2011全国中考数学真题解析120考点汇编 原创好题、新题

2012 2012 年年 1 1 月最新最细 月最新最细 20112011 全国中考真题解析全国中考真题解析 120120 考点汇编考点汇编 原原 创好题 新题创好题 新题 一 选择题 1 负数的引入是数学发展史上的一大飞跃 使数的家族得到了扩张 为人们认识世界提供 了更多的工具 最早使用负数的国家是 A 中国 B 印度 C 英国 D 法国 答案 A 考点 正数和负数 分析 根据数学历史材料即可得出答案 解答 解 中国是世界上最早认识和应用负数的国家 比西方早 一千多 年 负数最早记载于中国的 九章算术 成书于公元一世纪 中 比国外早一千多年 故选 A 点评 此题主要考查了负数的来源 根据历史记载是解决问题的关键 2 2011 江苏南京 6 2 分 如图 在平面直角坐标系中 P的圆心是 2 a a 2 半径为 2 函数y x的图象被 P截得的弦AB的长为2 3 则a的值是 A 2 2B 22 C 2 32 D 23 考点 一次函数综合题 专题 综合题 分析 过P点作PE AB于E 过P点作PC x轴于C 交AB于D 连接PO PA 分别求出 PD DC 相加即可 解答 解 过P点作PE AB于E 过P点作PC x轴于C 交AB于D 连接PO PA AE 1 2 AB 3 PA 2 PE 22 2 3 1 PD 2 P的圆心是 2 a DC 2 a PD DC 2 2 故选B 点评 本题综合考查了一次函数与几何知识的应用 题中运用圆与直线的关系以及直角三 角形等知识求出线段的长是解题的关键 注意函数y x与x轴的夹角是 45 3 2011 内蒙古呼和浩特 9 3 如图所示 四边形 ABCD 中 DC AB BC 1 AB AC AD 2 则 BD 的长为 A 14 B 15 C 23 D 32 考点 勾股定理 专题 计算题 分析 以 A 为圆心 AB 长为半径作圆 延长 BA 交 A 于 F 连接 DF 在 BDF 中 由勾股 定理即可求出 BD 的长 解答 解 以 A 为圆心 AB 长为半径作圆 延长 BA 交 A 于 F 连接 DF 可证 FDB 90 F CBF DF CB 1 BF 2 2 4 BD 22 15BFDF 故选 B 点评 本题考查了勾股定理 解题的关键是作出以 A 为圆心 AB 长为半径的圆 构建直角 三角形 从而求解 4 2011 江苏扬州 8 3 分 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 A 30 BC 2 将 ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 n 度后 得到 EDC 此时 点 D 在 AB 边上 斜边 DE 交 AC 边于点 F 则 n 的大小和图中阴影部分的面积分别为 A 30 2 B 60 2 C 60 D 60 3 考点 旋转的性质 含 30 度角的直角三角形 专题 创新题型 探究型 分析 先根据已知条件求出 AC 的长及 B 的度数 再根据图形旋转的性质及等边三角形的 判定定理判断出 BCD 的形状 进而得出 DCF 的度数 由直角三角形的性质可判断 出 DF 是 ABC 的中位线 由三角形的面积公式即可得出结论 解答 解 ABC 是直角三角形 ACB 90 A 30 BC 2 B 60 AC BC cot A 2 3 23 AB 2BC 4 EDC 是 ABC 旋转而成 BC CD BD 2 1 AB 2 B 60 BCD 是等边三角形 BCD 60 DCB 30 DFC 90 即 DE AC DE BC BD 2 1 AB 2 DF 是 ABC 的中位线 DF 2 1 BC 2 1 2 1 CF 2 1 AC 2 1 23 3 S 阴影 2 1 DF CF 2 1 3 故选 C 点评 本题考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质 三角形中位线定理及三角形的 面积公式 熟知图形旋转的性质是解答此题的关键 即 对应点到旋转中心的距离相等 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 旋转前 后的图形全等 5 2011 四川广安 8 3 分 在直角坐标平面内的机器人接受指令 A 0 0 A 180 后的行动结果为 在原地顺时针旋转A后 再向正前方沿直线行 走 若机器人的位置在原点 正前方为y轴的负半轴 则它完成一次指令 2 60 后 位置的坐标为 A 1 3 B 1 3 C 3 1 D 3 1 考点 创新题 阅读理解题 解直角三角形 专题 创新题 阅读理解题 分析 根据题意画出图形如图所示机器人由原点位置按指令 2 60 到达点M的位置 作MN y轴于点N 由题意可知 MON 60 OM 2 所以ON OM cos60 1 21 2 MN OM sin60 3 23 2 由于点M在第三象限 所以该点的坐标为 3 1 解答 C 点评 解答本题的关键是在读懂题意的基础上画出符合题意的图形 把该问题转化为数学 问题 通过添加辅助线构造直角三角形 把求点的坐标转化为求直角三角形中的直角边的 长 6 2011 台湾 27 4 分 如图为 ABC与圆O的重叠情形 其中 BC 为圆 O 之直径 若 A 70 BC 2 则图中灰色区域的面积为何 A 360 55 B 360 110 C 360 125 D 360 140 考点 扇形面积的计算 三角形内角和定理 专题 计算题 分析 由 A 70 则 B C 110 从而得出 ODB OEC 110 根据三角形的 内角和定理得 BOD COE 140 再由扇形的面积公式得出答案 解答 解 A 70 B C 110 BC 2 OB OC OD OE 1 ODB OEC 110 BOD COE 140 S阴影 360 140 故选 D 点评 本题考查了扇形面积的计算和三角形的内角和定理 是基础知识要熟练掌握 7 2011 安顺 一只跳蚤在第一象限及 x 轴 y 轴上跳动 在第一秒钟 它从原点跳动 到 0 1 然后接着按图中箭头所示方向跳动 即 0 0 0 1 1 1 1 0 且每秒跳动一个单位 那么第 35 秒时跳蚤所在位置的坐标是 A 4 O B 5 0 C 0 5 D 5 5 考点 点的坐标 专题 规律型 分析 由题目中所给的质点运动的特点找出规律 即可解答 解答 解 质点运动的速度是每秒运动一个单位长度 0 0 0 1 1 1 1 0 用的秒数分别是 1 秒 2 秒 3 秒 到 2 0 用 4 秒 到 2 2 用 6 秒 到 0 2 用 8 秒 到 0 3 用 9 秒 到 3 3 用 12 秒 到 4 0 用 16 秒 依次类 推 到 5 0 用 35 秒 故第 35 秒时质点所在位置的坐标是 5 0 故选 B 点评 本题主要考查点的坐标问题 解决本题的关键是正确读懂题意 能够正确确定点运 动的顺序 确定运动的距离 从而可以得到到达每个点所用的时间 1 2011 湖南常德 16 3 分 设 min x y 表示x y两个数中的最小值 例如 min 0 2 0 min 12 8 8 则关于x的函数y可以表示为 A 22 22 xx y xx B 22 22 xx y xx C y 2x D y x 2 考点 一次函数的性质 专题 新定义 分析 根据题意要求及函数性质 可对每个选项加以论证得出正确选项 解答 解 根据已知 在没有给出 x 的取值范围时 不能确定 2x和x 2 的大小 所以不能 直接表示为 C y 2x D y x 2 当x 2 时 可得 x x x 2 即 2x x 2 可表示为y 2x 当x 2 时 可得 x x x 2 即 2x x 2 可表示为y x 2 故选 A 点评 此题考查的是一次函数的性质 解题的关键是根据已知和函数性质讨论得出 8 2011 河北 11 3 分 如图 在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上 下底面 剩 余的矩形作为圆柱的侧面 刚好能组合成圆柱 设矩形的长和宽分别为y和x 则y与x 的函数图象大致是 A B C D 考点 一次函数综合题 正比例函数的定义 专题 数形结合 分析 从y 2 x 等于该圆的周长 即列方程式x x y 22 再得到关于y的一次函数 从而得到函数图象的大体形状 解答 解 由题意 x x y 22 即xy 1 2 所以该函数的图象大约为A中函数的形式 故选 A 点评 本题考查了一次函数的综合运用 从y 2 x 等于该圆的周长 从而得到关系式 即 解得 1 2011 四川广安 8 3 分 在直角坐标平面内的机器人接受指令 A 0 0 A 180 后的行动结果为 在原地顺时针旋转A后 再向正前方沿直线行 走 若机器人的位置在原点 正前方为y轴的负半轴 则它完成一次指令 2 60 后 位置的坐标为 A 1 3 B 1 3 C 3 1 D 3 1 考点 创新题 阅读理解题 解直角三角形 专题 创新题 阅读理解题 分析 根据题意画出图形如图所示机器人由原点位置按指令 2 60 到达点M的位置 作MN y轴于点N 由题意可知 MON 60 OM 2 所以ON OM cos60 1 21 2 MN OM sin60 3 23 2 由于点M在第三象限 所以该点的坐标为 3 1 解答 C 点评 解答本题的关键是在读懂题意的基础上画出符合题意的图形 把该问题转化为 数学问题 通过添加辅助线构造直角三角形 把求点的坐标转化为求直角三角形中的直角 边的长 二 填空题 1 2011 江苏宿迁 18 3 一个边长为 16m 的正方形展厅 准备用边长分别为 1m 和 0 5m 的两种正方形地板砖铺设其地面 要求正中心一块是边长为 1m 的大地板砖 然后从 内到外一圈小地板砖 一圈大地板砖相间镶嵌 如图所示 则铺好整个展厅地面共需要 边长为 1m 的大地板砖 块 考点 规律型 图形的变化类 分析 先求出展厅的面积 减去边长 0 5m 的小地板砖所占面积 除以边长为 1m 的一块地 板砖的面积即求得 解答 解 展厅面积 16 16 256m2 从图中可看出 1m 一块 则 0 5m 的正好两块 但是每个角上又少一个边长 0 5m 的地板砖 大小的个数比为 37 48 则设大地板砖个数为 x 小的为 y 37x 48y 256 37 48 x y 解得 x 181 块 故答案为 181 点评 本题考查了图形的规律题 从整体上求得边长为 1m 的正方形地板砖的所占面积 又 知道每块 1m 地板砖的面积从而求得 2 2011 江苏南京 16 2 分 甲 乙 丙 丁四位同学围成一圈依序循环报数 规定 甲 乙 丙 丁首次报出的数依次为 1 2 3 4 接着甲报 5 乙报 6 按此规律 后 一位同学报出的数比前一位同学报出的数大 1 当报到的数是 50 时 报数结束 若报出的数为 3 的倍数 则报该数的同学需拍手一次 在此过程中 甲同学需拍手的次 数为 4 考点 规律型 数字的变化类 分析 根据报数规律得出甲共报数 13 次 分别为 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 即可得出报出的数为 3 的倍数的个 数 即可得出答案 解答 解 甲 乙 丙 丁首次报出的数依次为 1 2 3 4 接着甲报 5 乙报 6 按 此规律 后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大 1 当报到的数是 50 时 报数结束 50 4 12 余 2 甲共报数 13 次 分别为 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 报出的数为 3 的倍数 则报该数的同学需拍手一次 在此过程中 甲同学需拍手的次数 为 9 21 33 45 时 所以一共有 4 次 故答案为 4 点评 此题主要考查了数字规律 得出甲的报数次数以及分别报数的数据是解决问题的关 键 3 2011 泰州 18 3 分 如图 平面内 4 条直线 l1 l2 l3 l4是一组平行线 相邻 2 条平行线的距离都是 1 个单位长度 正方形 ABCD 的 4 个顶点 A B C D 都在这些平行线 上 其中点 A C 分别在直线 l1 l4上 该正方形的面积是 9 或 5 平方单位 考点 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理 相似三角形的判定与性质 专题 分类讨论 分析 因为 A C 分别在直线 l1 l4上 那么 B D 也应该在直线 l1 l4上 一种情况是正 方形的边和平行先垂直的时候 一种是和对角线成 45 时 分别求出边长 从而求 出面积 解答 解 1 当正方形的边长和平行线垂直时 正方的边长应该为 3 所以面积为 3 3 9 2 当正方形的边长和平行线成 45 时 正方形的边长为 22 215 所以正方形的面积为 5 5 5 故答案为 9 或 5 点评 本题考查正方形的性质 正方形的边长相等 四个角都是直角 以及勾股定理的运 用 关键是知道分不同的情况进行求解 4 2011 天津 18 3 分 如图 有一张长为 5 宽为 3 的矩形纸片ABCD 要通过适当的 剪拼 得到一个与之面积相等的正方形 I 该正方形的边长为15 结果保留根号 II 现要求只能用两条裁剪线 请你设计一种裁剪的方法 在图中画出裁剪线 并简要 说明剪拼的过程 如图 1 以BM 4 为直径作半圆 在半圆上取一点N 使MN 1 连 接BN 由勾股定理 得BN 15 2 以A为圆心 BN长为半径画弧 交CD于K点 连接AK 3 过B点作BE AK 垂足为E 4 平移 ABE ADK 得到四边形BEFG即为所求 考点 作图 应用与设计作图 专题 作图题 分析 I 设正方形的边长为 a 则 2 a 3 5 可解得正方形的边长 II 以BM 4 为直径作半圆 在半圆上取一点N 使MN 1 连接BN 则 MNB 90 由 勾股定理 得BN 22 41 15 由此构造正方形的边长 利用平移法画正方形 解答 解 I 设正方形的边长为 a 则 a2 3 5 解得 a 15 II 如图 1 以BM 4 为直径作半圆 在半圆上取一点N 使MN 1 连接BN 由勾股 定理 得BN 15 2 以A为圆心 BN长为半径画弧 交CD于K点 连接AK 3 过B点作BE AK 垂足为E 4 平移 ABE ADK 得到四边形BEFG即为所求 点评 本题考查了应用与设计作图 关键是理解题意 根据已知图形设计分割方案 5 2011 汕头 如图 1 将一个正六边形各边延长 构成一个正六角星形 AFBDCE 它的面积为 1 取 ABC 和 DEF 各边中点 连接成正六角星形 A1F1B1D1C1E1 如图 2 中 阴影部分 取 A1B1C1和 1D1E1F1各边中点 连接成正六角星形 A2F2B2D2C2E2F2 如图 3 中阴影部分 如此下去 则正六角星形 AnFnBnDnCnEnFn的面积为 考点 相似多边形的性质 三角形中位线定理 专题 规律型 分析 先分别求出第一个正六角星形 AFBDCE 与第二个边长之比 再根据相似多边形面积的 比等于相似比的平方 找出规律即可解答 解答 解 A1 F1 B1 D1 C1 E1分别是 ABC 和 DEF 各边中点 正六角星形 AFBDCE 正六角星形 A1F1B1D1C1E1且相似比为 2 1 正六角星形 AFBDCE 的面积为 1 正六角星形 A1F1B1D1C1E1的面积为 同理可得 第三个六角形的面积为 第四个六角形的面积为 第 n 个六角形的面积为 故答案为 点评 本题考查的是相似多边形的性质及三角形中位线定理 解答此题的关键是熟知相似 多边形面积的比等于相似比的平方 6 2011 西宁 如图是三种化合物的结构式及分子式 则按其规律第 4 个化合物的分子式 为 C4H10 考点 规律型 图形的变化类 专题 规律型 分析 易得第 4 个化合物有 4 个 C 根据 H 的个数为 2 n 1 即可得到所求的分子式 解答 解 第 4 个化合物有 4 个 C 2 5 10 个 H 第 4 个化合物的分子式为 C4H10 故答案为 C4H10 点评 考查图形的变化的规律的应用 根据所给图形得到 C 和 H 的个数是解决本题的关 键 三 解答题 1 2011 江苏南京 27 9 分 如图 P为 ABC内一点 连接PA PB PC 在 PAB PBC和 PAC中 如果存在一个三角形与 ABC相似 那么就称P为 ABC的自相似 点 1 如图 已知 Rt ABC中 ACB 90 ABC A CD是AB上的中线 过点B作 BE丄CD 垂足为E 试说明E是 ABC的自相似点 2 在 ABC中 A B C 如图 利用尺规作出 ABC的自相似点P 写出作法并保留作图痕迹 若 ABC的内心P是该三角形的自相似点 求该三角形三个内角的度数 考点 相似三角形的判定与性质 直角三角形斜边上的中线 三角形的内切圆与内心 作 图 复杂作图 专题 作图题 几何综合题 分析 1 根据已知条件得出 BEC ACB 以及 BCE ABC 得出 BCE ACB 即可 得出结论 2 根据做一角等于已知角即可得出 ABC的自相似点 根据 PBC A BCP ABC 2 PBC 2 A ACB 2 BCP 4 A 即可得出各内角的 度数 解答 解 1 在 Rt ABC中 ACB 90 CD是AB上的中线 CD AB CD BD BCE ABC BE CD BEC 90 BEC ACB BCE ACB E是 ABC的自相似点 2 如图所示 做法 在 ABC内 作 CBD A 在 ACB内 作 BCE ABC BD交CE于点P 则P为 ABC的自相似点 P是 ABC的内心 PBC 1 2 ABC PCB 1 2 ACB PBC A BCP ABC 2 PBC 2 A ACB 2 BCP 4 A A 2 A 4 A 180 A 该三角形三个内角度数为 点评 此题主要考查了相似三角形的判定以及三角形的内心做法和做一角等于已知角 此 题综合性较强 注意从已知分析获取正确的信息是解决问题的关键 2 2011 江苏南京 28 11 分 问题情境 已知矩形的面积为a a为常数 a 0 当该矩形的长为多少时 它的周长最小 最小值 是多少 数学模型 设该矩形的长为x 周长为y 则y与x的函数关系式为y 2 x a x x 0 探索研究 1 我们可以借鉴以前研究函数的经验 先探索函数y x 1 x x 0 的图象和性质 填写下表 画出函数的图象 x 1 4 1 3 1 2 1234 y 观察图象 写出该函数两条不同类型的性质 在求二次函数y ax2 Bx c a 0 的最大 小 值时 除了通过观察图象 还可以通过 配方得到 请你通过配方求函数y x 1 x x 0 的最小值 解决问题 2 用上述方法解决 问题情境 中的问题 直接写出答案 考点 反比例函数的性质 完全平方公式 配方法的应用 一次函数的性质 二次函数的 最值 专题 计算题 分析 1 把x的值代入解析式计算即可 根据图象所反映的特点写出即可 根据 完全平方公式 a B 2 a2 2aB B2 进行配方即可得到最小值 2 根据完全平方公式 a B 2 a2 2aB B2 进行配方得到y 2 2 a x x 2 即 可求出答案 解答 解 1 故答案为 17 4 10 3 5 2 2 5 2 10 3 17 4 函数y x 1 x 的图象如图 答 函数两条不同类型的性质是 当 0 x 1 时 y 随x的增大而减小 当x 1 时 y 随x的增大而增大 当x 1 时 函数y x 1 x x 0 的最小值是 1 解 y x 1 x 22 111 22xxx xxx 2 1 x x 2 当 1 x x 0 即x 1 时 函数y x 1 x x 0 的最小值是 2 答 函数y x 1 x x 0 的最小值是 2 2 答 矩形的面积为a a为常数 a 0 当该矩形的长为a时 它的周长最小 最小值是 4a 点评 本题主要考查对完全平方公式 反比例函数的性质 二次函数的最值 配方法的应 用 一次函数的性质等知识点的理解和掌握 能熟练地运用学过的性质进行计算是解此题 的关键 3 2011 江苏苏州 28 9 分 如图 小慧同学把一个正三角形纸片 即 OAB 放在 直线 l1 上 OA 边与直线 l1 重合 然后将三角形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 120 此时点 O 运动到了点 O1 处 点 B 运动到了点 B1 处 小慧又将三角形纸片 AO1B1 绕点 B1 按 顺时针方向旋转 120 此时点 A 运动到了点A1 处 点 O1 运动到了点 O2 处 即顶点 O 经 过上述两次旋转到达 O2 处 小慧还发现 三角形纸片在上述两次旋转的过程中 顶点 O 运动所形成的图形是两段圆弧 即 A 1 OO 和 A 12 OO 顶点 O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和 并且这两段圆弧与直线 l1 围成的图形面积等于扇形 AOO1 的面积 AO1B1 的面积和扇形 B1O1O2 的面积之和 小慧进行类比研究 如图 她把边长为 1 的正方形纸片 OABC 放在直线 l2 上 OA 边与直 线 l2 重合 然后将正方形纸片绕着顶点 按顺时针方向旋转 90 此时点 O 运动到了点 O1 处 即点 B 处 点 C 运动到了点 C1 处 点 B 运动到了点 B1 处 小慧又将正方形纸片 AO1C1B1 绕顶点 B1 按顺时针方向旋转 90 按上述方法经过若干次旋转后 她提出 了如下问题 问题 若正方形纸片 OABC 接上述方法经过 3 次旋转 求顶点 O 经过的路程 并求顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 l2 围成图形的面积 若正方形纸片 OA BC 按上述方法 经过 5 次旋转 求顶点 O 经过的路程 问题 正方形纸片 OABC 按上述方法经过多少次旋转 顶点 O 经过的路程是 4120 2 2 请你解答上述两个问题 考点 旋转的性质 等边三角形的性质 正方形的性质 弧长的计算 扇形面积的计算 专题 几何图形问题 分析 根据正方形旋转 3 次和 5 次的路径 利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即 可 再利用正方形纸片 OABC 经过 4 次旋转得出旋转路径 进而得出 4120 2 2 即可得出 旋转次数 解答 解问题 如图 正方形纸片 OABC 经过 3 次旋转 顶点 O 运动所形成的图形是三段 圆 弧 及 A 1 OO A 12 OO 以及 A 23 O O 顶点 O 在此运动过程中经过的路程为 9019022 21 1801802 顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 l2 围成图形的面积为 22 90190 2 1 221 11 3603602 正方形纸片OABC 经过 5 旋转 顶点 O 经过的路程为 90190232 3 18018022 AB1O B O1 l2 CC1 O2 O3 问题 正方形纸片 OABC 经过 4 旋转 顶点 O 经过的路程为 9019022 21 1801802 4120 221 201 222 正方形纸片 OABC 经过了 81 次旋转 点评 此题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和弧长计算公式 分别得出旋转 3 4 5 次旋转的路径是解决问题的关键 4 2011 盐城 27 12 分 情境观察 将矩形 ABCD 纸片沿对角线AC剪开 得到 ABC 和 A C D 如图 1 所示 将 A C D 的顶点A 与点A重合 并绕点A按逆时针方向旋转 使点D A A B在同一条直线 上 如图 2 所示 观察图 2 可知 与BC相等的线段是 AD CAC 90 问题探究 如图 3 ABC中 AG BC于点G 以A为直角顶点 分别以AB AC为直角边 向 ABC 外作等腰Rt ABE和等腰Rt ACF 过点E F作射线GA的垂线 垂足分别为P Q 试探 究EP与FQ之间的数量关系 并证明你的结论 拓展延伸 如图 4 ABC中 AG BC于点G 分别以AB AC为一边向 ABC外作矩形ABME和矩 形ACNF 射线GA交EF于点H 若AB kAE AC kAF 试探究HE与HF之间的数量关系 并说明理由 考点 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 等腰直角三角形 矩形的性 质 专题 证明题 分析 观察图形即可发现 ABC AC D 即可解题 易证 AEP BAG AFQ CAG 即可求得EP AG FQ AG 即可解题 根据 的理论即可求得EH FH 即可解题 解答 解 观察图形即可发现 ABC AC D 即BC AD C AD ACB CAC 180 C AD CAB 90 FAQ CAG 90 FAQ AFQ 90 AFQ CAG 同理 ACG FAQ 又 AF AC AFQ CAG FQ AG 同理EP AG FQ EP 根据 的结论即可求得EH FH AG AG 1 即HE HF 故答案为 AD 90 点评 本题考查了全等三角形的证明 考查了全等三角形对应边相等的性质 考查了三角 形内角和为 180 的性质 考查了等腰三角形腰长相等的性质 本题中求证 AFQ CAG 是解题的关键 5 2011 江苏无锡 26 6 分 如图 等腰梯形 MNPQ 的上底长为 2 腰长为 3 一个底角 为 60 正方形 ABCD 的边长为 1 它的一边 AD 在 MN 上 且顶点 A 与 M 重合 现将正方形 ABCD 在梯形的外面沿边 MN NP PQ 进行翻滚 翻滚到有一个顶点与 Q 重合即停止滚动 1 请在所给的图中 用尺规画出点 A 在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图 2 求正方形在整个翻滚过程中点 A 所经过的路线与梯形 MNPQ 的三边 MN NP PQ 所围成 图形的面积 S 考点 扇形面积的计算 等腰梯形的性质 弧长的计算 解直角三角形 专题 作图题 几何综合题 分析 1 根据点 A 绕点 D 翻滚 然后绕点 C 翻滚 然后绕点 B 翻滚 半径分别为 1 2 1 翻转角分别为 90 90 150 据此画出圆弧即可 2 根据总结的翻转角度和翻转半径 求出圆弧与梯形的边长围成的扇形的面积即可 解答 解 1 作图如图 2 点 A 绕点 D 翻滚 然后绕点 C 翻滚 然后绕点 B 翻滚 半径分别为 1 2 1 翻 转角分别为 90 90 150 S 2 2 1 2 1 4 360 1150 2 360 2 90 2 360 1180 2 6 5 2 3 7 2 点评 本题考查了扇形的面积的计算 等腰梯形的性质 弧长的计算 是一道不错的综合 题 解题的关键是正确的得到点 A 的翻转角度和半径 6 2011 江苏无锡 28 10 分 十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税 法修正案草案 简称 个税法草案 拟将现行个人所得税的起征点由每月 2000 元提高 到 3000 元 并将 9 级超额累进税率修改为 7 级 两种征税方法的 1 5 级税率情况见下表 现行征税方法草案征税方法税 级月应纳税额 x税率速算扣除数月应纳税额 x税率速算扣除数 1x 5005 0 x 15005 0 2 500 x 2000 10 25 1500 x 4500 10 75 3 2000 x 5000 15 125 4500 x 9000 20 525 4 5000 x 20000 20 375 9000 x 35000 25 975 5 20000 x 40000 25 1375 35000 x 55000 30 2725 注 月应纳税额 为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额 速算扣除数 是为快捷简便计算个人所得税而设定的一个数 例如 按现行个人所得税法的规定 某人今年 3 月的应纳税额为 2600 元 他应缴税款可以 用下面两种方法之一来计算 方法一 按 1 3 级超额累进税率计算 即 500 5 1500 10 600 15 265 元 方法二 用 月应纳税额 x 适用税率 速算扣除数 计算 即 2600 15 l25 265 元 1 请把表中空缺的 速算扣除数 填写完整 2 甲今年 3 月缴了个人所得税 1060 元 若按 个税法草案 计算 则他应缴税款多少 元 3 乙今年 3 月缴了个人所得税 3 千多元 若按 个税法草案 计算 他应缴的税款恰好 不变 那么乙今年 3 月所缴税款的具体数额为多少元 考点 一元一次方程的应用 一元一次不等式组的应用 专题 应用题 分析 1 可假设是 3000 和 5000 元 根据方法一和方法二进行运算 从而算出结果 2 先算出月应纳税额 然后看看在 个税法草案 的那个阶段中 从而求出结果 设此 时月应纳税额为 x 因为 1060 元 所以在第 4 阶段 3 设今年 3 月份乙工资为 x 元 根据乙今年 3 月缴了个人所得税 3 千多元 若按 个税 法草案 计算 他应缴的税款恰好不变 可知两种方案都是在第 4 阶段 解答 解 1 3000 10 1500 5 1500 10 75 5000 20 1500 5 3000 10 500 20 525 故表中填写 75 525 2 x 20 375 1060 x 7175 7175 2000 3000 20 525 710 他应缴纳税款 710 元 3 设今年 3 月份乙工资为 x 元 0 2 x 2000 375 0 25 x 3000 975 x 19000 19000 2000 0 2 375 19000 3000 0 25 975 3025 元 故乙今年 3 月所缴税款的具体数额为 3025 元 点评 本题考查一元一次方程的应用和理解题意的能力 关键是理解月应纳税额和个人所 得税概念的理解 以及对方法一和方法二计算的理解 从而设出未知数求出方程 7 2011 江苏扬州 24 10 分 古运河是扬州的母亲河 为打造古运河风光带 现有一 段长为 180 米的河道整治任务由 A B 两个工程队先后接力完成 A 工程队每天整治 12 米 B 工程队每天整治 8 米 共用时 20 天 1 根据题意 甲 乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下 甲 yx yx 812 乙 812 yx yx 根据甲 乙两名同学所列的方程组 请你分别指出未知数 x y 表示的意义 然后在方框 中补全甲 乙两名同学所列的方程组 甲 x 表示 y 表示 乙 x 表示 y 表示 2 求 A B 两工程队分别整治河道多少米 写出完整的解答过程 考点 二元一次方程组的应用 分析 1 此题蕴含两个基本数量关系 A 工程队用的时间 B 工程队用的时间 20 天 A 工程队整治河道的米数 B 工程队整治河道的米数 180 由此进行解答即可 2 选 择其中一个方程组解答解决问题 解答 解 1 甲同学 设 A 工程队用的时间为 x 天 B 工程队用的时间为 y 天 由此列 出的方程组为 180812 20 yx yx 乙同学 A 工程队整治河道的米数为 x B 工程队整治河道的米数为 y 由此列出的方程组 为 20 812 180 yx yx 故答案依次为 20 180 180 20 A 工程队用的时间 B 工程队用的时间 A 工程队整治 河道的米数 B 工程队整治河道的米数 2 选甲同学所列方程组解答如下 180812 20 yx yx 8 得 4x 20 解得 x 5 把 x 5 代入 得 y 15 所以方程组的解为 15 5 y x A 工程队整治河道的米数为 12x 60 B 工程队整治河道的米数为 8y 120 答 A 工程队整治河道 60 米 B 工程队整治河道 120 米 点评 此题主要考查利用基本数量关系 A 工程队用的时间 B 工程队用的时间 20 天 A 工 程队整治河道的米数 B 工程队整治河道的米数 180 运用不同设法列出不同的方程组解决 实际问题 8 2011 南昌 23 8 分 图甲是一个水桶模型示意图 水桶提手结构的平面图是轴对称 图形 当点 0 到BC 或DE 的距离大于或等于的半径时 O是桶口所在圆 半径为 OA 提手才能从图甲的位置转到图乙的位置 这样的提手才合格 现用金属材料做 了一个水桶提手 如图丙A B C D E F C D是 其余是线段 O是AF的 CD 中点 桶口直径AF 34cm AB FE 5cm ABC FED 149 请通过计箅判断这个水 桶提手是否合格 考点 解直角三角形的应用 专题 应用题 分析 根据AB 5 AO 17 得出 ABO 73 6 再利用 GBO的度数得出 GO BO sin GBO的长度即可得出答案 解答 解 解法一 连接OB 过点O作OG BC于点G 在Rt ABO中 AB 5 AO 17 tan ABO 4 3 5 17 AB AO ABO 73 6 GBO ABC ABO 149 73 6 75 4 又 OB 314175 22 17 72 在Rt OBG中 OG OB sin OBG 17 72 0 97 17 19 17 水桶提手合格 解法二 连接OB 过点O作OG BC于点G 在Rt ABO中 AB 5 AO 17 tan ABO 4 3 5 17 AB AO ABO 73 6 要使OG OA 只需 OBC ABO OBC ABC ABO 149 73 6 75 4 73 6 水桶提手合格 点评 此题主要考查了解直角三角形 根据AB 5 AO 17 得出 ABO 73 6 是解决问题 的关键 9 2011 重庆綦江 24 10 分 如图 等边 ABC中 AO是 BAC的角平分线 D为AO上 一点 以CD为一边且在CD下方作等边 CDE 连接BE 1 求证 ACD BCE 2 延长BE至Q P为BQ上一点 连接CP CQ使CP CQ 5 若BC 8 时 求PQ的 长 A B C Q O D E P 考点 全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 含 30 度角的直角三角形 勾股定理 专题 几何综合题 分析 1 由 ABC与 DCE是等边三角形 可得AC BC DC EC ACB DCE 60 又由 ACD DCB ECB DCB 60 即可证得 ACD BCE 所以根据 SAS 即可证 得 ACD BCE 2 首先过点C作CH BQ于H 由等边三角形的性质 即可求得 DAC 30 则根据等 腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长 解答 解 1 ABC与 DCE是等边三角形 AC BC DC EC ACB DCE 60 ACD DCB ECB DCB 60 ACD BCE ACD BCE SAS 2 过点C作CH BQ于H ABC是等边三角形 AO是角平分线 DAC 30 ACD BCE QBC DAC 30 CH 2 1 BC 2 1 8 4 PC CQ 5 CH 4 PH QH 3 PQ 6 A B C Q O D H E P 点评 此题考查了全等三角形的判定与性质 等腰三角形 等边三角形以及直角三角形的 性质等知识 此题综合性较强 但难度不大 解题时要注意数形结合思想的应用 10 2011 浙江宁波 25 阅读下面的情景对话 然后解答问题 1 根据 奇异三角形 的定义 请你判断小华提出的命题 等边三角形一定是奇异三 角形 是真命题还是假命题 2 在 Rt ABC 中 C 90 AB c AC b BC a 且 b a 若 Rt ABC 是奇异三 角形 求 a b c 3 如图 AB 是 O 的直径 C 是 O 上一点 不与点 A B 重合 D 是半圆弧 ADB 的中 点 C D 在直径 AB 的两侧 若在 O 内存在点 E 使 AE AD CB CE 求证 ACE 是奇异三角形 当 ACE 是直角三角形时 求 AOC 的度数 考点 勾股定理 等边三角形的性质 圆周角定理 专题 新定义 分析 1 根据 奇异三角形 的定义与等边三角形的性质 求证即可 2 根据勾股定理与奇异三角形的性质 可得 a2 b2 c2与 a2 c2 2b2 用 a 表示出 b 与 c 即可求得答案 3 AB 是 O 的直径 即可求得 ACB ADB 90 然后利用勾股定理与圆的性质即 可证得 利用 2 中的结论 分别从 AC AE CE 1 2 3与 AC AE CE 3 2 1 去 分析 即可求得结果 解答 解 1 设等边三角形的一边为 a 则 a2 a2 2a2 符合 奇异三角形 的定义 是真命题 2 C 90 则 a2 b2 c2 Rt ABC 是奇异三角形 且 b a a2 c2 2b2 由 得 b 2a c 3a a b c 1 2 3 3 AB 是 O 的直径 ACB ADB 90 在 Rt ACB 中 AC2 BC2 AB2 在 Rt ADB 中 AD2 BD2 AB2 点 D 是半圆弧 ADB 的中点 弧 AD 弧 DB AD BD AB2 AD2 BD2 2AD2 AC2 CB2 2AD2 又 CB CE AE AD AC2 CE2 2AE2 ACE 是奇异三角形 由 可得 ACE 是奇异三角形 AC2 CE2 2AE2 当 ACE 是直角三角形时 由 2 得 AC AE CE 1 2 3或 AC AE