反比例函数 (2)

反比例函数 教学目标 1 理解反比例函数的概念 能判断两个变量之间的关系是否是函数关系 进而识别其 中的反比例函数 2 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式 3 能判断一个给定函数是否为反比例函数 通过探索现实生活中数量间的反比例关系 体会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型 进一步理解常量 与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点 教学重点 反比例函数的概念 教学难点 反比例函数的概念 学生理解时有一定的难度 教学过程 知识回顾 什么是函数 一次函数 正比例函数 一 创设情景 探究问题 情境 1 当路程一定时 速度与时间成什么关系 vt s 当一个长方形面积一定时 长与宽成什么关系 说明 这个情境是学生熟悉的例子 当中的关系式学生都列得出来 鼓励学生积极 思考 讨论 合作 交流 最终让学生讨论出 当两个量的积是一个定值时 这两个量成 反比例关系 如 xy m m 为一个定值 则 x 与 y 成反比例 小学知识 这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫 情境 2 汽车从南京出发开往上海 全程约 300km 全程所用时间 t h 随速度 v km h 的 变化而变化 问题 1 你能用含有 v 的代数式表示 t 吗 2 利用 1 的关系式完成下表 随着速度的变化 全程所用时间发生怎样的变化 v km h 608090100120 t h 3 速度 v 是时间 t 的函数吗 为什么 说明 1 引导学生观察 讨论路程 速度 时间这三个量之间的关系 得出关系 式 s vt 指导学生用这个关系式的变式来完成问题 1 2 引导学生观察 讨论 并运用 1 中的关系式填表 并观察变化的趋势 引导 学生用语言描述 3 结合函数的概念 特别强调唯一性 引导讨论问题 3 情境 3 用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系 1 一个面积为 6400m2 的长方形的长 a m 随宽 b m 的变化而变化 2 某银行为资助某社会福利厂 提供了 20 万元的无息贷款 该厂的平均年还款额 y 万元 随还款年限 x 年 的变化而变化 3 游泳池的容积为 5000m3 向池内注水 注满水所需时间 t h 随注水速度 v m3 h 的变化而变化 4 实数 m 与 n 的积为 200 m 随 n 的变化而变化 问题 1 这些函数关系式与我们以前学习的一次函数 正比例函数关系式有什么不同 2 它们有一些什么特征 3 你能归纳出反比例函数的概念吗 一般地 如果两个变量 y 与 x 的关系可以表示成 y kx k 为常数 k 0 的形式 那么 称 y 是 x 的反比例函数 其中 x 是自变量 y 是因变量 y 是 x 的函数 k 是比例系数 有的书上写成 y kx 1 的形式 反比例函数的自变量 x 的取值范围是所有非零实数 不等于 0 的一切实数 为什么 但在实际问题中 还要根据具体情况来进一步确定该反比例函数的自变量的取值范围 说明 这个情境先引导学生审题列出函数关系式 使之与我们以前所学的一次函数 正比例函数的关系式进行类比 找出不同点 进而发现特征为 1 自变量 x 位于分母 且 其次数是 1 2 常量 k 0 3 自变量 x 的取值范围是 x 0 的一切实数 4 函数值 y 的取值范 围是非零实数 并引导归纳出反比例函数的概念 紧抓概念中的关键词 使学生对知识认知 有系统性 完整性 并在概念揭示后强调反比例函数也可表示为 y kx 1 k 为常数 k 0 的 形式 并结合旧知验证其正确性 二 例题教学 例 1 下列关系式中的 y 是 x 的反比例函数吗 如果是 比例系数 k 是多少 1 y x15 2 y 2x 1 3 y 3x 4 y 1x 3 5 y 2 1x 6 y x3 2 7 y 12x 说明 这个例题作了一些变动 引导学生充分讨论 把函数关系式如何化成 y kx 或 y kx b 的形式了解函数关系式的变形 知道函数关系式中比例系数的值连同前面的符 号 会与一次函数的关系式进行比较 若对反比例函数的定义理解不深刻 常会认为 2 与 4 也是反比例函数 而 2 式等号右边的分母是 x 1 不是 x 2 式 y 与 x 1 成 反比例 它不是 y 与 x 的反比例函数 对于 4 等号右边不能化成 kx 的形式 它只能 转化为 1 3xx 的形式 此时分子已不是常数 所以 4 不是反比例函数 而 7 中右边 分母为 2x 看上去和 2 类似 但它可以化成 12x 即 k 12 所以 7 是反比 例函数 通过这个例题使学生进一步认识反比例函数概念的本质 提高辨别的能力 例 2 在函数 y 2x 1 y 2x 1 y x 1 y 12x 中 y 是 x 的反比例函数的有 个 说明 这个例题也是引导学生从反比例函数概念入手 着重从形式上进行比较 识 别一些反比例函数的变式 如 y kx 1 的形式 还有 y 2x 1 通分为 y 2 xx y x 都 是变量 分子不是常量 故不是反比例函数 但变为 y 1 2x 可说成 y 1 与 x 成反 比例 例 3 若 y 与 x 成反比例 且 x 3 时 y 7 则 y 与 x 的函数关系式为 说明 这个例题引导学生观察 讨论 并回顾以前求一次函数关系式时所用的方法 初步感知用 待定系数法 来求比例系数 并引导学生归纳求反比例函数关系式的一般方 法 即只需已知一组对应值即可求比例系数 三 拓展练习 1 写出下列问题中两个变量之间的函数关系式 并判断其是否为反比例函数 如果是 指出比例系数 k 的值 1 底边为 5cm 的三角形的面积 y cm2 随底边上的高 x cm 的变化而变化 2 某村有耕地面积 200ha 人均占有耕地面积 y ha 随人口数量 x 人 的变化 而变化 2 下列哪些关系式中的 y 是 x 的反比例函数 如果是 比例系数是多少 1 y 23 x 2 y 23x 3 xy 2 0 4 xy 0 5 x 23y 3 已知函数 y m