陕西省汉中市宁强县天津高级中学2013届高三数学第三次月考试题 文 新人教A版

1 陕西省汉中市宁强县天津高级中学陕西省汉中市宁强县天津高级中学 20132013 届届高三 上 第三次月考高三 上 第三次月考 数学试卷 文科 数学试卷 文科 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合要求的 1 5 分 设集合 P 1 2 3 4 集合 Q 3 4 5 全集 U R 则集合 P CUQ A 1 2 B 3 4 C 1 D 2 1 0 1 2 考点 交 并 补集的混合运算 专题 计算题 分析 利用集合的补集的定义求得 CUQ 由除去 3 4 5 以外的实数形成 再由两个集合的 交集的定义求出 P CUQ 解答 解 CUQ 除去 3 4 5 以外的实数 P CUQ 1 2 3 4 除去 3 4 5 以外的实数 1 2 故选 A 点评 本题考查集合的表示方法 集合的混合运算 是一道基础题 2 5 分 i 是虚数单位 复数 A 1 iB 1 iC 1 iD i 考点 复数代数形式的乘除运算 专题 计算题 分析 复数的分子 分母同乘复数 i 即可化简复数为 a bi a b R 的形式即可 解答 解 故选 A 点评 本小题考查复数基本运算 考查计算能力 是基础题 3 5 分 函数 y 的定义域为 2 A x 0 x 1 B x 0 x 1 C x x 0 D x 0 x 2 考点 函数的定义域及其求法 专题 函数的性质及应用 分析 令 1 log2x 0 即可解出函数定义域 解答 解 由 1 log2x 0 解得 0 x 2 所以函数 y 的定义域为 x 0 x 2 故选 D 点评 本题考查函数的定义域及其求法 属基础题 难度不大 4 5 分 2012 宿州三模 函数的一个零点落在下列哪个区间 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 考点 函数零点的判定定理 专题 计算题 分析 根据函数的实根存在定理 要验证函数的零点的位置 只要求出函数在区间的两个 端点上的函数值 即可得到结论 解答 解 f 1 1 0 f 2 1 f 1 f 2 0 根据函数的实根存在定理得到函数的一个零点落在 1 2 上 故选 B 点评 本题主要考查函数零点的判定定理 解题的关键是计算区间的两个端点的函数值 属于基础题 5 5 分 已知向量 1 2 x 4 若向量 则 x A 2B 2C 8D 8 考点 平面向量共线 平行 的坐标表示 3 专题 计算题 分析 根据 向量 1 2 x 4 向量 得到 4 2x 0 求出 x 的值 解答 解 向量 1 2 x 4 向量 则 4 2x 0 x 2 故选 A 点评 本题考查两个向量共线的性质 两个向量坐标形式的运算 得到 4 2x 0 是解题 的关键 6 5 分 等差数列 an 中 若 a2 a8 15 a5 则 a5等于 A 3B 4C 5D 6 考点 等差数列的性质 专题 计算题 分析 由 a2 a8 2a5 a2 a8 15 a5 能够导出 3a5 15 从而得到 a5的值 解答 解 a2 a8 2a5 由 a2 a8 15 a5 知 3a5 15 a5 5 故选 C 点评 本题考查等差数列的性质和应用 解题时要注意公式的灵活运用 7 5 分 下列命题错误的是 A 命题 若 m 0 则方程 x2 x m 0 有实数根 的逆否命题为真命题 B x 1 是 x2 3x 2 0 的充分不必要条件 C 若 p q 为假命题 则 p q 均可能为假命题 D 命题 p x R 使得 x2 x 1 0 的否定 p 为假命题 考点 命题的真假判断与应用 专题 综合题 分析 根据 m 0 时 0 二次方程必有两个不等的实数根 可判断 A 的真假 将 X 1 代入方程可验证条件的充分性 解方程后 根据方程有两根可验证命题的不 必要性 进而判断 B 的真假 根据复合命题的真值表 可得 p q 为假命题 则 p q 中存在至少一个假命题 进 4 而判断 C 的真假 根据二次函数的图象和性质 可以分析不等式 x2 x 1 0 恒不成立 进而判断 D 的 真假 解答 解 若 m 0 则 0 则方程 x2 x m 0 有实数根 为真命题 故其逆否命题也 为真 故 A 正确 x 1 时 x2 3x 2 0 成立 但 x2 3x 2 0 时 x 1 或 x 2 故 x 1 是 x2 3x 2 0 的充分不必要条件 即 B 正确 若 p q 为假命题 则 p q 中存在至少一个假命题 两个命题均可能为假命题 故 C 正确 命题 p x R 使得 x2 x 1 0 为假命题 故其否定 p 为真命题 故 D 错误 故选 D 点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用 其中熟练掌握相关基础知识点是解答 的关键 8 5 分 实数 x y 满足不等式组 那么目标函数 z 2x 4y 的最小值是 A 15B 6C 5D 2 考点 简单线性规划 3 专题 不等式的解法及应用 分析 根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域 再用角点法 求出 目标函数的最大值 解答 解 约束条件对应的平面区域如下图示 当直线 z 2x 4y 过 3 3 时 Z 取得最小值 6 故选 B 5 点评 本题考查的知识点是线性规划 正确画出可行域 判断目标函数的最优解是解题的 关键 9 5 分 2009 辽宁 已知偶函数 f x 在区间 0 单调增加 则满足 f 2x 1 的 x 取值范围是 A B C D 考点 奇偶性与单调性的综合 专题 压轴题 分析 本题考查的是函数的单调性和奇偶性的综合知识 并考查了如何解不等式 解答 解析 f x 是偶函数 故 f x f x f 2x 1 f 2x 1 即 f 2x 1 f 又 f x 在区间 0 单调增加 得 2x 1 解得 x 故选 A 点评 本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式 在这里要注意本题与下面这道题 的区别 已知函数 f x 在区间 0 单调增加 则满足 f 2x 1 的 x 取值范围是 10 5 分 2013 石景山区一模 若直角坐标平面内的两点 P Q 满足条件 P Q 都在函数 y f x 的图象上 P Q 关于原点对称 则称点对 P Q 是函数 y f x 的一对 友好点对 点对 P Q 与 Q P 看作同一对 友好点对 6 已知函数 f x 则此函数的 友好点对 有 A 0 对 B 1 对 C 2 对 D 3 对 考点 分段函数的解析式求法及其图象的作法 专题 压轴题 新定义 分析 根据题意 友好点对 可知 欲求 f x 的 友好点对 只须作出函数 y x2 4x x 0 的图象关于原点对称的图象 看它与函数 f x log2x x 0 交点个数即可 解答 解 根据题意 当 x 0 时 x 0 则 f x x 2 4 x x2 4x 可知 若函数为奇函数 可有 f x x2 4x 则函数 y x2 4x x 0 的图象关于原点对称的函数是 y x2 4x 由题意知 作出函数 y x2 4x x 0 的图象 看它与函数 f x log2x x 0 交点个数即可得到友好点对的个数 如图 观察图象可得 它们的交点个数是 2 即 f x 的 友好点对 有 2 个 故答案选 C 点评 本题主要考查了奇偶函数图象的对称性 以及数形结合的思想 解答的关键在于对 友好点对 的正确理解 合理地利用图象法解决 7 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 把答案填在答题卡上 一 必做 题 11 14 题 考生必做题 11 5 分 在 ABC 中 A B C 1 2 3 则 a b c 1 2 考点 正弦定理 专题 计算题 分析 由三角形三内角之比及内角和定理求出三内角的度数 然后根据正弦定理得到 a b c sinA sinB sinC 由求出的 A B C 的度数求出 sinA sinB 及 sinC 的 值得到所求式子的比值 解答 解 由 A B C 1 2 3 得到 A 30 B 60 C 90 根据正弦定理得 即 a b c sinA sinB sinC 1 1 2 故答案为 1 2 点评 此题考查学生灵活运用正弦定理及特殊角的三角函数值化简求值 掌握比例的性质 及三角形的内角和定理的运用 是一道基础题 12 5 分 已知 sin 0 则 tan 2 考点 运用诱导公式化简求值 同角三角函数间的基本关系 专题 计算题 三角函数的求值 分析 由 0 sin 利用诱导公式可求得 cos 从而可求得 sin 与 tan 解答 解 sin cos sin cos 又 0 sin tan 2 故答案为 2 点评 本题考查运用诱导公式化简求值 考查同角三角函数间的基本关系 属于中档题 8 13 5 分 2007 上海 已知 x y R 且 x 4y 1 则 x y 的最大值为 考点 基本不等式 专题 计算题 分析 变形为 x 与 4y 的乘积 利用 基本不等式求最大值 解答 解 当且仅当 x 4y 时取等号 故应填 点评 考查利用基本不等式求最值 此为和定积最大型 14 5 分 数列 an 的通项公式 则该数列的前 99 项之和等于 9 考点 数列的求和 专题 计算题 点列 递归数列与数学归纳法 分析 将数列通项化简 利用叠加法 即可求得结论 解答 解 Sn a1 a2 an 令 则 n 99 故答案为 99 点评 本题考查数列的求和 考查学生的计算能力 属于基础题 15 5 分 A 若关于 x 的不等式 x 1 x 3 a 恒成立 则实数 a 的取值范围是 a 4 B 如图 AB 是 O 的直径 P 是 AB 延长线上的一点 过 P 作 O 的切线 切点为 C PC 2 若 CAP 30 则 O 的直径 AB 4 C 已知直线的极坐标方程为 sin 则极点到这条直线的距离是 9 考点 简单曲线的极坐标方程 与圆有关的比例线段 绝对值不等式的解法 专题 选作题 不等式的解法及应用 直线与圆 分析 A 利用不等式 x m x n m n 即可求出 a 的取值范围 B 连接 OC 利用切线的性质及直接三角形中的边角关系即可求出半径 OC C 先将直线的极坐标方程化为普通方程 再利用点到直线的距离公式即可 解答 解 A 关于 x 的不等式 x 1 x 3 a 恒成立 x 1 x 3 min a 而 x 1 x 3 x 1 x 3 4 实数 a 的取值范围是 a 4 故答案为 a 4 B 由题意作出图形 连接 OC PC 是圆 O 的切线 OC PC OCP 90 CAO 30 OC OA COP 60 CPO 30 在 Rt OCP 中 OC tan30 2 直径 AB 4 故答案为 4 C 直线的极坐标方程为 sin 则展开为 化为普通方程 x y 1 0 则极点即原点到这条直线的距离 d 故答案为 点评 正确理解不等式 x m x n m n 切线的性质 点到直线的距离公式是解题的 关键 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 12 分 设递增等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a3 1 a4是 a3和 a7的等比中项 I 求数列 an 的通项公式 II 求数列 an 的前 n 项和 Sn 10 考点 等差数列的前 n 项和 等差数列的通项公式 专题 计算题 分析 I 在递增等差数列 an 中 由 解得 由此能求出 an II 在等差数列中 由 能求出数列 an 的前 n 项和 Sn 解答 解 I 在递增等差数列 an 中 设公差为 d 0 解得 5 分 an 3 n 1 2 2n 5 II 由 I 知 在等差数列中 故 10 分 点评 本题考查等差数列的性质和应用 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 注意 合理地进行等价转化 17 12 分 已知 设函数 f x x R 1 求 f x 的最小正周期及单调递增区间 2 当 x时 求 f x 的值域 考点 平面向量数量积的运算 两角和与差的正弦函数 正弦函数的单调性 专题 三角函数的图像与性质 11 分析 1 将函数化简为单一函数 f x sin 2x 然后运用周期公式得到结论 2 由 1 知 f x sin 2x 结合定义域求解得到 x 2x 根据函数图象得到结论 解答 解 1 f x sin 2x f x 的最 小正周期为 由得 k Z 解得 故 f x 的单调增区间为 k Z 2 由 1 知 f x sin 2x 又当 x 2x 故 从而 f x 的值域为 0 点评 本试题主要是考查了两个向量的数量积公式 正弦函数的周期性 单调性 定义域 和值域 属于中档题 18 12 分 2012 菏泽一模 如图 正三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 2 AA1 3 D 为 C1B 的 中点 P 为 AB 边上的动点 当点 P 为 AB 的中点时 证明 DP 平面 ACC1A1 若 AP 3PB 求三棱锥 B CDP 的体积 考点 直线与平面平行的判定 棱柱 棱锥 棱台的体积 分析 I 连接 DP AC1 在 ABC1中根据中位线定理 得 DP AC1 结合线面平行的判定 定理 得 DP 平面 ACC1A1 II 过点 D 作 DE BC 于 E 结合 DE CC1且 DE CC1 得三棱锥 B CDP 的高 12 DE 结合 BCP 的面积和锥体体积公式 可算出三棱锥 B CDP 的体积 解答 解 I 连接 DP AC1 ABC1中 P D 分别为 AB BC1中点 DP AC1 AC1 平面 ACC1A1 DP 平面 ACC1A1 DP 平面 ACC1A1 II 由 AP 3PB 得 PB AB 过点 D 作 DE BC 于 E 则 DE CC1且 DE CC1又 CC1 平面 ABC DE 平面 BCP CC1 3 DE S BCP 2 sin60 三棱锥 B CDP 的体积 v 点评 本题在直三棱柱中证明线面平行 并求锥体的体积公式 着重考查了线面平行的判 定 线面垂直的性质和锥体体积公式等知识 属于中档题 19 12 分 2012 北京模拟 用红 黄 蓝三种不同颜色给下图中 3 个矩形随机涂色 每个矩形只涂一种颜色 求 1 3 个矩形颜色都相同的概率 2 3 个矩形颜色都不同的概率 考点 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题 计算题 分析 1 所有可能的基本事件共有 27 个 3 个矩形颜色都相同 可以为红 黄 蓝三种 颜色 共有 3 种情况 根据古典概型概率公式即可求得结果 2 3 个矩形颜色都不同共有 A33 6 种情况 根据古典概型概率公式即可求得结 果 解答 解 所有可能的基本事件共有 27 个 如图所示 1 记 3 个矩形都涂同一颜色 为事件 A 由图知 事件 A 的基本事件 有 1 3 3 个 故 P A 13 2 记 3 个矩形颜色都不同 为事件 B 由图可知 事件 B 的基本事件 有 2 3 6 个 故 P B 点评 本题考查分步计数的原理的运用 注意分析题意 认清是分类问题还是分步问 题 属基础题 20 13 分 2013 蓟县一模 已知椭圆的离心率为 其 中左焦点 F 2 0 1 求椭圆 C 的方程 2 若直线 y x m 与椭圆 C 交于不同的两点 A B 且线段 AB 的中点 M 在圆 x2 y2 1 上 求 m 的值 考点 圆与圆锥曲线的综合 专题 计算题 综合题 分析 1 由题意 得由此能够得到椭圆 C 的方程 2 设点 A B 的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 线段 AB 的中点为 M x0 y0 由消 y 得 3x2 4mx 2m2 8 0 再由根的判断式结合题设条件能够得到 m 的值 解答 解 1 由题意 得 解得 椭圆 C 的方程为 14 2 设点 A B 的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 线段 AB 的中点为 M x0 y0 由消 y 得 3x2 4mx 2m2 8 0 96 8m2 0 2 m 2 点 M x0 y0 在圆 x2 y2 1 上 点评 本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用 解题时要认真审题 注意挖掘题设中的隐含条件 21 14 分 已知 f x x R 1 当 a 1 时 求曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 2 若 f x 在区间