2011届《走向高考》高三数学二轮复习 专题5 立体几何课时训练 理 新人教版

1 专题五专题五 立体几何第立体几何第 1 1 讲讲 空间几何体空间几何体 1 圆x2 y 1 2 3 绕直线kx y 1 0 旋转一周所得的几何体的体积为 A 36 B 12 C 4 D 4 3 2 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示 则其侧面积等于 A B 2 3 C 2 D 6 3 3 2010 年唐山一中质检 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4 体积为 16 则这个球的表面积是 A 16 B 20 C 24 D 32 4 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形 则原平面四边形 的面积等于 A a2 B 2a2 2 4 2 C a2 D a2 2 22 5 已知一个圆锥的底面半径为R 高为H 在圆锥内有一个内接圆柱 当圆柱的侧面 积为 RH时 圆柱的母线长为 1 2 A B H 5 H 4 C D H 3 H 2 6 2010 年河南开封调研 四面体的六条棱中 有五条棱长都等于a 则该四面体的体 积的最大值为 A a3 B a3 3 8 2 8 C a3 D a3 1 8 1 12 7 下面是关于四棱柱的四个命题 若有两个侧面垂直于底面 则该四棱柱为直四棱柱 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面 则该四棱柱为直四棱柱 若四个侧面两两全等 则该四棱柱为直四棱柱 若四棱柱的四条对角线两两相等 则该四棱柱为直四棱柱 其中真命题的编号是 写出所有真命题的编号 8 如图所示两组立体图形都是由相同的小正方体拼成的 1 图 1 的正 主 视图与图 2 的 相同 2 图 3 的 图与图 4 的 图不同 9 2010 年高考天津卷 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何体的体积为 2 10 如图 一个倒圆锥形容器 它的轴截面是正三角形 在容器内放一个半径为r的 铁球 并向容器内注水 使水面恰与铁球相切 将球取出后 容器内的水深是多少 11 2010 年高考陕西卷 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形 P A 平面ABCD AP AB BP BC 2 E F分别是PB PC的中点 1 证明 EF 平面PAD 2 求三棱锥E ABC的体积V 12 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示 1 请画出该几何体的直观图 并求它的体积 2 证明 A1C 平面AB1C1 3 若D是棱CC1的中点 在棱AB上取中点E 判断DE是否平行于平面AB1C1 并证明 你的结论 3 4 第 2 讲 点 直线 平面之间的位置关系 1 2009 年高考湖南卷 平行六面体ABCD A1B1C1D1中 既与AB共面也与CC1共面的 棱的条数为 A 3 B 4 C 5 D 6 2 已知平面 平面 l 点A A l 直线AB l 直线AC l 直 线m m 则下列四种位置关系中 不一定成立的是 A AB m B AC m C AB D AC 3 设 是两个不同的平面 a b是两条不同的直线 给出下列四个命题 其中 正确的是 A 若a b 则a b B 若a b a b 则 C 若a b a b 则 D 若a b在平面 内的射影互相垂直 则a b 4 2010 年包头市质检 设A B C D是空间四个不同的点 在下列命题中 不正确 的是 A 若AC与BD共面 则AD与BC共面 B 若AC与BD是异面直线 则AD与BC是异面直线 C 若AB AC DB DC 则AD BC D 若AB AC DB DC 则AD BC 5 如图 平面 平面 l A C是 内不同的两点 B D是 内不 同的两点 且A B C D 直线l M N分别是线段AB CD的中点 下列判断正确的是 A 当 CD 2 AB 时 M N两点不可能重合 B M N两点可能重合 但此时直线AC与l不可能相交 C 当AB与CD相交 直线AC平行于l时 直线BD可以与l相交 D 当AB CD是异面直线时 直线MN可能与l平行 6 在正四面体P ABC中 D E F分别是AB BC CA的中点 下面四个结论中不成 立的是 A BC 平面PDF B DF 平面PAE C 平面PDF 平面ABC D 平面PAE 平面ABC 7 如图 长方体ABCD A1B1C1D1中 MN在平面BCC1B1内 MN BC于M 则MN与平面 AB1的位置关系是 8 2010 年山西长治二中模拟 在正三棱锥P ABC中 D E分别是AB BC的中点 5 有下列三个结论 AC PB AC 平面PDE AB 平面PDE 则所有正确结论的序号是 9 设 和 为不重合的两个平面 给出下列命题 若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线 则 平行于 若 外一条直线l与 内的一条直线平行 则l和 平行 设 和 相交于直线l 若 内有一条直线垂直于l 则 和 垂直 直线l与 垂直的充要条件是l与 内的两条直线垂直 上面命题中 真命题的序号是 写出所有真命题的序号 10 如图 在四棱锥P ABCD中 PD 平面ABCD AD CD DB平分 ADC E为PC的 中点 AD CD 1 证明 PA 平面BDE 2 证明 AC 平面PBD 6 11 如图 在四棱锥P ABCD中 侧面PAD 底面ABCD 侧棱PA PD 底面ABCD是 直角梯形 其中BC AD BAD 90 AD 3BC O是AD上一点 1 若CD 平面PBO 试指出点O的位置 2 求证 平面PAB 平面PCD 12 2010 年河南洛阳调研 如图 已知三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都相等 且侧 棱垂直于底面 由B沿棱柱侧面经过棱CC1到点A1的最短路线长为 2 设这条最短路线 5 与CC1的交点为D 1 求三棱柱ABC A1B1C1的体积 2 在平面A1BD内是否存在过点D的直线与平面ABC平行 证明你的判断 3 证明 平面A1BD 平面A1ABB1 7 8 第 3 讲 空间向量与立体几何 1 在正三棱柱ABC A1B1C1中 D是CC1的中点 F是A1B的中点 且 则 DF AB AC A 1 B 1 1 2 1 2 C 1 D 1 1 2 1 2 2 2010 年山东曲阜市调研 已知平面 内有一个点M 1 1 2 它的一个法向量 为n n 6 3 6 则下列点P中 在平面 内的是 A P 2 3 3 B P 2 0 1 C P 4 4 0 D P 3 3 4 3 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为a M N分别为A1B和AC上的点 A1M AN 则MN与平面BB1C1C的位置关系是 2a 3 A 相交 B 平行 C 垂直 D 不能确定 4 2009 年高考江西卷 如图 正四面体ABCD的顶点A B C分别在两两垂直的三条 射线Ox Oy Oz上 则在下列命题中 错误的为 A O ABC是正三棱锥 B 直线OB 平面ACD C 直线AD与OB所成的角是 45 D 二面角D OB A为 45 5 已知长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 1 AA1 2 E是侧棱BB1的中点 则直线 AE与平面A1ED1所成角的大小为 A 60 B 90 C 45 D 以上都不正确 6 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 点P在线段BD1上 当 APC最大时 三棱 锥P ABC的体积为 A B 1 24 1 18 C D 1 9 1 12 7 已知向量a a 0 1 1 b b 4 1 0 a a b b 且 0 则 29 8 在一直角坐标系中已知A 1 6 B 3 8 现沿x轴将坐标平面折成 60 的二 面角 则折叠后A B两点间的距离为 9 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A BD C 有如下四个结论 9 AC BD ACD是等边三角形 AB与平面BCD所成的角为 60 AB与CD所成的角为 60 其中正确的序号是 写出你认为正确的结论的序号 10 2010 年高考湖南卷 如图所示 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB AD 1 AA1 2 M是棱CC1的中点 1 求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值 2 证明 平面ABM 平面A1B1M 10 11 如图 在四棱锥P ABCD中 PD 底面ABCD 底面ABCD为正方形 PD DC E F分别是AB PB的中点 1 求证 EF CD 2 求DB与平面DEF所成角的正弦值 12 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 已知BC 1 BB1 2 AB 平面BB1C1C 1 求直线C1B与底面ABC所成角的正切值 2 在棱CC1 不包括端点C C1 上确定一点E的位置 使EA EB1 要求说明理由 3 在 2 的条件下 若AB 求二面角A EB1 A1的大小 2 11 12 专题五 第 1 讲 空间几何体 1 解析 选 C 直线kx y 1 0 过圆x2 y 1 2 3 的圆心 0 1 故所得几何 体是半径为的球 其体积为 3 4 故选 C 3 4 333 2 解析 选 D 由正视图还原实物图知 该几何体的高是 1 底面边长是 2 的正三棱 柱 S侧 2 1 3 6 3 解析 选 C 设正四棱柱的底面边长为a 球半径为R 则Error 解得a 2 R2 6 球的表面积S 4 R2 24 4 解析 选 B 根据斜二测画法画平面图形直观图的规则 可以得出原图的面积S与 它的直观图的面积S 之间的关系是S S 又因为直观图的面积为a2 所以原平面四 2 4 边形的面积等于 2a2 a2 2 4 2 5 解析 选 D 设圆柱的母线长为x 底面半径为r 由 得r R x r R H x H R H 那么圆柱的侧面积S 2 rx 2 x R x x2 2 Rx R H 2 R H 则 x2 2 Rx RH 2x H 2 0 x 2 R H 1 2 H 2 故所求圆柱的母线长为 H 2 6 解析 选 C 法一 设三棱锥另一棱长BC x 如图所示 取BC的中点E 连结AE DE 易证BC垂直于平面ADE 故VA BCD S ADE BE S ADE EC 1 3 1 3 S ADE BC a x 1 3 1 3 1 2 3a2 x2 2 a 12x2 3a2 x2 a 12 x2 3a2 x2 2 a3 8 当且仅当x2 3a2 x2 x a时取得等号 6 2 法二 如图 底ABD是固定的 当C运动时 显然当平面CAD 平面ABD时高最大 体积最大 Vmax a2 a 1 3 3 4 3 2 a3 8 13 7 解析 错 必须是两个相邻的侧面 正确 错 反例 可以是一个斜四棱 锥 正确 对角钱两两相等 则此两条对角线组成的平行四边形为矩形 故正确答案为 答案 8 解析 对于第一组的两个立体图形 图 1 的正 主 视图与图 2 的俯视图相同 对于第二组的两个立体图形 图 3 的正 主 视图与图 4 的正 主 视图不同 而侧 左 视 图和俯视图都是相同的 答案 1 俯视图 2 正视 正视 9 解析 该几何体是上面是底面边长为 2 的正四棱锥 下面是底面边长为 1 高为 2 的正四棱柱的组合体 其体积为V 1 1 2 22 1 1 3 10 3 答案 10 3 10 解 如图 由题意知 轴截面PAB为正三角形 故当球在容器内时 水深为 3r 水面半径 为r 容器内水的体积是 3 V V圆锥 V球 r 2 3r r3 r3 33 4 3 5 3 将球取出后 设容器中水的深度为h 则水面半径为h 3 3 此时容器内水的体积为V h 2 h h3 3 3 3 9 由V V 得h r 3 15 即铁球取出后水深为 r 3 15 11 解 1 证明 在 PBC中 E F分别是PB PC的中点 EF BC 四边形ABCD为矩形 BC AD EF AD AD 平面PAD EF 平面PAD EF 平面PAD 2 连结AE AC EC 过E作EG PA交AB于点G 则EG 平面ABCD 且EG PA 1 2 在 PAB中 AP AB PAB 90 BP 2 AP AB EG 2 2 2 S ABC AB BC 2 1 2 1 222 VE ABC S ABC EG 1 3 1 32 2 2 1 3 14 12 解 1 几何体的直观图如图 BB1C1C是矩形 BB1 CC1 BC 1 AA1C1C是边长为的正方形 且垂直于底面 33 BB1C1C 其体积V 1 1 233 3 2 2 证明 ACB 90 BC AC 三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱 BC CC1 AC CC1 C BC 平面ACC1A1 BC A1C B1C1 BC B1C1 A1C 四边形ACC1A1为正方形 A1C AC1 B1C1 AC1 C1 A1C 平面AB1C1 3 当E为棱AB的中点时 DE 平面AB1C1 证明 如图 取BB1的中点F 连结EF FD DE D E F分别为CC1 AB BB1的中点 EF AB1 AB1 平面AB1C1 EF 平面AB1C1 EF 平面AB1C1 FD B1C1 FD 面AB1C1 又EF FD F 面DEF 面AB1C1 而DE 面DEF DE 面AB1C1 第 2 讲 点 直线 平面之间的位置关系 1 解析 选 C 如图 根据两条平行直线 两条相交直线确定一个平面 可得 CD BC BB1 AA1 C1D1符合条件 2 解析 选 D 如图所示的正方体中 平面OCMN为平面 平面AOB为平面 此时AC与平面 不垂直 15 3 解析 选 C A 选项中 平行于同一个平面的两条直线的位置关系可以是异面 平 行和相交 故 A 错误 B 选项中 平面 与 还可以相交 故 B 错误 经判断可知 选 项 D 错误 选项 C 中 由面面垂直的判定定理可知正确 4 解析 选 D 注意审题是选不正确的选项 分别判断易知 D 选项中当四点构成空间四面体时 只能推出AD BC 二者不一定相等 如图易证得直线BC 平面ADE 从而AD BC 5 解析 选 B 当M N重合时 四边形ACBD为平行四边形 故AC BD l 此时直 线AC与l不可能相交 B 正确 易知 A C D 均不正确 6 解析 选 C D F分别为AB CA的中点 DF BC BC 平面PDF 故 A 正确 又 P ABC为正四面体 P在底面ABC内的射影O在AE上 PO 平面ABC PO DF 又 E为BC中点 AE BC AE DF 又 PO AE O DF 平面PAE 故 B 正确 又 PO 平面PAE PO 平面ABC 平面PAE 平面ABC 故 D 正确 四个结论中不成立的是 C 7 解析 MN BC MN BB1 而BB1 平面AB1 MN 平面AB1 答案 MN 平面AB1 8 解析 取AC中点M 连结PM 易得AC PM AC BM 所以AC 平面PMB 从而有 AC PB 正确 AC DE 所以AC 平面PDE 正确 因为AB与DE不垂直 所以AB与 平面PDE也不垂直 不正确 16 答案 9 解析 命题 是两个平面平行的判定定理 正确 命题 是直线与平面平行的判 定定理 正确 命题 中在 内可以作无数条直线与l垂直 但 与 只是相交关系 不一定垂直 错误 命题 中直线l与 垂直可推出l与 内两条直线垂直 但l与 内的两条直线垂直推不出直线l与 垂直 所以直线l与 垂直的必要不充分条件是l 与 内的两条直线垂直 答案 10 证明 1 设AC BD H 连结EH 在 ADC中 因为AD CD 且DB平分 ADC 所以H为AC 的中点 又由题设E为PC的中点 故EH PA 又EH 平面BDE且PA 平面BDE 所以PA 平面BDE 2 因为PD 平面ABCD AC 平面ABCD 所以PD AC 结合 1 易知DB AC 又PD DB D 故AC 平面PBD 11 解 1 因为CD 平面PBO CD 平面ABCD 且平面ABCD 平面PBO BO 所以 BO CD 又BC AD 所以四边形BCDO为平行四边形 则BC DO 而AD 3BC 故点O的位置 满足 即在AD的 处且离D点比较近 OD AD 1 3 1 3 2 证明 因为侧面PAD 底面ABCD AB 底面ABCD 且AB 交线AD 所以AB 平面PAD 则AB PD 又PA PD 且PA 平面PAB AB 平面PAB AB PA A 所以PD 平面PAB 而PD 平面PCD 所以平面PAB 平面PCD 12 解 1 如图 将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转 120 使其与侧面AA1C1C在同一平面 上 点B运动到点B2的位置 连结A1B2 则A1B2就是由点B沿棱柱侧面经过棱CC1到点A1 的最短路线 设棱柱的棱长为a 则B2C AC AA1 a CD AA1 D为CC1的中点 在 Rt A1AB2中 由勾股定理得A1A2 AB A1B 2 22 2 即a2 4a2 2 2 解得a 2 5 S ABC 22 3 43 VABC A1B1C1 S ABC AA1 2 3 2 设A1B与AB1的交点为O 连结BB2 OD 则OD BB2 BB2 平面ABC OD 平面ABC OD 平面ABC 即在平面A1BD内存在过点D的直线与平面ABC平行 3 证明 连结AD B1D Rt A1C1D Rt BCD Rt ACD A1D BD B1D AD 17 OD A1B OD AB1 A1B AB1 O OD 平面A1ABB1 又 OD 平面A1BD 平面A1BD 平面A1ABB1 第 3 讲 空间向量与立体几何 1 解析 选 A DF DA AF DC AC 1 2 AB AA1 1 2C1C AC 1 2AB 1 2AA1 1 2AB AC 1 1 2 2 解析 选 A 由于n n 6 3 6 是平面 的一个法向量 所以它应该和平面 内的任意一个向量垂直 只有在选项 A 中 2 3 3 1 1 2 1 4 1 MP n n 1 4 1 6 3 6 0 所以点P 2 3 3 在平面 内 MP 3 解析 选 B MN MB BC CN 2 3A1B BC 2 3CA 2 3 A1B1 B1B BC 2 3 CD DA 2 3B1B BC 2 3DA 又是平面BB1C1C的一个法向量 CD 且 0 MN CD 2 3B1B BC 2 3DA CD MN CD 又MN 面BB1C1C MN 平面BB1C1C 4 解析 选 B 由 Rt COB Rt COA OB OA 同理可证OB OC OA OB OC 又因 ABC为正三角形 O ABC为正三棱锥 A 正确 将图补成正方体如图所示 显然选项 C D 正确 B 错 误 5 解析 选 B 以点D为原点 DA DC DD1分别为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐 标系 由题意知 A1 1 0 2 18 E 1 1 1 D1 0 0 2 A 1 0 0 0 1 1 1 1 1 A1E D1E 0 1 1 EA 设平面A1ED1的法向量为n n x y z 则Error Error 令z 1 得y 1 x 0 所以n n 0 1 1 cos n n 1 EA n n EA n n EA 2 2 2 所以 n n 180 所以直线AE与平面A1ED1所成的角为 90 EA 6 解析 选 B 以B为坐标原点 BA所在直线为x轴 BC所在直线为y轴 BB1所在直线为z轴 建立空间直角坐标系 设 可得P 再由 cos APC 可求 BP BD1 AP CP AP CP 得当 时 APC最大 故VP ABC 1 1 1 3 1 3 1 2 1 3 1 18 7 解析 a a b b 0 1 1 4 1 0 4 1 由已知得 42 1 2 229 又 0 解得 3 答案 3 8 解析 据条件作出折叠后图示 易由A B两点坐标确定AC BD CD的距离及AC和BD所成 的角 则 即可看作空间向量的一组已知基底 用其表示出向量 AC CD DB AB 如图为折叠后的图形 其中AC CD BD CD 则AC 6 BD 8 CD 4 两异面直线AC BD所成的角为 60 故由 AB AC CD DB 得 2 2 68 AB AC CD DB 2 AB 17 答案 2 17 9 解析 19 取BD中点O 连结AO CO 则AO BD CO BD BD 面AOC AC BD 又AC AO AD CD 2 ACD是等边三角形 而 ABD是AB与平面BCD所成的角 应为 45 又A A B D 设AB a C B D C 则a2 a2 2a2 a2 2 a a 2a a 2a2cos A D 2 2 22 2 2 B C cos A D AB与CD所成角为 60 B C 1 2 答案 10 解 1 因为C1D1 B1A1 所以 MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角 因为A1B1 平面BCC1B1 所以 A1B1M 90 而A1B1 1 B1M B1C2 1 MC2 12 故 tan MA1B1 B1M A1B12 即异面直线A1M和C1D1所成的角的正