八年级数学下：2.2一元二次方程的解法教案浙教版

用心 爱心 专心 2 22 2 一元二次方程的解法 一 一元二次方程的解法 一 教学目标 1 理解开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义 2 会用开平方法解一元二次方程 3 理解配方法 4 会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程 教学重点与难点 教学重点 开平方法 教学难点 配方法有一个比较复杂的过程 无论从理解和运用上 对学生来说都有一定的难度 教学手段 用多媒体 powerpoint 和黑板的形式 教学过程 一 引入新课 问题 1 在修建甬 宁波 金 金华 高速公路时 遇到高山 需要开掘隧道 为了预计这座山隧道 的长度 工程人员测量了山的高度约 AB 3 千米 坡面的长度约 AC 5 千米 请你估算开掘这座山的隧 道约有多少千米 从甬金高速公路入手引出 型的一元二次方程 体现方程与几何图形性质的应用 对一 元二次方程概念的理解 方程根的检验等起着复习巩固的作用 二 由问题 1 可得 即 再利用因式分解法得出方程的根 如果把 变形为 进而可以理解为 x 是 16 的平方根 引出求这种方程的根可 以用两边直接开方的方法进行 再得出开平方法的概念 通过让学生观察体会得出开平方法的两个特征 1 它适合于什么样的方程 左边是一个关于 x 的完全平方 右边为一个非负常数即 2 用什么样的方法来解 方程的两边直接 开平方的方法 然后通过一系列 连续的例题来巩固用开平方法解一元二次方程 既突出本节课的重点 又比较 自然的过渡到用配方法解一元二次方程 例 1 1 ax 2 0 a 0273 2 x 02 2 1 2 x 222 53 x016 2 x 16 2 x016 2 x ax 2 用心 爱心 专心 2 3 4 通过第 4 个例题的讲解学生已经了解到 如果左边不是一个直接的完全平方 那么通过观察 变 形 把它配成完全平方 就可以用开平方法来解一元二次方程 三 问题 2 把方程变形 左边是一个含有 x 的式子的完全平方 而右边是一个非负数 1 先移项 含有未知数的项移到左边 含有常数的项移到右边 2 方程两边同加上一个合适的数 3 左边是一个完全平方 右边是一个非负常数 4 最后用开平方法来解 即可引出配方法的概念 像这样 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式 右边为一个非负 常数 然后用开平方法求解 这种解一元二次方程的方法叫做配方法 然后让学生回答 用配方法解一元二次方程关键在哪里 就是如何在方程左 右两边同加上一个合适 的数使左边配成一个完全平方 为了弄清楚在方程的左右两边究竟应加上一个什么样的合适的数 可以通过专门的 3 个练习来得 出 即突破本节课的难点 1 2 3 最后让学生得出结论 1 加上一次项系数一半的平方 2 前提条件 二次项系数为 1 例 2 1 732 2 x 412 2 xx 032 2 xx 2 2 6 xxx 2 2 3 4 xxx 16 2 xx 2 2 5 xxx 用心 爱心 专心 2 再次总结 形如 二次项系数为 1 时 可以用配方法来解一元二次方程 具体的步骤有 第一 移项 第二 等式两边同加上一次项系数一半的平方 第三 再用开平方法来解方程 四 提出挑战题 当二次项系数不是 1 时 怎么办 为下节课的教学打下了基础 例 3 043 2 xx 一 课堂小结 让学生回答 1 用开平方法 配方法解一元二次方程的概念 2 用这两种方法解方程时 方程的 特点 3 用这两种方法解方程时的步骤 4 让学生回答在解方程过程中应注意的事项 六 布置作业 2 22 2 一元二次方程和解法 二 一元二次方程和解法 二 教学目标 1 巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤 2 会用配方法解二次项系数的绝对值不为 1 的一元二次方程 教学重点与难点 教学重点 用配方法解二次项的系数的绝对值不是 1 的一元二次方程 教学难点 当二次项系数为小数或分数时 用配方法解一元二次方程 教学过程 一 复习旧知 xx56 2 0 2 cbxx 0123 2 xx 22 2 22 b c b bxx 4 4 2 2 2 bcb x cbxx 2 用心 爱心 专心 用适当的方法解下列方程 1 x 2 2 3 2 x2 3x 1 0 请学生上来板演 老师点评归纳 二 新课讲授 1 出示引例 用配方法解方程 5x2 10 x 1 提出问题 当一元二次方程的二次项系数的绝对值不是 1 时 怎样用配方法来解 经学生讨论后 指定一名学生 中等程度 回答 教师总结 对于二次项系数的绝对值不是 1 的一元二次方程 只要将方程的两边都除以二次项系 数 就转化为我们已经能解决的问题 即用配方法解二次项系数是 1 的一元二次方程 2 讲解例题 例 3 用配方法解下列一元二次方程 1 2x2 4x 3 0 2 3x2 8x 3 0 评注 1 本例讲解可由上一课时的复习来引入 先给出方程 x2 2x 1 0 让学生解答 并板书 过程 同时解答方程 3x2 6x 3 0 让学生作比较 学生容易发现 两个方程同解 再把 6x 改成 4x 并提出问题 方程 3x2 4x 3 0 又应该如何解 从而把问题化归 2 本例中两个小题的解法是相通的 在讲解时 需要让学生明确配上去的值到底应该是多少 即解决的一半是多少这一问题 常用的解决方法是把该数乘以 3 4 3 8 2 1 教师总结 1 用配方法解系数为 1 的一元二次方程 x2 px q 0 时 一般步骤为 1 x2 px q 移 2 x2 px 2 q 2 配 2 p 2 p 3 x 2 化 2 p 4 4 2 qp 4 解得 x 解 2 p 4 4 2 qp 用心 爱心 专心 2 当二次项系数不为 1 时 则在 移 之前先要有个 除 即两边同除以二次项系数 使二次项 系数为 1 练习 用配方法解下列方程 1 2x2 7x 5 0 2 3n 1 2 1 nn 3 x2 x 0 2 3 3 2 6 1 练习 一个长方形牧场的面积为 8100 平方米 长比宽多 19 米 这个牧场的周长是多少米 三 小结 1 本课时的重点用配方法解答各种一元二次方程 2 本课时的难点是对二次项系数的处理 四 布置作业 课本 作业本 及习题精选中对应的练习 2 22 2 一元二次方程的解法 三 一元二次方程的解法 三 教学目标 知识教学点 理解一元二次方程求根公式的推导 会运用公式法解一元二次方程 能力训练点 1 通过求根公式的推导 培养学生数学推理的严密性及严谨性 2 培养学生快速而准确的计算能力 德育渗透点 1 通过公式的引入 培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识 2 让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解 形成全面解决问题的积极 情感 感受公式的对称美 简洁美 产生热爱数学的情感 教学重点与难点 教学重点 求根公式的推导及用公式法解一元二次方程 教学难点 对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解 教学过程 一 复习引入 1 用配方法解下列方程 1 x2 7x 11 0 2 9x2 12x 14 用心 爱心 专心 通过两题练习 使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤 为本节课求根公式的推导 做第一次铺垫 2 用配方法解关于 x 的方程 x2 2px q 0 解 移项 得 x2 2px q 配方 得 x2 2px p2 q p2 即 x p 2 p2 q 教师板书 学生回答 此题为求根公式的推导做第二次铺垫 3 用配方法推导出一元二次 方程 ax2 bx c 0 a 0 的根 解 因为 a 0 所以方程的两边同除以 a a 0 4a2 0 当 b2 4ac 0 时 从上面的结论可以发现 1 一元二次方程 a2 bx c 0 a 0 的根是由一元二次方程的系数 a b c 确定的 2 在解一元二次方程时 可先把方程化为一般形式 然后在 b2 4ac 0 的前提下 把 a b c 的值代入上式中 可求得方程的两个根 的求根公式 用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法 用心 爱心 专心 二 师生互动 应用新知 互动 1 师 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的求根公式中 要求 b2 4ac 0 那么 b2 4ac 0 时会怎 样呢 生 当 b2 4ac 0 时 没有意义 此时一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 无实数解 2 4bac 明确 b2 4ac 0 是公式的一个重要组成部分 是求根公式成立的前提条件 这一点是解一元二 次方程的一个隐藏条件 当 b2 4ac 0 时 此方程无解 也是判断一元二次方程无解的一个前提条 件 互动 2 例 1用公式法解一元二次方程 x2 3x 2 0 解 a 1 b 3 c 2 又 b2 4ac 3 2 4 1 2 1 0 x1 2 x2 1 在教师的引导下 学生回答 教师板书 提醒学生一定要先 代 后 算 不要边代边算 引 导学生总结步骤 1 确定 a b c 的值 2 算出 b2 4ac 的值 3 代入求根公式求出方程的根 例 2 不是一般形式 所以在利用公式法之前应先化成一般形式 另外注意例 2 中的 b2 4ac 0 方程有两个相同的实数根 应写成 x1 例 3 用公式法解一元二次方程 用心 爱心 专心 1 X x 1 X 2 2 2 x2 x 1 0 1 2 其中第一题要先化简成一般形式 如系数是分数或小数 可以直接代公式 也可以先把系数化成整系 数后再代公式 视实际清况而定 第二题 b2 4ac 0 方程无实数根 明确 运用公式法解一元二次方程的步骤 1 把方程化为一般形式 确定 a b c 的值 2 求出 b2 4ac 的值 3 若 b2 4ac 0 把 a b c 及 b2 4ac 的值代入一元二次方程的求根公式 求出方程的根 若 b2 4ac 0 此时方程无解 练习 P 35 课内练习 1 熟悉公式法的步骤 训练快速准确的计算能力 互动 3 请同学们根据学习体会 小结一下解一元二次方程的几种方法 通常你是如何选择的 请同学们 交流 教师鼓励发言 明确 解一元二次方程一般有以下四种方法 直接开平方法 因式分解法 配方法 求根公式 法 1 当方程形如 x a 2 b b 0 时 可用直接开平方法 2 当方程左边可以直接简单因 式分解时 可选用因式分解法 3 配方法是一种重要的解法 尤其要熟悉配方法的整个过程 但 解一般方程不选用这种解法 4 公式法是一元二次方程最重要的 最常用的解法 任何一元二次 方程都可以选用这种解法 我们有时也称它为万能公式 练习 P 35 课内练习 2 合理选择解法 三 达标反馈 深化新知 1 用公式法解方程 4x2 12x 3 0 得到 A A x B x C x D x 36 2 36 2 32 3 2 32 3 2 2 关于 x 的一元二次方程 x2 2x 2 K 0 有两个实数根 则 k 的取值