2011届高考数学 必看之-知识点总结 概率与统计

用心 爱心 专心 1 第十二章第十二章 概率与统计概率与统计 考试内容 考试内容 抽样方法 总体分布的估计 总体期望值和方差的估计 考试要求 考试要求 1 了解随机抽样了解分层抽样的意义 会用它们对简单实际问题进行抽样 2 会用样本频率分布估计总体分布 3 会用样本估计总体期望值和方差 12 12 概率与统计概率与统计 知识要点知识要点知识要点知识要点 一 随机变量一 随机变量 1 随机试验的结构应该是不确定的 试验如果满足下述条件 试验可以在相同的情形下重复进行 试验的所有可能结果是明确可知的 并 且不止一个 每次试验总是恰好出现这些结果中的一个 但在一次试验之前却 不能肯定这次试验会出现哪一个结果 它就被称为一个随机试验 2 离散型随机变量 如果对于随机变量可能取的值 可以按一定次序一一列出 这样的随机变量叫做离散型随机变量 若 是一个随机变量 a b 是常数 则 ba 也是一个随机变量 一般地 若 是随机变量 xf是连续函数或单调 函数 则 f也是随机变量 也就是说 随机变量的某些函数也是随机变量 设离散型随机变量 可能取的值为 21i xxx 取每一个值 2 1 1 ix的概率 ii pxP 则表称为随机变量 的概率分布 简称 的分布列 1 x 2 x i x P 1 p 2 p i p 有性质 2 1 0 1 ip 1 21 i ppp 注意 若随机变量可以取某一区间内的一切值 这样的变量叫做连续型随机变量 例 如 5 0 即 可以取 0 5 之间的一切数 包括整数 小数 无理数 3 二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是 P 那么在 n 次独立重复 试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 knkk n qpCk P 其中pqnk 1 1 0 于是得到随机变量 的概率分布如下 我们称这样的随机变量 服从二项分布 记作 B n p 其中 n p 为参数 并记p nb k qpC knkk n 二项分布的判断与应用 二项分布 实际是对 n 次独立重复试验 关键是看某一事件是否是进行 n 次独 立重复 且每次试验只有两种结果 如果不满足此两条件 随机变量就不服从二 项分布 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小 而每次抽 取时又只有两种试验结果 此时可以把它看作独立重复试验 利用二项分布求其 分布列 4 几何分布 k 表示在第 k 次独立重复试验时 事件第一次发生 如果 把 k 次试验时事件 A 发生记为 k A 事 A 不发生记为q P A A kk 那么 用心 爱心 专心 2 AAAAP k P k1k21 根据相互独立事件的概率乘法分式 P AAP A P AP k P k1k21 3 2 1 1 kpq k 于是得到随机变量 的概率分布列 123 k Pq qp pq2 pq 1k 我们称 服从几何分布 并记pqp g k 1k 其中 3 2 1 1 kpq 5 超几何分布 一批产品共有 N 件 其中有 M M N 件次品 今抽取 Nnn 1 件 则其中的次品数 是一离散型随机变量 分布列为 MNknM 0k 0 C CC k P n N kn MN k M 分子是从 M 件次品中取 k 件 从 N M 件正品中取 n k 件的取法数 如果规定m r时0C r m 则 k 的范围可以写为 k 0 1 n 超几何分布的另一种形式 一批产品由 a 件次品 b 件正品组成 今抽取 n 件 1 n a b 则次品数 的分布列为n 0 1 k C CC k P n ba kn b k a 超几何分布与二项分布的关系 设一批产品由 a 件次品 b 件正品组成 不放回抽取 n 件时 其中次品数 服从 超几何分布 若放回式抽取 则其中次品数 的分布列可如下求得 把ba 个产品 编号 则抽取 n 次共有 n ba 个可能结果 等可能 k 含 knkk n baC 个结果 故 n 0 1 2 k ba a 1 ba a C b a baC k P knkk n n knkk n 即 ba a nB 我们先为 k 个 次品选定位置 共 k n C种选法 然后每个次品位置有 a 种选法 每个正品位置有 b 种选法 可以证明 当产品总数很大而抽取个数不多时 k P k P 因此 二项分布可作为超几何分布的近似 无放回抽样可近似看作放回抽样 二 数学期望与方差二 数学期望与方差 1 期望的含义 一般地 若离散型随机变量 的概率分布为 1 x 2 x i x P 1 p 2 p i p 则称 nnp xpxpxE 2211 为 的数学期望或平均数 均值 数学期望又简称 期望 数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平 2 随机变量ba 的数学期望 baEbaEE 当0 a时 bbE 即常数的数学期望就是这个常数本身 当1 a时 bEbE 即随机变量 与常数之和的期望等于 的期望与 这个常数的和 当0 b时 aEaE 即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变 量期望的乘积 单点分布 ccE 1 其分布列为 cP 1 01 Pqp 用心 爱心 专心 3 两点分布 ppqE 10 其分布列为 p q 1 二项分布 npqp knk n kE knk 其分布列为 pnB P 为发生 的 概率 几何分布 p E 1 其分布列为 pkq P 为发生 的概率 3 方差 标准差的定义 当已知随机变量 的分布列为 2 1 kpxP kk 时 则称 nn pExpExpExD 2 2 2 21 2 1 为 的方差 显然0 D 故 D 为 的根方差或标准差 随机变量 的方差与标准差都反映了随机 变量 取值的稳定与波动 集中与离散的程度 D越小 稳定性越高 波动越 小 4 方差的性质 随机变量ba 的方差 DabaDD 2 a b 均为常数 单点分布 0 D 其分布列为pP 1 两点分布 pqD 其分布列为 p q 1 二项分布 npqD 几何分布 2 p q D 5 期望与方差的关系 如果 E和 E都存在 则 EEE 设 和 是互相独立的两个随机变量 则 DDDEEE 期望与方差的转化 22 EED EEEEE 因为 E为一常数 0 EE 三 正态分布三 正态分布 基本不列入考试范围 基本不列入考试范围 1 密度曲线与密度函数 对于连续型随机变量 位于 x 轴上方 落在任一 区间 ba内的概率等于它与 x 轴 直线ax 与直线bx 所围成的曲边梯形的面积 如图阴影部分 的曲线叫 的密度曲线 以其作为 图像的函数 xf叫做 的密度函数 由于 x 是必然事件 故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1 2 正态分布与正态曲线 如果随机变量 的概率密度为 2 2 2 2 1 x exf Rx 为常数 且0 称 服从参数为 的正态分布 用 2 N表示 xf的表达式可简记为 2 N 它的密度曲线简称为正态曲线 正态分布的期望与方差 若 2 N 则 的期望与方差分别为 2 DE 01 Pqp y x ab y f x 用心 爱心 专心 4 正态曲线的性质 曲线在 x 轴上方 与 x 轴不相交 曲线关于直线 x对称 当 x时曲线处于最高点 当 x 向左 向右远离时 曲线不断地降低 呈现出 中间高 两边低 的钟形曲线 当x 时 曲线上升 当x 时 曲线下降 并且当曲线向左 向右两边无 限延伸时 以 x 轴为渐近线 向 x 轴无限的靠近 当 一定时 曲线的形状由 确定 越大 曲线越 矮胖 表示总体的分布 越分散 越小 曲线越 瘦高 表示总体的分布越集中 3 标准正态分布 如果随机变量 的概率函数为 2 1 2 2 xex x 则称 服从标准正态分布 即 1 0 N有 xPx 1 xx 求出 而 P a b 的计算则是 abbaP 注意 当标准正态分布的 x 的 X 取 0 时 有5 0 x当 x 的 X 取大于 0 的数 时 有5 0 x 比如5 00793 0 5 0 则 5 0 必然小于 0 如图 正态分布与标准正态分布间的关系 若 2 N则 的分布函数通 常用 xF表示 且有 x F x x P 4 3 原则 假设检验是就正态总体而言的 进行假设检验可归结为如下三步 提出统计假 设 统计假设里的变量服从正态分布 2 N 确定一次试验中的取值a是否落入 范围 3 3 做出