2013年高考数学一轮经典例题 两平面的平行判定和性质 理

用心 爱心 专心 20132013 年高考数学 理 一轮经典例题年高考数学 理 一轮经典例题 两平面的平行判定和性质两平面的平行判定和性质 典型例题一 例 1 已知正方体 1111 DCBAABCD 求证 平面 11D AB 平面 BDC1 证明 1111 DCBAABCD 为正方体 BCAD 11 又 BC1 平面 BDC1 故 1A D 平面 BDC1 同理 11B D 平面 BDC1 又 1111 DBDAD 平面 11D AB 平面 BDC1 说明 上述证明是根据判定定理 1 实现的 本题也可根据判定定理 2 证明 只需连接 CA1 即 可 此法还可以求出这两个平行平面的距离 典型例题二 例 2 如图 已知 aA A a 求证 a 证明 过直线a作一平面 设 1 a b ba 1 又 a ba 在同一个平面 内过同一点A有两条直线 1 aa 与直线b平行 a与 1 a 重合 即 a 用心 爱心 专心 说明 本题也可以用反证法进行证明 典型例题三 例 3 如果一条直线与两个平行平面中的一个相交 那么它和另一个也相交 已知 如图 Al 求证 l与 相交 证明 在 上取一点B 过l和B作平面 由于 与 有公共点A 与 有公共 点B 与 都相交 设 a b ba 又l a b都在平面 内 且l和a交于A l与b相交 所以l与 相交 典型例题四 例 4 已知平面 AB CD为夹在a 间的异面线段 E F分别为AB CD的中点 求证 EF EF 证明 连接AF并延长交 于G FCDAG AG CD确定平面 且 AC DG 所以 DGAC 用心 爱心 专心 GDFACF 又 DFGAFC DFCF ACF DFG FGAF 又 BEAE BGEF BG 故 EF 同理 EF 说明 本题还有其它证法 要点是对异面直线的处理 典型例题六 例 6 如图 已知矩形ABCD的四个顶点在平面上的射影分别为 1 A 1 B 1 C 1 D 且 1 A 1 B 1 C 1 D 互不重合 也无三点共线 求证 四边形 1111 DCBA 是平行四边形 证明 1 AA 1 DD 11 DD AA 不妨设 1 AA 和 1 DD 确定平面 同理 1 BB 和 1 CC 确定平面 又 11 BB AA 且 1 BB 1 AA 同理 AD 又 AADAA 1 又 11D A 11C B 1111 CBDA 同理 1111 DCBA 用心 爱心 专心 四边形 1111 DCBA 是平行四边形 典型例题七 例 7 设直线l m 平面 下列条件能得出 的是 A l m 且 l m B l m 且 ml C l m 且 ml D l m 且 ml 分析 选项 A 是错误的 因为当 ml 时 与 可能相交 选项 B 是错误的 理由同 A 选项 C 是正确的 因为 l lm 所以 m 又 m 选项 D 也是错误的 满足条件的 可能与 相交 答案 C 说明 此题极易选 A 原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致 本例这样的选择题是常见题目 要正确得出选择 需要有较好的作图能力和对定理 公理的 准确掌握 深刻理解 同时要考虑到各种情况 典型例题八 例 8 设平面 平面 平面 平面 且 分别与 相交于a b ba 求 证 平面 平面 分析 要证明两平面平行 只要设法在平面 上找到两条相交直线 或作出相交直线 它们 分别与 平行 如图 证明 在平面 内作直线 PQ 直线a 在平面 内作直线MN 直线b 平面 平面 PQ 平面 MN 平面 MNPQ 用心 爱心 专心 又 pa QaPQ NbMN 平面 平面 说明 如果在 内分别作 PQ MN 这样就走了弯路 还需证明 PQ MN在 内 如果直接在 内作a b的垂线 就可推出 MNPQ 由面面垂直的性质推出 线面垂直 进而推出 线线平行 线面平行 最后得到 面面 平行 最后得到 面面平行 其核心是要形成应用性质定理的意识 在立体几何证明中非 常重要 典型例题九 例 9 如图所示 平面 平面 点A C 点 DB aAB 是 的公 垂线 CD是斜线 若 bBDAC cCD M N分别是AB和CD的中点 1 求证 MN 2 求MN的长 分析 1 要证 MN 取AD的中点P 只要证明MN所在的平面 PMN 为此 证明 PM PN 即可 2 要求MN之长 在 CMA 中 CM CN的长度易知 关键在于证明 CDMN 从而由勾股定理可以求解 证明 1 连结AD 设P是AD的中点 分别连结PM PN M是AB的中点 BDPM 又 BD PM 同理 N是CD的中点 ACPN AC PN PPMPN 平面 PMN MN 平面PMN MN 2 分别连结MC MD bBDAC aBMAM 2 1 用心 爱心 专心 又 AB是 的公垂线 90DBMCAM ACMRt BDMRt DMCM DMC 是等腰三角形 又N是CD的中点 CDMN 在 CMNRt 中 22222 4 2 1 cabCNCMMN 说明 1 证 线面平行 也可以先证 面面平行 然后利用面面平行的性质 推证 线面 平行 这是一种以退为进的解题策略 2 空间线段的长度 一般通过构造三角形 然后利用余弦定理或勾股定理来求解 3 面面平行的性质 面面平行 则线面平行 面面平行 则被第三个平面所截得的交线 平行 典型例题十 例 10 如果平面 内的两条相交直线与平面 所成的角相等 那么这两个平面的位置关系 是 分析 按直线和平面的三种位置关系分类予以研究 解 设a b是平面 内两条相交直线 1 若a b都在平面 内 a b与平面 所成的角都为 0 这时 与 重合 根据教材 中规定 此种情况不予考虑 2 若a b都与平面 相交成等角 且所成角在 90 0 内 a b与 有公共点 这时 与 相交 若a b都与平面 成 90 角 则 ba 与已知矛盾 此种情况不可能 3 若a b都与平面 平行 则a b与平面 所成的角都为 0 内有两条直线与平面 平行 这时 综上 平面 的位置关系是相交或平行 典型例题十一 例 11 试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行 已知 平面 A 求证 过A有且只有一个平面 用心 爱心 专心 分析 有且只有 要准确理解 要先证这样的平面是存在的 再证它是惟一的 缺一不 可 证明 在平面 内任作两条相交直线a和b 则由 A 知 aA bA 点A和直线a可确定一个平面M 点A和直线b可确定一个平面N 在平面M N内过A分别作直线 aa bb 故 a b 是两条相交直线 可确定一个平面 a a aa a 同理 b 又 a b Aba 所以过点A有一个平面 假设过A点还有一个平面 则在平面 内取一直线c cA 点A 直线c确定一个平面 由公理 2 知 m n cm cn 又 mA nA 这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾 因此假设不成立 所以平面 只有一个 所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 典型例题十二 例 12 已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点 且 SCSBSA SG为 SAB 上 的高 D E F分别是AC BC SC的中点 试判断SG与平面DEF内的位置关系 并给予证明 分析 1 如图 观察图形 即可判定 SG 平面DEF 要证明结论成立 只需证明SG与平 面DEF内的一条直线平行 观察图形可以看出 连结CG与DE相交于H 连结FH FH就是适合题意的直线 怎样证明 FHSG 只需证明H是CG的中点 用心 爱心 专心 证法 1 连结CG交DE于点H DE是 ABC 的中位线 ABDE 在 ACG 中 D是AC的中点 且 AGDH H为CG的中点 FH是 SCG 的中位线 SGFH 又SG 平面DEF FH 平面DEF SG 平面DEF 分析 2 要证明 SG 平面DEF 只需证明平面SAB 平面DEF 要证明平面DEF 平 面SAB 只需证明 DFSA EFSB 而 DFSA EFSB 可由题设直接推出 证法 2 EF为 SBC 的中位线 SBEF EF 平面SAB SB 平面SAB EF 平面SAB 同理 DF 平面SAB FDFEF 平面SAB 平面DEF 又 SG 平面SAB SG 平面DEF 典型例题十三 例 13 如图 线段 PQ分别交两个平行平面 于A B两点 线段PD分别交 于C D两点 线段QF分别交 于F E两点 若 9 PA 12 AB 12 BQ ACF 的面积为 72 求 BDE 的面积 分析 求 BDE 的面积 看起来似乎与本节内容无关 事实上 已知 ACF 的面积 若 BDE 与 ACF 的对应边有联系的话 可以利用 ACF 的面积求出 BDE 的面积 解 平面 AFQAF 平面 BEQAF 用心 爱心 专心 又 BEAF 同理可证 BDAC FAC 与 EBD 相等或互补 即 EBDFAC sinsin 由 BEFA 得 212412 QAQBAFBE AFBE 2 1 由 ACBD 得 73219 PBPABDAC ACBD 3 7 又 ACF 的面积为 72 即 72sin 2 1 FACACAF EBDBDBES DBE sin 2 1 FACACAF sin 3 7 2 1 2 1 FACACAF sin 2 1 6 7 8472 6 7 BDE 的面积为 84 平方单位 说明 应用两个平行的性质一是可以证明直线与直线的平行 二是可以解决线面平行的问 题 注意使用性质定理证明线线平行时 一定第三个平面与两个平行平面相交 其交线互相 平行 典型例题十四 例 14 在棱长为a的正方体中 求异面直线BD和 CB1 之间的距离 分析 通过前面的学习 我们解决了如下的问题 若a和b是两条异面直线 则过a且平行 于b的平面必平行于过b且平行于a的平面 我们知道 空间两条异面直线 总分别存在于 两个平行平面内 因此 求两 条异面直线的距离 有时可以通过求这两个平行平面之间的距 离来解决 具体解法可按如下几步来求 分别经过BD和 CB1 找到两个互相平等的平面 作出两个 平行平面的公垂线 计算公垂线夹在两个平等平面间的长度 解 如图 用心 爱心 专心 根据正方体的性质 易证 111 11 11 DCBBDA CDBA DBBD 平面平面 连结 1 AC 分别交平面 BDA1 和平面 11D CB 于M和N 因为 1 CC 和 1 AC 分别是平面ABCD的垂线和斜线 AC在平面ABCD内 BDAC 由三垂线定理 BDAC 1 同理 DAAC 11 1 AC 平面 BDA1 同理可证 1 AC 平面 11D CB 平面 BDA1 和平面 11D CB 间的距离为线段MN长度 如图所示 在对角面 1 AC 中 1 O 为 11C A 的中点 O为AC的中点 aACNCMNAM 3 3 3 1 11 BD和 CB1 的距离等于两平行平面 BDA1 和 11D CB 的距离为 a 3 3 说明 关于异面直线之间的距离的计算 有两种基本的转移方法 转化为线面距 设a b是两条异面直线 作出经过b而和a平行的平面 通过计算a和 的距离 得出a和 b距离 这样又回到点面距离的计算 转化为面面距 设a b是两条异面直线 作出经 过b而和a平行的平面 再作出经过a和b平行的平面 通过计算 之间的距离 得出a和b之间的距离 典型例题十五 用心 爱心 专心 例 15 正方体 1111 DCBAABCD 棱长为a 求异面直线AC与 1 BC 的距离 解法 1 直接法 如图 取BC的中点P 连结PD 1 PB 分别交AC 1 BC 于M N两点 易证 MNDB 1 ACDB 1 11 BCDB MN为异面直线AC与 1 BC 的公垂线段 易证 aDBMN 3 3 3 1 1 小结 此法也称定义法 这种解法是作出异面直线的公垂线段来解 但通常寻找公垂线段时 难度较大 解法 2 转化法 如图 AC 平面 BCA 11 AC与 1 BC 的距离等于AC与平面 BCA 11 的距离 在 1 OBORt 中 作斜边上的高OE 则OE长为所求距离 aOB 2 2 aOO 1 aBO 2 3 1 a BO OBOO OE 3 3 1 1 小结 这种解法是将线线距离转化为线面距离 解法 3 转化法 如图 用心 爱心 专心 平面 1 ACD 平面 BCA 11 AC与 1 BC 的距离等于平面 1 ACD 与平面 BCA 11 的距离 1 DB 平面 1 ACD 且被平面 1 ACD 和平面 BCA 11 三等分 所求距离为 aDB 3 3 3 1 1 小结 这种解法是线线距离转化为面面距离 解法 4 构造函数法 如图 任取点 1 BCQ 作 BCQR 于R点 作 ACPK 于K点 设 xRC 则 xaQRBR KRCK 且 222 CRCKKR 222 2 1 2 1 xCRKR 则 222 2 1 xaxQK 222 3 1 3 1 3 2 2 3 aaax 故QK的最小值 即AC与 1 BC 的距离等于 a 3 3 小结 这种解法是恰当的选择未知量 构造一个目标函数 通过求这个函数的最小值来得到 二异面直线之间的距离 解法 5 体积桥法 如图 用心 爱心 专心 当求AC与 1 BC 的距离转化为求AC与平面 BCA 11 的距离后 设C点到平面 BCA 11 的距离 为h 则 1111 BCCABCAC VV 22 2 1 3 1 2 4 3 3 1 aaah ah 3 3 即AC与 1 BC 的距离等于 a 3 3 小结 本解法是将线线距离转化为线面距离 再将线面距离转化为锥体化为锥体的高 然后 用体积公式求之 这种方法在后面将要学到 说明 求异面直线距离的方法有 1 直接法 当公垂线段能直接作出时 直接求 此时 作出并证明异面直线的公垂线段 是求异面直线距离的关键 2 转化法 把线线距离转化为线面距离 如求异面直线a b距离 先作出过a且平行于 b的平面 则b与 距离就是a b距离 线面转化法 也可以转化为过a平行b的平面和过b平行于a的平面 两平行平面的距离就是两条异面直 线距离 面面转化法 3 体积桥法 利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求 4 构造函数法 常常利用距离最短原理构造二次函数 利用求二次函数最值来解 两条异面直线间距离问题 教科书要求不高 要求会计算已给出公垂线时的距离 这方面 的问题的其他解法 要适度接触 以开阔思路 供学有余力的同学探求 典型例题十六 例 16 如果 AB和AC是夹在平面 与 之间的两条线段 ACAB 且 2 AB 直线AB与平面 所成的角为 30 求线段AC长的取值范围 解法 1 如图所示 作 AD 于D 连结BD CD BC 用心 爱心 专心 BDAB DCAC 222 BCACAB 在 BDC 中 由余弦定理 得 0 22 cos 222222 CDBD BCACAB CDBD BCCDBD BDC AD ABD 是AB与 所在的角 又 ABD 也就等于AB与 所成的角 即 30ABD 2 AB 1 AD 3 BD 1 2 ACDC 2 4ACBC 0 132 413 1 2 22 AC ACAC 即 3 1 1 0 2 AC 3 32 AC 即AC长的取值范围为 3 32 解法 2 如图 ACAB AC必在过点A且与直线AB垂直的平面 内 设 l 则在 内 当 lAC 时 AC的长最短 且此时 ABCABAC tan 3 32 30tan AB 而在 内 C点在l上移动 远离垂足时 AC的长将变大 从而 3 32 AC 即AC长的取值范围是 3 32 说明 1 本题考查直线和直线 直线和平面 平面和平面的位置关系 对于运算能力和空间 想象能力有较高的要求 供学有余力的同学学习 2 解法 1 利用余弦定理 采用放缩的方法构造出关于AC长的不等式 再通过解不等式得到 用心 爱心 专心 AC长的范围 此方法以运算为主 3 解法 2 从几何性质角度加以解释说明 避免了繁杂的运算推导 但对空间想象能力要求很 高 根据此解法可知线段AC是连结异面直线AB和l上两点间的线段 所以AC是AB与 l的公垂线段时 其长最短 典型例题十七 例 17 如果两个平面分别平行于第三个平面 那么这两个平面互相平行 已知 求证 分析 本题考查面面平行的判定和性质定理以及逻辑推理能力 由于两个平面没有公共点称 两平面平行 带有否定性结论的命