数学归纳法讲义-有答案.doc

7.4 数学归纳法的概念世纪教育一、新课引入：问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办?答案：枚举法问题2：在数列an中，a11，an+1（nN+），先计算a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式答案：a2，a3，a4由此得到：an（nN+） 二、新课讲授1、归纳法(1)概念：归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法。问题1中把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法，对于问题2，由于自然有无数个，用完全归纳法去推出结论就不可能，它是由前4项体现的规律，进行推测得出结论的，这种归纳法称为不完全归纳法. 数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种有效推理方法问题3：对于任意自然数n，比较7n-3与6（7n+9）的大小答案1：由于当n1，n2，n3，n4时，有7n-36（7n+9），所以得到对任意nN+，7n-36（7n+9） 答案2：由于当n8时，有7n-36（7n+9），而不是7n-36（7n+9），所以得到当n1，2，3，4，5时，7n-36（7n+9）； 当n6，7，8，时，7n-36（7n+9）总结：仔细地占有准确的材料，不能随便算几个数就作推测,推测也要有依据 大小关系n=196n=2138n=31180n=47222n=549306n=72401348 依据数据作推测，决不是乱猜要注意对数据作出谨慎地分析由上表可看到，当n依1，2，3，4，变动时，相应的7n-3的值以后一个是前一个的7倍的速度在增加，而6（7n+9）相应值的增长速度还不到2倍完全有理由确认，当n取较大值时，7n-36（7n+9）会成立的 21世纪教育网2、归纳与证明资料1：费马（Fermat）是17世纪法国著名数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的的创始者之一，他对数论也有许多贡献 但是，费马曾认为，当nN+时， +1一定都是质数，这是他对n0，1，2，3，4作了验证后得到的18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了+14 294 967 2976 700 417641，从而否定了费马的推测 资料2： f（n）n2+n+41,当nN+时，f（n）是否都为质数? f（0）=41,f（1）43,f（2）47,f（3）53,f（4）61, f（5）71,f（6）83,f（7）97,f（8）113,f（9）131, f（10）151， f（39）1 601 但f（40）1 681412是合数.问题4：不完全归纳法为什么会出错呢? 如何避免？答案：猜测后证明. 结合问题1来说，他首先确 定第一次拿出来的是白球 然后再构造一个命题予以证明命题的条件是：“设某一次拿出来的是白球”，结论是“下一次拿出来的也是白球” 这个命题不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而是研究若某一次是白球这个条件能保证下一次也是白球的逻辑必然性大家看，是否证明了上述两条，就使问题得到解决了呢?下面我们用数学语言描述下这种证明方法. 2、数学归纳法例如：多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条： （1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒； （2）第一张牌被推倒 用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法例如(问题2)：(1)当n1时，左式a11，右式1此时公式成立 (2)设nk时，公式成立，即ak以此为条件来证明nk+1时，公式也成立，即ak+1也成立 来源:21世纪教育网注意:这里是证明递推关系成立，证明ak+1成立时，必须用到ak这个条件依已知条件，ak+1 下面我们用数学语言描述下这种证明方法. （1）数学归纳法的概念：（i）证明当n取第一个值时命题成立；（ii）假设当时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.在完成了上面的两个步骤后，我们就可以断定这个命题对于从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.（2）反例用数学归纳法证明：（nN+）时，其中第二步采用下面证法： （ii）设nk时，等式成立，即，则当nk+1时， ，即nk+1时等式也成立 这是不正确的因为递推思想要求的不是nk，nk+1时命题到底成立不成立，而是nk时命题成立作为条件能否保证nk+1时命题成立这个结论正确，即要求的这种逻辑关系是否成立证明的主要部分应改为 4、例题举隅例1、用数学归纳法证明：.证明：（i）当n=1时，左边=右边=1，等式成立；（ii）假设当时，等式成立，即那么当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）（ii）可以断定，对任何都成立.例2、用数学归纳法证明证明：（i) 当n=1时，左边=右边=1，等式成立；（ii）假设当时，等式成立，即那么当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）（ii）可以断定，对任何都成立.小结：(1)由于证明当n=k+1等式成立时，需证明的结论形式是已知的，只要将原等式中的n换成k+1即得，因此学生在证明过程中，证明步骤必须完整，不能跳步骤；（2）有些等式证明题在证明当n=k+1正确时，需用恒等变形，技巧较高，对基础较差的学生来说完成很困难，这时可通过左、右边的多项式乘法来完成.例3、用数学归纳法证明：证明：（i）当n=1时，左边=右边=4，等式成立；（ii）假设当，等式成立，即那么当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）（ii）可以断定，对任何都成立.例4、用数学归纳法证明：证明：（i）当n=1时，左边=右边=-3，等式成立；(ii）假设当，等式成立，即那么当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）（ii）可以断定，对任何都成立.课堂练习1、用数学归纳法证明：（1）则从到时，左边要添加的项为 .A. B. C. D.（2）则从到时，右边要添加的项为 .A. B. C. D. 2、，那么 .3、 用数学归纳法证明不等式：由n=k递推到时，为“凑”不等式左边，可在不等式的两边同加 .4在用数学归纳法证明等式的第（2）步中，假设n=k时原等式成立，证明n=k+1时原等式成立。请写出n=k+1时需要证明的等式5用数学归纳法证明：以为首项，以为公比的等比数列的通项公式是 6、求证：能被6整除. 7、已知数列，设为该数列前项和，计算的值，根据计算结果猜测关于的表达式，并用数学归纳法加以证明.8分别计算2、2+4、2+4+6、2+4+6+8的值，根据计算结果猜测的表达式，并用数学归纳法加以证明。课后作业1 设，则2 已知An=(n+1)(n+2)(n+2n)，则与的关系为3 用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n135(2n-1) 时，假设n=k时成立，若证n=k+1时也成立，两边同乘4 用数学归纳法证明某题时，左式为，从n=k到n=k+1时，左边应增加的代数式为5 在用数学归纳法证明凸边形的对角线条时，第1步验证6 三个连续奇数的和一定能被整除7 设，则8，猜想 8 猜想：14+27+310+n(3n+1)= 10求证：11