九年级数学正切和余切人教版知识精讲

初三数学初三数学正切和余切正切和余切人教版人教版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 正切和余切 例题分析例题分析 一 填空 19035 tan若中 则 ABCCACABB 分析 分析 每一个锐角三角函数都可用两条边的比表示 那么要在已知中寻求所需的两条 边 为了使解题正确 有必要先画草图 便于问题的分析 A 3 5 C 4 B 解 解 ABCRtCACAB为 且 9035 根据勾股定理 BCABAC 2222 534 tanB AC BC 3 4 290 3 5 sincot在中 则Rt ABCCAA 分析 分析 本题类似第一题 但已知的是两边间的关系 也可以先求出第三边 再根据三 角函数定义 求出某个锐角的 4 个三角函数值 也有必要画草图 帮助分析 B 3k 5k C 4k A 解 解 sinABCkABk 3 5 35 设 由勾股定理 得 ACABBCkkk 2222 534 cotA AC BC k k 4 3 4 3 33430 2 tantan已知 则锐角AAA 分析 分析 意分析二把看作未知数 便是关于的二次方程 注tantantantanAAAA3430 2 次方程的两个解是否都适合 不要多解或漏解 解 解 原方程左边分解因式 化为 tan tan 3130AA tantanAA 3 3 3或 AA3060或 4 1 2 10 2 cos tan 在中 若 则度 ABCABC 分析 分析 两个非负数的和为 0 则这两个数必同时为 0 进一步求出 cosA 和 tanB 的值 再进而求出 A 与 B 的度数 根据三角形内角和是 180 从而求出 C 的度数 解 解 由题意 1 2 010 costanAB costanAB 1 2 1 AB6045 CAB180180604575 5 等腰三角形的两边分别为 3cm 和 6cm 则它底角的余切值是 分析 分析 借助画图形来帮助思考 首先要考虑哪个长度的边可做腰 哪条做底 由于三 角形两边之和大于第三边 而 3 3 6 所以 3cm 长的边只能做底 6cm 长的边做腰 如图 所示 A B D C 解 解 如图 中 ABCABACcmBCcm 63 过 作 垂足为AAD BCD DBCBDBCcm为中点 1 2 3 2 ABcm 6 ADABBD 2222 6 3 2 3 15 2 tanB BD AD 3 2 3 15 2 15 15 二 计算题 求下列各式的值 1 33045245260 tancottansin 解 解 原式 3 3 3 1212 3 2 2 31 说明 说明 涉及到特殊角三角函数值的计算问题 只要把特殊角的三角函数值代入即可 但注意不要记混 260245256536021080 2222 tancossinsincottantan 解 解 原式 sincos tancot32 2 2 25253 3 3 21010 2222 32112 3 说明 说明 当所给的角是非特殊角时 要灵活运用同角三角函数关系进行化简 其中要记 住两个 1 即sincostancot 22 11 3 360 1 2 3045 46024530 2 sincoscot cossintan 解 解 原式 3 3 2 1 2 3 2 1 4 1 2 2 2 2 3 3 2 3 2 3 4 1 3 3 63 4 3 33 63 33 8 219 3 8 说明 说明 本题要特别注意计算方面的问题 比如繁分式的化简及分母有理化 44347434347 sincoscotsinsin 解 解 原式 sinsin cos sin sincos4343 43 43 4343 sincos 22 4343 1 说明 说明 角的函数互互余角的三角函数的关系 是互余的两个sincos tancot 9090 相转化的途径 所以在解题时注意观察角与角之间的相互关系 是十分重要的 另外 利用把三角函数统一于和 便于约分化简 cot cos sin sincos 三 化简下列各式 121 090 2 tantan 解 解 原式 tan tan 11 2 当时 即4590451 tantantan 原式tan 1 当时 即045451 tantantan 原式1tan 综上所述 tantan tan tan 2 21 1 4590 1045 说明 说明 化简形如的式子时 应考虑首先转化为形如的式子 ma2 225252 22 tancot tantancotcot 22 252252525 tancot 2525 2 tancot 2525 cottan2525 说明 说明 公式 tan cot 1 是常数向三角函数或三角函数向常数转化的工具 要掌握这 种变形 四 解答题 1 在平行四边形 ABCD 中 AE BC 于 E 平行四边形 ABCD 的周长为 16cm 面积为 9cm2 AD 6cm 求 cotB 的值 分析 分析 如下图所示 要确定 cotB 的值 必须先求出其邻边 BE 和对边 AE 在已知中 给出平行四边形的面积 在知 BC 的前提下 可以求高 AE 而 BC AB 可以通过已知求 解 A D B E C 解 解 ABCDADBCcm为平行四边形 6 平行四边形的周长为ABCDcm16 A 周长2 2 1626 2 2 AD cm AE BCES9cm ABCD 2 于 平行四边形 9 99 6 3 2 AE BCAE BC 在中 Rt ABEBEABAE 2222 2 3 2 7 2 cot B BE AE 7 2 2 3 7 3 2 在梯形 ABCD 中 AD BC AD 2 BC 6 梯形的高 AE 2 AB DC 求 tanB 分析 分析 此题只需求出 BE 即可 A D B E F C 解 解 过 D 作 DF BC 于 F AE BCEAEBDFB 于 90 AEDFADBC 又 AEDFEFAD22 ABCDBC AEBDFCABDC ABEDCF BEFC BCEF 2 2 tanB AE BE 2 2 1 3151484 1 2 tan sin 在中 求的值 求的值 A BCABBCS C A ABC 分析 分析 为了求 tanC sinA 的值 就要分别构造出以 C A 为内角的直角三角形 构造直角三角形是利用锐角三角函数解题的基本手段 解 解 1 过 A 点作 AE BC 于 E ADB E C 则 1 2 BC AES ABC 1 2 1484 12 AE AE 则BEABAE 2222 15129 CEBCBE1495 tanC AE CE 12 5 由 知 21512CEAE ACAECE 2222 12513 过 C 点作 CD AB 于 D 由 1 2 ABCDS ABC 得 1 2 1584 56 5 CDCD sinA CD AC 56 5 13 56 65 4 ABC 中 C 90 BAC 30 ABD 中 ABD 90 DAB 45 如图所示 求 tan15 的值和 sin75 的值 A D C B 分析 分析 易知 DAC 75 若求 sin75 的值只需作出含 75 角的直角三角形 再由 边的比求出 若边的长度是未知数 就可设某边长为 1 再加以计算 这是因为三角函数 值是边与边的比值 而与边的长度无关 解 解 作于 再作于DE ACEBF DEF D F B AEC 设 是矩形BCECBF 1 EFBC1 在中 ABCCBAC 9030 AB2 又在中 Rt ABDABDDAB 9045 BDAB2 又和是等角的余角 BDFBAC BDFBAC30 BF1 DFBDBF 222 213 DEDFFE31 ACABBC 222 213 又 ECBFEACEC 131A ADABBD 22 442 2 tantan15 31 31 23ADE AE DE sinsin75 31 2 2 62 4 DAE DE DA 模拟试题模拟试题 一 填空 1 若 且090 Acot cot905 AA 则 2 若 为锐角 则 tantan601 sin 3 tantantantantan1020457080 4 化简tantan 2 404404 5 若三角形三边长的比为 5 12 13 则此三角形最小内角的余切值为 二 选择题 1 下列等式中 错误的是 A B sin sin 32 732 100 coscos 4141 10 C D tantan47460 cotcot80700 2 已知 那么锐角的取值范围是 cot 16 A B 3090 030 C D 6090 3045 3 若 则的值是 2320 2 sinsin sin A B C D 2 1 2 2 1 2 或 1 2 4 在中 等于 ABCtan AB 2 A 1B C D cot AB 2 cot C 2 tan C 2 5 下列说法正确的是 A tantantan306090 B 所有的锐角三角函数都是正数 C 在中 Rt ABC tansincosAAA D 所有锐角三角函数值都不大于 1 三 计算 1 24560603045sinsintansincot 2 260 1 24530 sin tancot 3 26033030360 22 sintancoscot 4 tan tan 0575215 2020 四 如图 在中 求的值 ABC Ca b903 cotcotAB A C B 五 在中 于 A 交 BC 于 D BC 32 求 ABCABACAD AC 20 tan ADC A BDC 六 在中 于 D 点 求 ABC BACADC90 BDCD 62 sintanBC A BD C 试题答案试题答案 一 填空 1 2 3 14 5 1 5 1 2 240 tan 12 5 二 选择题 1 D2 D3 B4 C5 B 三 计算题 1 02 23 4 1 1 4 四 解 解 a bakbk 33 设 cotA b a k k3 3 3 cot B a b k k 3 3 五 解 解 过 作于AAE BCE A BDC