全国高中高三数学联赛集训试题

用心 爱心 专心 全国高中数学联赛集训试题全国高中数学联赛集训试题 一 选择题 本题满分 36 分 每小题 6 分 1 函数 f x log1 2 x2 2x 3 的单调递增区间是 A 1 B 1 C 1 D 3 2 若实数 x y 满足 x 5 2 y 12 2 142 则 x2 y2的最小值为 A 2 B 1 C 3 D 2 3 函数 f x x 1 2x x 2 A 是偶函数但不是奇函数 B 是奇函数但不是偶函数 C 既是偶函数又是奇函数 D 既不是偶函数也不是奇函数 4 直线 x 4 y 3 1 与椭圆 x2 16 y2 9 1 相交于 A B 两点 该椭圆上点 P 使得 PAB 面积等于 3 这样的点 P 共有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5 已知两个实数集合 A a1 a2 a100 与 B b1 b2 b50 若从 A 到 B 的映射 f 使得 B 中每个元素都有原象 且 f a1 f a2 f a100 则这样的映射共有 A C50100 B C4899 C C49100 D C4999 6 由曲线 x2 4y x2 4y x 4 x 4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V1 满足 x2 y2 16 x2 y 2 2 4 x2 y 2 2 4 的点 x y 组成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋 转体的体积为 V2 则 A V1 1 2 V2 B V1 2 3 V2 C V1 V2 D V1 2V2 二 填空题 本题满分 54 分 每小题 9 分 7 已知复数 Z1 Z2满足 Z1 2 Z2 3 若它们所对应向量的夹角为 60 则 Z1 Z2 Z1 Z2 8 将二项式 x 1 24 x n的展开式按 x 的降幂排列 若前三项系数成等差数列 用心 爱心 专心 则该展开式中 x 的幂指数是整数的项共有 个 9 如图 点 P1 P2 P10分别是四面体顶点或棱的中点 那么在同一平面上的四点 组 P1 Pi Pj Pk 1 i j k 10 有 个 10 已知 f x 是定义在 R 上的函数 f 1 1 且对任意 x R 都有 f x 5 f x 5 f x 1 f x 1 若 g x f x 1 x 则 g 2002 11 若 log4 x 2y log4 x 2y 1 则 x y 的最小值是 12 使不等式 sin2x acosx a2 1 cosx 对一切 x R 恒成立的负数 a 的取值范围是 三 解答题 本题满分 60 分 每小题 20 分 13 已知点 A 0 2 和抛物线 y2 x 4 上两点 B C 使得 AB BC 求点 C 的纵坐标的取值 范围 14 如图 有一列曲线 P0 P1 P2 已知 P0所围成的图形是面积为 1 的等边三角形 Pk 1是对 Pk进行如下操作得到 将 Pk的每条边三等分 以每边中间部分的线段为边 向外作 等边三角形 再将中间部分的线段去掉 k 0 1 2 记 Sn为曲线 Pn所围成图形的面积 1 求数列 Sn 的通项公式 2 求 limSn n 用心 爱心 专心 15 设二次函数 f x ax2 bx c a b c R a 0 满足条件 1 当 x R 时 f x 4 f 2 x 且 f x x 2 当 x 0 2 时 f x x 1 2 2 3 f x 在 R 上的最小值为 0 求最大的 m m 1 使得存在 t R 只要 x 1 m 就有 f x t x 用心 爱心 专心 参考答案参考答案 一 选择题 1 x2 2x 3 0 有 x 1 或 x 3 故函数 log1 2 x2 2x 3 的定义域为 x 1 或 x 3 二 次函数 u x2 2x 3 在 1 内单调递减 在 3 内单调递增 而 log1 2u 在 0 上单调递减 所以 log1 2 x2 2x 3 在 1 单调递增 故选 A 2 x 5 2 y 12 2 142是以点 C 5 12 为圆心 半径为 14 的圆 设 P 为圆上任一点 则 OP CP OC 14 13 1 当点 C O P 共线时 等号成立 所以 P 到点 O 的最小值为 1 故选 B 3 函数 f x 的定义域是 0 0 当 x 0 时 因为 f x x 1 2 x x 2 x2x 2x 1 x 2 x x 2x 1 1 2x x 2 x 1 2x x x 2 x 1 2x x 2 f x 所以 f x 为偶函数 显然 f x 不是奇函数 故选 A 4 设 P1 4cos 3sin 0 2 即点 P1在第一象限的椭圆上 如图 考虑 四边形 P1AOB 面积 S S S OAP1 S OBP1 1 2 4 3sin 1 2 3 4cos 6 sin cos 6 2sin 4 Smax 6 2 此时 4 S OAB 1 2 4 3 6 为定值 S P1AB的最大值为 6 2 6 用心 爱心 专心 6 2 6 3 点 P 不可能在直线 AB 的上方 显然在直线 AB 的下方有两个点 P 故选 B 5 不妨设 b1 b2 b50 将 A 中元素 a1 a2 a100按顺序分为非空的 50 组 定义映射 f A B 使第 i 组的元素在 f 之下的象都是 bi i 1 2 50 易知这样的 f 满足题设要求 每个这样的分组都一一对应满足条件的映射 于是满足题设 要求的映射 f 的个数与 A 按足码顺序分为 50 组的分法数相等 而 A 的分法数为 C4999 则这 样的映射共有 C4999 故选 D 6 如题图 两图形绕 y 轴旋转所得旋转体夹在两相距为 8 的平行平面之间 用任意一 个与 y 轴垂直的平面截这两个旋转体 设截面与原点距离为 y 则所得截面面积 S1 42 4 y S2 42 y2 4 2 y 2 42 4 y S1 S2 由祖暅原理知 两几何体体积相等 1 2 故选 二 填空题 7 如图 由余弦定理可得 Z1 Z2 19 Z1 Z2 7 所以 Z1 Z2 Z1 Z2 19 7 133 8 不难求出前三项系数分别是 1 2 n 1 8 n n 1 由于这三个数成等差数列 有 2 1 2n 1 1 8n n 1 解得 n 8 和 n 1 舍去 当 n 8 时 Tr 1 Cr8 1 2 rx 16 3r 4 这里 r 0 1 8 r 应满足 16 3r 所以 r 只 能是 0 4 8 9 首先 在每个侧面上除 P1点外尚有五个点 其中任意三点组添加点 P1 后组成的四点组都 在同一个平面 这样的三点组有 C35个 三个侧面共有 3C35个 其次 含 P1的每条棱上的三点组添加底面与它异面的那条棱上的中点组成的四点组也在 用心 爱心 专心 一个平面上 这样的四点组有 个 综上 共有 C35 3 33 个 10 由 g x f x 1 x 得 f x g x x 1 所以 g x 5 x 5 1 g x x 1 5 g x 1 x 1 1 g x x 1 1 即 g x 5 g x g x 1 g x g x g x 5 g x 4 g x 3 g x 2 g x 1 g x g x 1 g x 即 g x 是周期为 的周期函数 又 g 1 1 故 g 2002 1 11 由对称性只考虑 y 0 因为 x 0 所以只须求 x y 的最小值 令 x y u 代入 x2 4y2 4 有 3y2 2uy 4 u2 0 这个关于 y 的二次方程显然有实根 故 16 u2 3 0 u 3 当 x 4 3 3 y 3 3 时 u 3 故 x y 的最小值为 3 12 原不等式可化为 cosx a 1 2 2 a2 a 1 2 4 1 cosx 1 a 0 a 1 2 0 当 cosx 1 时 函数 y cosx a 1 2 2有最大值 1 a 1 2 2 从而有 1 a 1 2 2 a2 a 1 2 4 整理得 a2 a 2 0 a 1 或 a 2 又 a 0 a 2 三 解答题 13 设 点坐标为 y21 4 y1 点坐标为 y2 4 y 显然 y21 4 故 kAB y1 2 y21 4 1 y1 2 由于 AB BC 所以 kBC y1 2 从而 y y1 y1 2 x y21 4 y2 x 4 消去 x 注意到 y y1得 2 y1 y y1 1 0 y21 2 y y1 2y 1 0 由 0 解得 y 0 或 y 4 当 y 0 时 点 的坐标为 3 1 当 y 4 时 点 的坐标为 5 3 均满足题意 故 点 的纵坐标的取值范围是 y 0 或 y 4 14 1 对 0进行操作 容易看出 0的每条边变成 的 条边 故 的边数为 3 4 同 样 对 P 进行操作 P 的每条边变成 P 的 条边 故 P 的边数为 3 4 从而不难得到 Pn的边数为 3 4n 已知 0的面积为 0 1 比较 P 与 0 容易看出 P 在 0的每条边上增加一个小等边三 角形 其面积为 1 32 而 0有 条边 故 用心 爱心 专心 S1 S0 3 1 32 1 1 3 再比较 P 与 P 可知 P 在 P 的每条边上增加了一个小等边三角形 其面积为 1 32 1 32 而 P 有 3 4 条边 故 S2 S1 3 4 1 34 1 1 3 4 33 类似地有 S3 S2 3 42 1 36 1 1 3 4 33 42 35 于是有 下面利用数学归纳法证明 式 n 1 时 由上面已知 式成立 假设 n k 时 有 Sk 8 5 3 5 4 9 k 当 n k 1 时 易知第 k 1 次操作后 比较 Pk 1与 Pk Pk 1在 Pk的每条边上增加了一个小等边三角形 其面积为 1 32 k 1 而 Pk 有 3 4k条边 故 Sk Sk 3 4k 1 32 k 1 Sk 4k 32k 1 8 5 3 5 4 9 k 1 综上 由数学归纳法 式得证 2 lim n Sn lim n 8 5 3 5 4 9 n 8 5 15 f x 4 f 2 x 函数的图象关于 x 1 对称 b 2a 1 b 2a 由 3 x 1 时 y 0 即 a b c 0 由 1 得 f 1 1 由 2 得 f 1 1 f 1 1 即 a b c 1 又 a b c 0 b 1 2 a 1 4 c 1 4 f x 1 4 x2 1 2 x 1 4 假设存在 t R 只要 x 1 m 就有 f x t x 取 x 1 有 f