2011届高三数学二轮复习 专题二第四讲导数及其应用 北师大版

用心 爱心 专心1 第四讲第四讲 导数及其应用导数及其应用 主干知识回扣 主干网络 要点强化 1 常见基本初等函数的导数公式有哪些 常用的导数运算法则有哪几个 复合函数 y f g x 的导数和 y f u u g x 的导数之间有怎样的关系 提示 1 常见基本初等函数的导数公式 C 0 C 为常数 xn nxn 1 n N sin x cos x cos x sin x ex ex ax axln a a 0 且 a 1 ln x logax logae a 0 且 a 1 1 x 1 x 2 常用的导数运算法则 法则 1 u x u x u x v x 法则 2 u x v x u x v x u x v x 法则 3 v x 0 u x v x u x v x u x v x v2 x 3 y x y u u x三者关系为 y x y u u x 2 曲线 y f x 在点 P0 x0 y0 处的切线与过点 P0 x0 y0 的切线 两说法有区别吗 提示 有区别 前者 P0一定为切点 而后者 P0不一定为切点 3 导数值为 0 的点一定是函数的极值点吗 其为可导函数在该点取得极值的什么条件 提示 不一定 如函数 f x x3 在 x 0 处 有 0 f 0 但 x 0 不是函数 y f x x3的极 值点 其为可导函数 y f x 在该点取得极值的必要而不充分条件 用心 爱心 专心2 4 函数的单调性与其导数的正 负有怎样的关系 函数在某个范围内增减的快慢及图象的 陡峭 平缓 与函数在该区间上的导数有怎样的关系 提示 1 一般地 函数的单调性与其导数的正负有如下关系 在某个区间 a b 内 如果 fx 0 函数 f x 在这个区间内单调递增 如果 fx 0 函数 f x 在这个区间内单调递减 如果 fx 0 函数 f x 在这个区间内是常数函数 2 一般地 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大 那么函数在这个范围内变化得快 这时函数的图象就比较 陡峭 向上或向下 反之 函数的图象就 平缓 一些 高频考点突破 考点一 导数的几何意义 高考在导数部分非常重视对导数几何意义的考查 而解决切线问题的关键是切点坐标 另 外解决曲线的切线问题还要注意区分是求过一点的切线还是在某点处的切线 例 1 设函数 f x ax 曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 7x 4y 12 0 b x 1 求 f x 的解析式 2 证明 曲线 y f x 上任一点处的切线与直线 x 0 和直线 y x 所围成的三角形面 积为定值 并求此定值 独立解答 1 方程 7x 4y 12 0 可化为 y x 3 7 4 当 x 2 时 y 1 2 又 fx a b x2 于是Error 解得Error 故 f x x 3 x 2 证明 设 P x0 y0 为曲线上任一点 由 y 1 知曲线在点 P x0 y0 处的切线方程为 3 x2 y y0 x x0 1 3 x2 0 即 y x x0 x0 3 x0 1 3 x2 0 令 x 0 得 y 6 x0 从而得切线与直线 x 0 的交点坐标为 0 6 x0 令 y x 得 y x 2x0 从而得切线与直线 y x 的交点坐标为 2x0 2x0 用心 爱心 专心3 所以点 P x0 y0 处的切线与直线 x 0 y x 所围成的三角形面积为 2x0 6 1 2 6 x0 故曲线 y f x 上任一点处的切线与直线 x 0 y x 所围成的三角形的面积为定值 此 定值为 6 变式训练 1 2010 南京模拟 在平面直角坐标系 xOy 中 设 A 是曲线 C1 y ax3 1 a 0 与曲 线 C2 x2 y2 的一个公共点 若 C1在 A 处的切线与 C2在 A 处的切线互相垂直 则实数 5 2 a 的值是 解析 设 A x0 y0 所以 C1在 A 处的切线的斜率为 f x0 3ax C2在 A 处的切 2 0 线的斜率为 又 C1在 A 处的切线与 C2在 A 处的切线互相垂直 所 1 kOA x0 y0 以 3ax 1 即 y0 3ax 又 ax y0 1 所以 y0 代入 C2 x2 y2 得 x0 将 x0 y02 03 03 0 3 2 5 2 1 2 x0 y0 代入 y ax3 1 a 0 得 a 4 1 2 3 2 答案 4 考点二 导数与函数的单调性 1 求可导函数的单调区间的一般步骤 1 确定定义域 2 求 fx 3 解不等式 fx 0 得函数的递增区间 解不等式 fx 0 得函数的递减区间 注意 当一个函数的递增或递减区间有多个时 不能盲目将它们取并集 2 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况 大多数情况下是归结为一个含有 参数的一元二次不等式的解集的讨论 在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依 据根的大小进行分类讨论 在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判 别式进行分类讨论 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的 千万不要忽视了定义 域的限制 例 2 2010 福州模拟 已知 f x x2 bx c 为偶函数 曲线 y f x 过点 2 5 g x x a f x 1 若曲线 y g x 有斜率为 0 的切线 求实数 a 的取值范围 2 若当 x 1 时函数 y g x 取得极值 确定 y g x 的单调区间 独立解答 1 因为 f x x2 bx c 为偶函数 故 f x f x 即 x 2 b x c x2 bx c 从而 b b 解得 b 0 又曲线 y f x 过点 2 5 得 22 c 5 故 c 1 又函数 g x x a x2 1 x3 ax2 x a 从而 g x 3x2 2ax 1 因为曲线 y g x 有斜率为 0 的切线 故 g x 0 有实数解 即 3x2 2ax 1 0 有实数解 此时有 2a 2 12 0 用心 爱心 专心4 解得 a 33 2 因为函数 g x 在 x 1 处取得极值 故 g 1 0 即 3 2a 1 0 解得 a 2 又 g x 3x2 4x 1 3x 1 x 1 令 g x 0 得 x1 1 x2 1 3 当 x 1 时 g x 0 故 g x 在 1 上为增函数 当 x 时 g x 0 1 1 3 故 g x 在上为减函数 1 1 3 当 x 时 g x 0 1 3 故 g x 在上为增函数 1 3 理科 2010 山东改编 已知函数 1 ln1 a f xxaxaR x 当 1 2 a 时 讨论 f x的单调性 解析 因为 1 ln1 a f xxax x 所以 2 22 111 0 aaxxa fxax xxx 令 2 1 0 h xaxxax 当0a 时 1 0 h xxx 所以当 0 1x 时 0 h x 此时 0 fx 函数 f x单调递减 当 1 x 时 0 h x 此时 0fx 函数 f x单调递增 当0a 时 由 0 fx 即 2 10axxa 解得 12 1 1 1xx a 当 1 2 a 时 12 xx 0h x 恒成立 此时 0fx 函数 f x在 0 上单 调递减 当 1 0 2 a 时 1 110 0 1 x a 时 0h x 此时 0fx 函数 f x单调递减 1 1 1 x a 时 0h x 此时 0fx 函数 f x单调递增 1 1 x a 时 0h x 此时 0fx 函数 f x单调递减 当0a 时 由于 1 10 a 0 1 x 时 0h x 此时 0fx 函数 f x单调递减 1 x 时 0h x 此时 0fx 函数 f x单调递增 综上所述 当0a 时 函数 f x在 0 1 上单调递减 函数 f x在 1 上单调递增 用心 爱心 专心5 当 1 2 a 时 函数 f x在 0 上单调递减 当 1 0 2 a 时 函数 f x在 0 1 上单调递减 函数 f x在 1 1 1 a 上单调递增 函数 f x在 1 1 a 上单调递减 变式训练 2 2010 山师附中质检 设函数 f x x3 3ax b a 0 1 若曲线 y f x 在点 2 f 2 处与直线 y 8 相切 求 a b 的值 2 求函数 f x 的单调区间与极值点 解析 1 fx 3x2 3a 因为曲线 y f x 在点 2 f 2 处与直线 y 8 相切 所以Error 即Error 解得 a 4 b 24 2 fx 3 x2 a a 0 当 a 0 时 fx 0 函数 f x 在 上单调递增 此时函数 f x 没有极值点 当 a 0 时 由 fx 0 得 x a 当 x 时 fx 0 函数 f x 单调递增 a 当 x 时 fx 0 函数 f x 单调递减 aa 当 x 时 fx 0 函数 f x 单调递增 a 此时 x 是 f x 的极大值点 x 是 f x 的极小值点 aa 答案 1 a 4 b 24 2 当 a 0 时 函数 f x 在 上单调递增 此时函数 f x 没有极值点 当 a 0 时 当 x 时 函数 f x 单调递增 a 当 x 函数 f x 单调递减 aa 当 x 时 函数 f x 单调递增 a x 是 f x 的极大值点 x 是 f x 的极小值点 aa 理科理科 2010 福建模拟 已知函数 ln 1 1 f xxxa x 其中a为常数 1 若函数 f x在 1 上为单调增函数 求a的取值范围 2 求 1 ax g xfx x 的单调区间 解析解析 1 ln 1 1 x fxxa x yf x 在 1 上为单调递增 ln 1 0 1 x fxxa x 在 1 上恒成立 即ln 1 1 x ax x 在 1 上恒成立 令 ln 1 1 x h xx x 则 2 11 1 1 h x xx 用心 爱心 专心6 当 1 x 时 0 h x h x在 1 上单调递增 1 1 ln2 2 ah a的取值范围是 1 ln2 2 2 1 ln 1 1 1 a x g xxax x 则 2 2 1 xa g x x 当1a 时 1 2 0 xag xg x 是减函数 2 xa 0g x g x是增函数 当1a 时 1 0 xg xg x 是增函数 综上所述 当1a 时 增区间为 2 a 减区间为 1 2 a 当1a 时 增区间为 1 考点三 导数与函数的极值和最值 1 利用导数研究函数的极值的一般思路 1 确定定义域 2 求导数 fx 3 若求极值 则先求方程 fx 的根 再检验 fx 在方程根左右值的符号 求出极 值 当根中有参数时要注意分类讨论 若已知极值大小或存在情况 则转化为已知方程 fx 0 根的大小或存在情况 从而求 解 2 用导数解决与恒成立有关的不等式问题通常与函数的最值或极值有密切的联系 我们可 以通过求最值把不等式恒成立转化为一个不等式进行求解 例 3 12 分 2010 青岛模拟 已知 a 是实数 函数 f x x2 x a 1 若 1 f 3 求 a 的值及曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 求 f x 在区间 0 2 上的最大值 标准解答 1 fx 3x2 2ax 1 f 3 2a 3 a 0 2 分 又 当 a 0 时 f 1 1 1 f 3 曲线 y f x 在 1 f 1 处的切线方程为 3x y 2 0 4 分 用心 爱心 专心7 2 令 fx 0 解得 x1 0 x2 2a 3 当 0 即 a 0 时 f x 在 0 2 上单调递增 2a 3 从而 f x max f 2 8 4a 7 分 当 2 即 a 3 时 f x 在 0 2 上单调递减 2a 3 从而 f x max f 0 0 9 分 当 0 2 即 0 a 3 时 f x 在上单调递减 在上单调递增 2a 3 0 2a 3 2a 3 2 从而 f x max Error 11 分 综上可知 f x max Error 12 分 理科理科 2010 山东改编题 已知函数 1 ln 1 1 n f xax x 其中 nN a为常数 1 当2n 时 求函数 f x的极值 2 当1a 时 证明 对任意的正整数n 当2n 时 有 1 f xx 变式训练 3 已知函数 f x x3 ax2 b a b 为实数 且 a 1 在区间 1 1 上的最大值为 1 3 2 最小值为 2 1 求 f x 的解析式 2 若函数 g x f x mx 在区间 2 2 上为减函数 求实数 m 的取值范围 解析 1 fx 3x2 3ax 令 fx 0 得 x1 0 x2 a a 1 f x 在 1 0 上为增函数 在 0 1 上为减函数 f 0 b 1 f 1 a f 1 2 a f 1 f 1 3 2 3 2 f 1 a 2 a 3 2 4 3 f x x3 2x2 1 2 g x x3 2x2 mx 1 g x 3x2 4x m 由 g x 在 2 2 上为减函数 知 g x 0 在 x 2 2 上恒成立 Error 即Error m 20 实数 m 的取值