向量在中学数学中的应用

向量在中学数学中的应用向量在中学数学中的应用 1 向量与图形 向量与图形 运用向量解决 研究图形问题 一般情况下 有两种途径 一是选择适当的基底 其 它有向线段用基底线性表示 然后通过向量的运算求解 二是建立适当的坐标系 运用向 量或点的坐标运算求解 究竟用哪一种方法 可视具体问题而定 下面举例说明之 例 1 已知 P Q 过 OAB 的重心 G OP OA m OQ OB n 求证 3 1 m 1 n 分析 这是涉及到比例的问题 运用向量的加法 数乘运算即可 图 7 23 中有众多的线段 不妨以不共线的向量 为基底 其它有向线段用基底 OA OB 线性表示 设 a b 则 OA OB a b a b m n OD 1 2 OG 1 3 OP OA OQ OB m a b PG OG OP 1 3 1 3 nb ma PQ OQ OP P Q G 共线 存在 使 PG PQ 即 m a b nb ma 1 3 1 3 整理 得 m m a n b 0 1 3 1 3 于是 m m 0 1 3 n 0 1 3 消去 得 3 1 m 1 n 例 2 已知 ABC 中 AM AB 1 3 AN AC 1 4 BN 与 CN 交于点 E AB m AC n BAC 60 求 AE 之长 解解 问题涉及到比例 长度与距离 因此必须运用向量的三种运算求解 选择 a b 为基底 则 a b a b AB AC NB 1 4 CM 1 3 因 N E B 共线 C E M 共线 故存在实数 使 a b a b NE NB 1 4 CE CM 1 3 0 0 NC CE EN b a b a b 0 3 4 1 3 1 4 b a 0 3 4 1 4 1 3 a b 不共线 解得 3 11 9 11 b a b a b AE AN NE 1 4 3 11 1 4 3 11 3 11 AE 1 11 3a 2b 2 1 11 9m2 4n2 6mn 例 3 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是 BB1 CD 中点 求证 平面 AED 平面 A1FD1 证 欲证明两个平面垂直 只须证明这两个平面的法向 量相互垂直即可 由于 ABCD A1B1C1D1是个正方体 故可建立坐标系 应用向量坐标的运算来解决 以 A为原点 分别以 所在直线为 x 轴 AB AD AA1 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 如图 7 25 则 D 0 1 0 E 1 0 F 1 0 A1 0 0 1 D1 0 0 1 于是 0 1 0 1 2 1 2 AD 1 0 0 1 0 1 0 AE 1 2 A1D1 D1F 1 2 设平面 ADE 的法向量为 n1 x y z 而 在平面 ADE 内 所以有 n1 n1 AD AE AD AE 求得 y 0 x z 所以平面 ADE 的一个法向量为 1 2 n1 0 1 1 2 同理 求得平面 A1F1D1的一个法向量 n2 1 0 1 2 n1 n2 0 n1 n2 平面 ADE 平面 AFD1 例 4 在正四面体 ABCD 中 E M 分别是 AB AC 的中点 N 为面 BDC 的中心 图 7 26 求 DE MN 之间的夹角 解 令 a b c 则 a b DA DB DC DE 1 2 NM ND DC CM b c c a c 1 3 1 2 b c 1 3 1 6 1 2 DE NM 1 2 b c a a b DE NM 1 2 1 3 1 6 1 2 5 24 cos DE NM 从上述例子可以看出 运用向量求直线与直线 直线与平面或两个平面的夹角 基本 途径相同 寻找能表示两个元素方向的向量 a b 然后利用公式 cos a b a b 例 5 已知正四棱锥 S ABCD 两相对侧面 SAD 和 SBC 相互垂直 求两相邻侧面 SAB 和 SBC 所成二面角的大小 图 7 27 解 求平面夹角的问题可以转化为求平面的法向量的夹角问题 以底面 ABCD 中心 O 为坐标原点 建立如图所示的坐标系 Oxyz Ox AD Oy AB 设底面边长为 2a 高为 h 则 2a 0 0 DA AS a a h 设平面 SAD 的一个法向量为 n1 x y z 则由 n1 n1 得平面 SAD 的一个法向量 n1 0 h a DA SA 又 2a 0 0 a a h CB BS 同理求得平面 SBC 的一个法向量 n2 0 h a 平面 SAD 平面 SBC n1 n2 得 h2 a2 h a 此时 n1 0 1 1 n2 0 1 1 又 0 2a 0 a a h 同理求得平面 SAB 的一个法向量 n3 1 0 1 AB AS cos n2 n3 n2 n3 1 2 平面 SAB SBC 所成二面角的度数为 120 从此例可以看出 用向量求二面角 可避免寻找二面角的平面角的麻烦 向量除了用来求角度 还可以用来求各种距离 前面已举过这方面的例子 不再赘述 最后举几例在高考或高考摸拟中出现的向量综合题 例 6 如图 7 28 已知矩形 ABCD 中 AB 1 BC a a 0 PA 平面 ABCD 1 问 BC 边上是否存在点 Q 使得 PQ QD 并说明理由 2 若 PA 1 且 BC 边上有且只有一点 Q 使 PQ QD 求这时二面角 Q PD A 的大 小 解 1 以 A 为原点 AB AD AP 分别为 x y z 轴建立坐标系 则 B 1 0 0 D 0 a 0 P 0 0 c C 1 a 0 设 Q 1 x 0 则 1 a x 0 1 x c QD PQ 若 Q 点存在 由 得 QD PQ 1 a x x 0 即 x2 ax 1 0 此方程的判别式 a2 4 a 0 所以 当 a 0 时 方程有解 Q 点存在 当 0 a 2 时 方程无解 Q 点不存在 2 由 1 知 当 BC a 2 时 x 1 此时 Q 点为 BC 中点 1 1 0 0 2 DQ PD 1 设平面 PQD 的法向量 n1 x y z 则由 n n 得 x y 2y z 0 DQ PD n 1 1 2 又 PAD 的法向量为 1 0 0 AB 二面角 Q PD A 的大小 满足 cos arccos 例 7 已知平行六面体 ABCD A B C D 的底面 ABCD 是菱形 且 C CB C CD BCD 60 证明 1 C C BD 2 当的值是多少时 能使 A C 平面 C BD 2000 年全国高考题 CD CC 证 设 a b c 以这三个向量为基向量 则 b a CB CD CC BD 1 b a c BD CC b c a c b a c cos60 ABCD 是菱形 0 即 BD C C BD CC 2 欲使 A C 平面 C BD 只须 A C BD 且 A C C D a b c CA CA AA b a BD a b c b a CA BD b2 a2 c b a 0 即 CA BD 又又 a b c b c CA C D a b b2 c b a c c b c2 而 a b b 2 a c b c cos60 1 2 b 2 b c c2 CA C D 3 2 1 2 3 b 2 c b c 0 b c 1 CD CC 即当 1 时 能使 A C 平面 C BD CD CC 2 向量与解析几何向量与解析几何 在直角坐标系里研究椭圆 双曲线 抛物线的性质是平面解析几何的主要内容 由于 向量与坐标有着天然的联系 因此 坐标结合向量研究曲线的性质更为方便 例 8 椭圆 1 的焦点为 F1 F2 点 P 为其上一动点 当 F1PF2是钝角时 点 P x2 9 y2 4 的横坐标的取值范围 解 此题涉及到角度 不妨用向量的坐标求解 设动点 P x y 易知 F1 0 F2 0 则 x y x y 55 PF15 PF25 cos PF1 PF2 F1PF2为钝角的充要条件是 cos 0 PF1 PF2 即 x x y2 0 PF1 PF255 整理 得 x2 5 y2 0 又点在椭圆 1 上 x2 9 y2 4 求得 x 例 9 如图 7 30 已知两点 P 2 2 Q 0 2 以及直线 l y x 设有长为的线段在 2 直线 l 上移动 求直线 PA 和 QB 交点 M 的轨迹方程 解解 由于 A B 在直线 y x 上 令 A t t 由 AB 知 B t 1 t 1 设 M x y 2 M B Q 三点共线 MB BQ 又 t 1 x t 1 y t 1 1 t 从而 t 1 x t 1 MB BQ t 1 y 1 t 0 整理得 2 x y t x y 2 0 又 M A P 三点共线 MA AP t x t y 2 t 2 t MA AP t x 2 t t y 2 t 0 整理得 2x 2y x y 4 t 0 由 两式消去 t 得 x2 2x y2 2y 8 0 即为所求轨迹方程 事实上 向量不仅在解决图形问题时有巨大威力 在解决不等式有关问题时也能另辟 蹊径 3 向量与不等式向量与不等式 运用向量解不等式有关问题时 常根据问题特点 构造相关向量 a a1 a2 b b1 b2 然后运用向量不等式 1 a b a b a b 2 a b a b a b 来达到求解的目的 例 10 f x 若 a b 证明 1 x2 f a f b a b 证 f a f b 1 a21 b2 令 a1 1 a b1 1 b 则 f a a1 f b a2 a1 a2 0 a b 于是 f a f b a1 a2 a1 a2 a b 在不等式 a1 a2 a1 a2 中 等号成立当且仅当 a1 a2共线 而 a b 这说明 a1 a2不同向 于是等号取不到 从而 f a f b a b 4 向量与函数向量与函数 例 11 设 0 x 1 a b 为非零常数 试求 y 的最小值 a2 x b2 1 x 解 设 m n 则 m n a b x 1 x m n 1 由 m n m n 得 a b 即 a b 2 a2 x b2 1 x 等号当且仅当 m n 共线 即 时成立 求得当 x 时 ymin a b x1 x a a b 2 例 12 设 x y z 是正实数 x y z 1 求 w 的最小值 1 x 4 y 9 z 解 设 m n 则 m n 1 m n 6 x y zw 由 m n m n 知 6 36 w w 当且仅当 m n 共线 即 即