【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4．6正、余弦定理及其应用举例试题 理（含解析）新人教A版

1 4 64 6 正 余弦定理及其应用举例正 余弦定理及其应用举例 考考纲纲要要求求 1 掌握正弦定理 余弦定理 并能解决一些简单的三角形度量问题 2 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际 问题 1 正弦定理和余弦定理 定理正弦定理余弦定理 内容 2R R为 ABC外接圆半径 a2 b2 c2 变形形式 a b c sin A sin B sin C a b c a b c sin A sin B sin C a sin A cos A cos B cos C 解决 的问题 已知两角和任一边 求另一 角和其他两条边 已知两边和其中一边的对角 求另一边和其他两个角 已知三边 求各角 已知两边和它们的夹角 求 第三边和其他两个角 2 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中 视线在水平线 的角叫仰角 在水平线 的角叫俯角 如图 3 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角 如B点的方位角为 如图 4 方向角 相对于 某一方向的水平角 如图 图 1 北偏东 指北方向向东旋转 到达目标方向 2 东北方向 指北偏东 45 或东偏北 45 3 其他方向角类似 2 5 坡角和坡比 坡角 坡面与水平面的夹角 如图 角 为坡角 图 坡比 坡面的铅直高度与水平长度之比 如图 i为坡比 1 2012 广东高考 在 ABC中 若 A 60 B 45 BC 3 则AC 2 A 4 B 2 C D 333 3 2 2 在 ABC中 cos2 a b c分别为角A B C的对边 则 ABC的形状为 B 2 a c 2c A 等边三角形B 直角三角形 C 等腰三角形或直角三角形D 等腰直角三角形 3 一船向正北航行 看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上 继续航行半小时后 看见一灯塔在船的南偏西 60 另一灯塔在船的南偏西 75 则这艘 船的速度是 A 5 海里 时 B 5 海里 时 3 C 10 海里 时 D 10 海里 时 3 4 如图 为了测量隧道AB的长度 给定下列四组数据 无法求出AB长度的是 A a bB a C a b D 5 ABC中 若a 3 cos C S ABC 4 则b 2 1 33 一 利用正弦 余弦定理解三角形 例 1 1 2012 辽宁高考 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 角 A B C成等差数列 1 求 cos B的值 2 边a b c成等比数列 求 sin Asin C的值 例 1 2 ABC中 A B C所对的边分别为a b c tan C sin B A cos C sin A sin B cos A cos B 1 求A C 2 若S ABC 3 求a c 3 方法提炼方法提炼 应熟练掌握正 余弦定理及其变形 解三角形时 有时可用正弦定理 也可用余弦定 理 应注意用哪一个定理更方便 简捷就用哪一个定理 同时 已知两边和其中一边的对角 解三角形时 注意解的情况 如已知a b A 3 则 A为锐角A为钝角或直角 图形 关系式a bsin Aa bsin A bsin A a b a b a b a b 解的个数无解一解两解一解一解无解 请做演练巩固提升 1 二 三角形形状的判定 例 2 1 ABC满足 sin B cos Asin C 则 ABC的形状是 A 直角三角形B 等腰三角形 C 等腰直角三角形D 等腰三角形或直角三角形 例 2 2 在 ABC中 a b c分别为内角A B C的对边 且 2asin A 2b c sin B 2c b sin C 1 求A的大小 2 若 sin B sin C 1 试判断 ABC的形状 方法提炼方法提炼 判断三角形的形状的基本思想是 利用正 余弦定理进行边角的统一 即将条件化为 只含角的三角函数关系式 然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式 或将条件化为 只含有边的关系式 然后利用常见的化简变形得出三边的关系 结论一般为特殊的三角 形 如等边三角形 等腰三角形 直角三角形 等腰直角三角形等 另外 在变形过程中 要注意A B C的范围对三角函数值的影响 提醒 1 在 ABC中有如下结论 sin A sin Ba b 2 当b2 c2 a2 0 时 角A为锐角 若可判定其他两角也为锐角 则三角形为锐角 三角形 当b2 c2 a2 0 时 角A为直角 三角形为直角三角形 3 当b2 c2 a2 0 时 角A为钝角 三角形为钝角三角形 请做演练巩固提升 2 三 与三角形面积有关的问题 例 3 在 ABC中 内角A B C对边的边长分别是a b c 已知c 2 C 3 1 若 ABC的面积等于 求a b 3 2 若 sin C sin B A 2sin 2A 求 ABC的面积 方法提炼方法提炼 1 正弦定理和余弦定理并不是孤立的 解题时要根据具体题目合理选用 有时还需要 交替使用 在解决三角形问题中 面积公式S absin C bcsin A acsin B最常用 1 2 1 2 1 2 因为公式中既有边也有角 容易和正弦定理 余弦定理联系起来 2 解三角形过程中 要注意三角恒等变换公式的应用 请做演练巩固提升 5 四 应用举例 生活中的解三角形问题 例 4 1 某人在塔的正东沿着南偏西 60 的方向前进 40 米后 望见塔在东北方 向 若沿途测得塔的最大仰角为 30 求塔高 例 4 2 如图 为了解某海域海底构造 在海平面内一条直线上的A B C三点 进行测量 已知AB 50 m BC 120 m 于A处测得水深AD 80 m 于B处测得水深 BE 200 m 于C处测得水深CF 110 m 求 DEF的余弦值 4 方法提炼方法提炼 1 测量距离问题 需注意以下几点 1 利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中 建立一个解三角形的模 型 2 利用正 余弦定理解出所需要的边和角 求得该数学模型的解 3 应用题要注意作答 2 测量高度时 需注意 1 要准确理解仰 俯角的概念 2 分清已知和待求 分析 画出 示意图 明确在哪个三角形内应用正 余弦定理 3 注意铅垂线垂直于地面构成的直角三角形 3 测量角度时 要准确理解方位角 方向角的概念 准确画出示意图是关键 请做演练巩固提升 6 忽视三角形中的边角条件而致误 典例 在 ABC中 a b c分别为内角A B C所对的边长 a b 1 2cos B C 0 求边BC上的高 32 错解 错解 由 1 2cos B C 0 知 cos A 1 2 A 3 根据正弦定理 得 sin B a sin A b sin B bsin A a 2 2 B 或 4 3 4 以下解答过程略 错因 错因 忽视三角形中 大边对大角 的定理 产生了增根 正解 正解 在 ABC中 cos B C cos A 又 1 2cos B C 0 1 2cos A 0 A 3 在 ABC中 根据正弦定理 得 sin B a sin A b sin B bsin A a 2 2 B 或 4 3 4 a b B 4 C A B 5 12 sin C sin B A sin Bcos A cos Bsin A 2 2 1 2 2 2 3 2 6 2 4 BC边上的高为bsin C 2 6 2 4 3 1 2 答题指导 1 考查解三角形的题在高考中一般难度不大 但稍不注意 会出现 会而不对 对而 5 不全 的情况 其主要原因就是忽视三角形中的边角条件 2 解三角函数的求值问题时 估算是一个重要步骤 估算时应考虑三角形中的边角条 件 1 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 若acos A bsin B 则 sin Acos A cos2B A B C 1 D 1 1 2 1 2 2 在 ABC中 a b c a b c 3ab 且acos B bcos A 则 ABC的形状为 3 2012 福建高考 在 ABC中 已知 BAC 60 ABC 45 BC 则 3 AC 4 2012 陕西高考 在 ABC中 角A B C所对边的长分别为a b c 若a 2 B c 2 则b 63 5 2012 山东高考 在 ABC中 内角A B C所对的边分别为a b c 已知 sin B tan A tan C tan Atan C 1 求证 a b c成等比数列 2 若a 1 c 2 求 ABC的面积S 6 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮 船位于港口O北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的A处 并正以 30 海里 时的航行速度 沿正东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以v海里 时的航行速度匀速行驶 经过t小 时与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 2 为保证小艇在 30 分钟内 含 30 分钟 能与轮船相遇 试确定小艇航行速度的最小 值 6 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 b2 c2 2bc cos A c2 a2 2ca cos B a sin A b sin B c sin C a2 b2 2ab cos C 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C sin A sin a 2R b 2R c 2R B sin C b2 c2 a2 2bc c2 a2 b2 2ca a2 b2 c2 2ab 2 上方 下方 基础自测基础自测 1 B 解析 解析 由正弦定理得 即 解得AC 2 BC sin A AC sin B 3 2 sin 60 AC sin 45 3 2 B 解析 解析 cos2 B 2 a c 2c 2cos2 1 1 B 2 a c c cos B a c c2 a2 b2 a2 c2 b2 2ac a c 3 C 解析 解析 如图 A B为灯塔 船从O航行到O tan 30 OO BO tan 15 BO OO OO AO3 AO 2 OO 3 AO BO AB 10 OO 2 10 OO 5 33 船的速度为 10 海里 时 5 1 2 4 D 解析 解析 利用余弦定理 可由a b 或 a b求出AB 利用正弦定理 可 由a 求出AB 当只知 时 无法计算AB 5 2 解析 解析 由 cos C 得 sin C 3 1 3 2 2 3 S ABC absin C 3 b 4 b 2 1 2 1 22 2 2 333 考点探究突破考点探究突破 例 1 1 解 1 由已知 2B A C A B C 180 解得B 60 所以 cos B 1 2 2 方法一 7 由已知b2 ac 及 cos B 1 2 根据正弦定理得 sin2B sin Asin C 所以 sin Asin C 1 cos2B 3 4 方法二 由已知b2 ac 及 cos B 1 2 根据余弦定理得 cos B 解得a c 所以B A C 60 故 sin Asin a2 c2 ac 2ac C 3 4 例 1 2 解 1 因为 tan C sin A sin B cos A cos B 即 sin C cos C sin A sin B cos A cos B 所以 sin Ccos A sin Ccos B cos Csin A cos Csin B 即 sin Ccos A cos Csin A cos Csin B sin Ccos B 得 sin C A sin B C 所以C A B C 或C A B C 不成立 即 2C A B 得C 3 所以B A 2 3 又因为 sin B A cos C 1 2 则B A 或B A 舍去 6 5 6 得A B 4 5 12 2 S ABC acsin B ac 3 又 即 1 2 6 2 83 a sin A c sin C a 2 2 c 3 2 得a 2 c 2 23 例 2 1 A 解析 解析 sin B cos A sin C b c b2 a2 c2 b2 c2 a2 2bc ABC为直角三角形 选 A 例 2 2 解 1 由已知 根据正弦定理得 2a2 2b c b 2c b c 即a2 b2 c2 bc 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccos A 故 cos A A 120 1 2 2 由 得 sin2A sin2B sin2C sin Bsin C 又 sin B sin C 1 故 sin B sin C 1 2 因为 0 B 90 0 C 90 故B C 所以 ABC是等腰钝角三角形 例 3 解 1 由余弦定理及已知条件 8 得a2 b2 ab 4 又因为 ABC的面积等于 3 所以absin C 得ab 4 1 23 联立方程组Error 解得Error 2 由题意得 sin B A sin B A 4sin Acos A 即 sin Bcos A 2sin Acos A 当 cos A 0 时 A B a b 2 6 4 3 3 2 3 3 所以 ABC的面积 S absin C 1 2 1 2 4 3 3 2 3 3 3 2 2 3 3 当 cos A 0 时 得 sin B 2sin A 由正弦定理得b 2a 联立方程组Error 解得Error 所以 ABC的面积S absin C 1 2 1 2 2 3 3 4 3 3 3 2 2 3 3 综上知 ABC的面积为 2 3 3 例 4 1 解 依题意画出图 某人在C处 AB为塔高 他沿CD前进 CD 40 米 此时 DBF 45 从C到D沿途测塔的仰角 只有B到测试点的距离最短 即BE CD时 仰角才最大 这是因为 tan AEB AB为定值 BE最小时 仰角最大 AB BE 在 BCD中 CD 40 BCD 30 DBC 135 由正弦定理 得 CD sin DBC BD sin BCD BD 20 40sin 30 sin 135 2 在 Rt BED中 BDE 180 135 30 15 BE BDsin 15 20 10 1 2 6 2 43 在 Rt ABE中 AEB 30 AB BEtan 30 3 米 10 33 所求的塔高为 3 米 10 33 例 4 2 解 作DM AC交BE于N 交CF于M DF 10 MF2 DM2302 1702298 9 DE 130 DN2 EN2502 1202 EF 150 BE FC 2 BC2902 1202 在 DEF中 由余弦定理 cos DEF DE2 EF2 DF2 2DE EF 1302 1502 102 298 2 130 150 16 65 演练巩固提升演练巩固提升 1 D 解析 解析 根据正弦定理 2R得 a 2Rsin A b 2Rsin B a sin A b sin B acos A bsin B可化为 sin Acos A sin2B sin Acos A cos2B sin2B cos2B 1 2 等边三角形 解析 解析 a b c a b c 3ab a b 2 c2 3ab a2 b2 c2 ab cos C a2 b2 c2 2ab 1 2 C 3 acos B bcos A sin Acos B sin Bcos A sin A B 0 A B 故 ABC为等边三角形 3 解析 解析 如图 2 由正弦定理得 AC sin B BC sin A 即 即 AC sin 45 3 sin 60 AC 2 2 3 3 2 故AC 2 4 2 解析 解析 b2 a2 c2 2accos B 4 12 2 2 2 4 3 3 2 b 2 5 1 证明 证明 在 ABC中 由于 sin B tan A tan C tan Atan C 所以 sin B sin A cos A sin C cos C sin A cos A sin C cos C 因此 sin B sin Acos C cos Asin C sin Asin C 所