 1 相似三角形 1 形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形 2 相似三角形性质 相似三角形对应边成比例 对应角相等 相似三角形对应边的比叫做相似比 相似三角形的周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 相似三角形对应线段 角平分线 中线 高 之比等于相似比 若 a b b c 成比例 即 a b b c 则称 b 是 a 和 c 的比例中项 3 相似三角形的判定 1 三边对应成比例则这两个三角形相似 2 两边对应成比例及其夹角相等 则两三角形相似 3 两角对应相等则两三角形相似 3 等腰三角形 等腰三角形的性质 1 两底角相等 2 两条腰相等 3 顶角的角平分线 底边上的中线和底边上的高互相重合 等腰三角形的判定 1 等角对等边 2 两底角相等 巧用 在特定题目中 等腰三角形 平行 角平分线这三量 知二可推另一 4 等边三角形 等边三角形的性质 1 顶角的角平分线 底边上的中线和底边上的高互相重合 2 等边三角形的各角都相等 并且都等于 60 等边三角形的判定 1 三个内角或三个对应位置的外角都相等的三角形是等边三角形 2 有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形 编辑本段三角形的面积公式 1 S 1 2 2ah a 是三角形的底 h 是底所对应的高 2 S 1 2acsinB 1 2bcsinA 1 2absinC 三个角为 A B C 对边分别为 a b c 参 见三角函数 3 S p p a p b p c p 1 2 a b c 海伦 秦九韶公式 4 S abc 4R R 是外接圆半径 5 S a b c r 2 r 是内切圆半径 6 a b 1 用心 爱心 专心12 S 1 2 c d 1 e f 1 a b 1 c d 1 e f 1 为三阶行列式 此三角形 ABC 在平面直角坐标系内 A a b B c d C e f 这里 ABC 选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取 因为这样取得出的结果 一般都为正值 如果不按这个规则取 可能会得到负值 但只要取绝对值就可以了 不会 影响三角形面积的大小 7 S c 2sinAsinB 2sin A B 8 S 正 3 4 a 2 正三角形面积公式 a 是三角形的边长 海伦公式 3 特殊情 况 编辑本段三角形重要定理 勾股定理 毕达哥拉斯定理 内容 在任何一个直角三角形中 两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方 几何语言 若 ABC 满足 ABC 90 则 AB 2 BC 2 AC 2 勾股定理的逆定理也成立 即两条边长的平方之和等于第三边长的平方 则这个三角 形是直角三角形 几何语言 若 ABC 满足 AB 2 BC 2 AC 2 则 ABC 90 射影定理 欧几里得定理 内容 在任何一个直角三角形中 作出斜边上的高 则斜边上的高的平方等于高所在 斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积 几何语言 若 ABC 满足 ABC 90 作 BD AC 则 BD AD DC 射影定理的拓展 若 ABC 满足 ABC 90 作 BD AC 1 AB 2 AD AC 2 BC 2 CD AC 3 ABXBC ACXBD 正弦定理 内容 在任何一个三角形中 每个角的正弦与对边之比等于三角形面积的两倍与三边 边长和的乘积之比 几何语言 在 ABC 中 sinA a sinB b sinC c 2S 三角形 abc 结合三角形面积公式 可以变形为 a sinA b sinB c sinC 2R R 是外接圆半径 余弦定理 内容 在任何一个三角形中 任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边的 2 用心 爱心 专心13 倍乘以它们夹角的余弦 几何语言 在 ABC 中 a 2 b 2 c 2 2bc cosA 此定理可以变形为 cosA b 2 c 2 a 2 2bc 编辑本段生活中的三角形物品 雨伞 帽子 彩旗 灯罩 风帆 小亭子 雪山 楼顶 切成三角形的西瓜 火炬冰 淇淋 热带鱼的边缘线 蝴蝶翅膀 火箭 竹笋 宝塔 金字塔 三角内裤 机器上用的 三角铁 某些路标 长江三角洲 斜拉桥等 三角形全等的条件 注意 只有三个角相等无法推出两个三角形全等 也不可以用 SSA 1 三边对应相等的两个三角形全等 简写为 SSS 2 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 简写成 ASA 3 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 简写成 AAS 4 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 简写成 SAS 5 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 简写成 HL 全等三角形的性质 全等三角形的对应角相等 对应边也相等 并且全等三角形能重合 编辑本段三角形中的线段 中线 顶点与对边中点的连线 平分三角形的面积 高 从三角形的一个顶点 三角形任意两条边的交点 向其对边所作的垂线段 顶点 至对边垂足间的线段 叫做三角形的高 角平分线 平分三角形的其中一个角的线段叫做三角形的角平分线 它到两边距离相等 注 一个角的平分线是射线 平分线的所在直线是这个角的对称轴 中位线 任意两边中点的连线 编辑本段三角形相关定理 中位线定理 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半 三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 勾股定理 又称毕达哥拉斯定理 在 Rt 三角形 ABC 中 A 90 度 则 AB 2 AC 2 BC 2 梅涅劳斯定理 梅涅劳斯 Menelaus 定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的 它指出 如果一 条直线与 ABC 的三边 AB BC CA 或其延长线交于 F D E 点 那么 AF FB BD DC CE EA 1 证明 过点 A 作 AG BC 交 DF 的延长线于 G 则 AF FB AG BD BD DC BD DC CE EA DC AG 三式相乘得 AF FB BD DC CE EA AG BD BD DC DC AG 1 它的逆定理也成立 若有三点 F D E 分别在的边 AB BC CA 或其延长线上 且 满足 AF FB BD DC CE EA 1 则 F D E 三点共线 利用这个逆定理 可以判断三 点共线 塞瓦定理 设 O 是 ABC 内任意一点 AO BO CO 分别交对边于 D E F 则 BD DC CE EA AF FB 1 用心 爱心 专心14 证法简介 本题可利用梅涅劳斯定理证明 ADC 被直线 BOE 所截 CB BD DO OA AE EC 1 而由 ABD 被直线 COF 所截 BC CD DO OA AF BF 1 即得 BD DC CE EA AF FB 1 也可以利用面积关系证明 BD DC S ABD S ACD S BOD S COD S ABD S BOD S ACD S COD S AOB S AOC 同理 CE EA S BOC S AOB AF FB S AOC S BOC 得 BD DC CE EA AF FB 1 利用塞瓦定