上海市八校2009年高三数学联合测试（文） 沪教版 新课标

用心 爱心 专心 上海市八校上海市八校 2009 年高三年高三联联合考合考试试 数学数学试试卷 文科 卷 文科 考试时间 120 分钟 满分 150 分 一 填空题 本大题共有 11 题 满分 60 分 只要求直接填写只要求直接填写结结果 每个空格填果 每个空格填对对得 分 否得 分 否则则一律得零分 一律得零分 1 若zC 且1 3 iz 则z 2 已知全集UR 集合 2 230 Ax xxxR 2 2 BxxxR 那么集合AB 3 满足方程 2 lglg1 1 21 xx 的实数解 x 为 4 在数列 n a中 12 02aa 且 1 1 2 Nnaa n nn 100 S 5 已知实数0a 直线l过点22P 且垂直于向量 3 3 m 若直线l与圆 02 222 aaaxyx相交 则实数a的取值范围是 6 已知一个球的球心O到过球面上 A B C 三点的截面的距离等于此球半径的一半 若 3ABBCCA 则球的体积为 7 n a是无穷数列 已知 n a是二项式 12 n xnN 的展开式各项系数的和 记 12 111 n n P aaa 则lim n n P 8 在ABC 中 4 3 ABB ABC 的面积为3 则AC 9 已知集合 n Az zinN 1212 BzzzzA 1 z可以等于 2 z 从集合B中任取一元素 则该元素为实数的概率为 10 某同学在研究函数 1 x f xxR x 时 分别给出下面几个结论 等式 0fxf x 对xR 恒成立 函数 f x的值域为 1 1 若 12 xx 则一定有 12 f xf x 用心 爱心 专心 函数 g xf xx 在R上有三个零点 其中正确结论的序号有 请将你认为正确的结论的序号都填上 11 将侧棱相互垂直的三棱锥称为 直角三棱锥 三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱 锥的 直角面和斜面 过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的 中面 1 直角三角形具有性质 两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方 仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质 2 直角三角形具有性质 斜边的中线长等于斜边边长的一半 仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质 二 选择题 本大题共有 题 满分 16 分 每每题题都都给给出四个出四个结论结论 其中有且只有一个 其中有且只有一个结论结论是正确的 必是正确的 必须须把正确的把正确的结论结论的代号写在的代号写在 题题后的后的圆圆括号内 括号内 选对选对得 分 否得 分 否则则一律得零分 一律得零分 12 已知a b为实数 则 ba 22 是 22 loglogab 的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 13 已知点 1 0 M 直线 1l x 点 B 是 l 上的动点 过点 B 垂直于 y 轴的直线与 线段 BM 的垂直平分线交于点 P 则点 P 的轨迹是 A 抛物线 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 直线 14 已知正三棱柱 111 CBAABC 的底面边长为3 高为 1 过顶点 A 作一平面 与侧面 11B BCC交于EF 如右图 且BCEF 若 0 6 FABxx 四边形BCEF面 积为 y 则函数 xfy 的图象大致是 A B C EF A1 B1C1 x y O 3 6 x y O 3 6 x y O 3 6 x y O 3 6 A B C D 用心 爱心 专心 15 已知 1 ABk 2 4 AC 若k为满足 4AB 的整数 则ABC 是直角三 角 形的整数k的个数为 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 7 个 三 解答题 本大题共有 小题 满分 74 分 解答下列各解答下列各题题必必须须写出必要的步写出必要的步骤骤 16 本题满分 12 分 题 1 2 各 6 分 已知函数1cossin32sincos 22 xxxxxf 1 求 xf的最小正周期 并求 xf的最小值 2 若 2f 且 4 2 求 的值 17 本题满分 14 分 随着机构改革工作的深入进行 各单位要减员增效 有一家公司现有职员2a人 140 2a 420 且 a 为偶数 每人每年可创利 10 万元 据评估 在经营条件不变的前 提下 若裁员x人 则留岗职员每人每年多创利0 1x万元 但公司需付下岗职员每人每年 4 万元的生活费 并且该公司正常运转情况下 所裁人数不超过 50 人 为获得最大的经济 效益 该公司应裁员多少人 18 本题满分 14 分 题 1 6 分 题 2 8 分 已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的渐近线方程为 3 3 yx 左焦点为 F 过 0 0 A aBb 的直线为l 原点到直线l的距离是 2 3 1 求双曲线的方程 用心 爱心 专心 2 已知直线yxm 交双曲线于不同的两点 C D 问是否存在实数m 使 0FC FD 若存在 求出 m 的值 若不存在 请说明理由 19 本题满分 16 分 题 1 4 分 题 2 6 分 题 3 6 分 对定义在 0 1 上 并且同时满足以下两个条件的函数 f x称为G函数 对任意的 0 1 x 总有 0f x 当 1212 0 0 1xxxx 时 总有 1212 f xxf xf x 成立 已知函数 2 g xx 与 2xh xb 是定义在 0 1 上的函数 1 试问函数 g x是否为G函数 并说明理由 2 若函数 h x是G函数 求实数b组成的集合 3 在 2 的条件下 方程 2 21 x ghxm mR 有两个不同的解 求实数 m的取值范围 20 本题满分 18 分 题 1 4 分 题 2 6 分 题 3 8 分 已知点列 1122 1 2 nn ByByB n y nN 顺次为直线 4 x y 上的点 点列 1122 0 0 0 nn A xA xA x nN 顺次为x轴上的点 其中 1 xa 01 a 对任意的 nN 点 n A n B 1 n A构成以 n B为顶点的等腰三角形 1 证明 数列 n y是等差数列 2 求证 对任意的 nN nn xx 2 是常数 并求数列 n x的通项公式 3 对上述等腰三角形 1 nnn ABA添加适当条件 提出一个问题 并做出解答 根据所提问题及解答的完整程度 分档次给分 用心 爱心 专心 2009 年上海市八校年上海市八校联联合考合考试试 数学数学试试卷 文科答案 卷 文科答案 考试时间 120 分钟 满分 150 分 一 填空题 i 3 2 0 3 x2 4 2550 82 a 32 3 7 1 2 13 9 1 2 1 直角三棱锥中 三个直角面面积的平方和等 于斜面面积的平方 2 直角三棱锥中 斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一 二 选择题 B A 14 C 三 解答题 1 本题满分 1 分 解 1 12cos2sin31cossin32sincos 22 xxxxxxxf 1 6 2sin 2 x 分 因此 xf的最小正周期为 最小值为1 分 2 由 2f 得2sin 2 1 6 2 即 1 sin 2 62 而由 4 2 得 27 2 636 分 故 5 2 66 解得 3 1 分 17 本题满分 14 分 解 设裁员 x x0 50 xN 人 可获得的经济效益为 y 万元 则 y2ax 100 1x4x 分 用心 爱心 专心 2 1 x2 a70 x20a 10 x0 50 xN 6 分 当0a705070a120 xa70 y 即即时时取到最大值 9 分 当a7050120a210 x50 y 即即时时取到最大值 12 分 答 当 70a120 时 公司应裁员a70 人 经济效益取到最大值 当120a210 公司应裁员 50 人 经济效益取到最大值 1 分 18 本题满分 14 分 已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的渐近线方程为 3 3 yx 左焦点为 F 过 0 0 bBaA 的直 线为 L 原点到直线 L 的距离是 2 3 1 求双曲线的方程 2 已知直线yxm 交双曲线于不同的两点 C D 问是否存在 m 使FC FD0 A 若存在 求出 m 的值 若不存在 请说明理由 解 1 3 3 b a 2 分 原点到直线AB 1 b y a x 的距离 22 3 2 abab d c ab 分 1 3 ba 故所求双曲线方程为 2 2 x y1 3 6 分 2 把 22 yxmx3y3 代代入入中消去y 整理得 22 2x6mx3m30 8 分 设 1122 C x yD xy 则 2 1212 33 3 2 m xxmx x F2 0 因为 FC FD0 A 所以 1212 x2 x2y y0 10 分 把 1111 yxmyxm 代入上式 解得 m32 13 分 解0 得2 2 2 mm m32 满足0 m32 14 分 用心 爱心 专心 本题满分 分 已知定义在 0 1的函数 f x同时满足以下二条 对任意的 0 1x 总有 0f x 当 1212 0 0 1xxxx 时 总有 1212 f xxf xf x 成立 称函 数f x 为G函数 1 问 函数 2 g xxx0 1 是否为G函数 并说明理由 2 若函数 x h x2bx0 1 是G函数 求b的集合 3 在 2 的条件下 方程 x 4h2x1m 有二个不同解 求实数m的范围 解 1 当 0 1x 时 总有 2 g xx0 满足 1 分 当 1212 0 0 1xxxx 时 22222 121212121212 g xxxxxx2x xxxg xg x 满足 4 分 2 x h x2bx0 1 为增函数 h x h 01 b0 b1 分 由 1212 h xxh xh x 得 1212 xxxx 2b2b2b 即 11 xx b121 21 分 因为 1212 0 0 1xxxx 所以 1 x 021 1 2 x 021 1 1 x与 2 x不同时等于 1 11 xx 021 211 11 xx 0121 211 分 当 12 xx0 时 11 xx 121 211 max b1 分 综合上述 b1 1 分 3 根据 知 b 1 方程为 x2x 1 421m 1 分 令 x 4tt1 4 方程为 2 tm1 t 2 分 用心 爱心 专心 14 分 由图形可知 当m2 21 2 时 有二不同解 16 分 20 本题满分 分 解 1 依题意有 n n y 4 于是 4 1 1 nn yy 所以数列 n y是等差数列 4 分 2 由题意得n xx nn 2 1 即nxx nn 2 1 n N 所以又有 1 2 12 nxx nn 由 得 2 2 nn xx 所以 n nn n x xx x 2 是常数 分 由 135246 x xxxxx 都是等差数列 12 xa 0a1x2a 那么得 22 1 2 112 akkxx k akkakxx k 2 1 22 1 2 22 k N N 分 故 1 n nan x nan 为奇数 为偶数 1 分 3 提出问题 若等腰三角形 1 nnn ABA中 是否有直角三角形 若有 求出实数a 提出问题 若等腰三角形 1 nnn ABA中 是否有正三角形 若有 求出实数a 解 问题 1 分 当n为奇数时 0 1 0 1 1 anAanA nn 所以 1 2 1 aAA nn 当n为偶数时 0 0 1 anAanA nn 所以 2 1 aAA nn 作xCB nn 轴 垂足为 n C则 nn n B C 4 要使等腰三角形 1 nnn ABA为直角三角形 必须且 只须 nnnn CBAA2 1 分 当n为奇数时 有 n 2 1 a2 4 即 n a1 4 31 n1an3a 44 当当时时当当时时 当5 n a0 不合题意 15 分 用心 爱心 专心 当n为偶数时 有 n 2a2 4 n a 4 同理可求得 1 n2a 2 当当时时 当n n 时 a0 不合题意 1 分 综上所述 使等腰三角形 1 nnn ABA中 有直角三角形 a的值为 3 4 或 1 4 或 1 2 1 分 解 问题 1 分 当n为奇数时 0 1 0 1 1 anAanA nn 所以 1 2 1 aAA nn 当n为偶数时 0 0 1 anAanA nn 所以 2 1 aAA nn 作xCB nn 轴 垂足为 n C则 nn n B C 4 要使等腰三角形 1 nnn ABA为正三角形 必须且只 须 n nn nn nn n A A A A