2011届高三数学一轮复习 直线与圆、圆与圆的位置关系巩固与练习

巩固巩固 1 已知圆的方程是x2 y2 1 则在y轴上截距为的切线方程为 2 A y x B y x 22 C y x 或y x D x 1 或y x 222 解析 选 C 在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线 故设切线方程为 2 y kx 则 1 k 1 故所求切线方程为y x 或y x 选 C 2 2 k2 122 2 直线l与圆x2 y2 2x 4y a 0 a 3 相交于A B两点 若弦AB的中点C为 2 3 则直线l的方程为 A x y 5 0 B x y 1 0 C x y 5 0 D x y 3 0 解析 选 A 由圆的一般方程可得圆心O 1 2 由圆的性质易知O 1 2 C 2 3 的 连线与弦AB垂直 故有kABkOC 1 kAB 1 故直线AB的方程为 y 3 x 2 整理得 x y 5 0 3 原创题 直线 2x y 0 与圆C x 2 2 y 1 2 9 相交于A B两点 则 ABC C为圆心 的面积等于 A 2 B 2 53 C 4 D 4 35 解析 选 A 圆C的圆心C 2 1 半径r 3 C到直线 2x y 0 的距离d 4 1 55 AB 2 4 S ABC 4 2 9 5 1 255 4 2009 年高考全国卷 已知圆O x2 y2 5 和点A 1 2 则过A且与圆O相切的 直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 解析 因为点A 1 2 在圆x2 y2 5 上 故过点A的圆的切线方程为x 2y 5 令x 0 得y 令y 0 得x 5 5 2 故S 5 1 2 5 2 25 4 答案 25 4 5 已知直线ax by c 0 与圆O x2 y2 1 相交于A B两点 且 AB 3 则 OA OB 解析 如图 作OC AB于C AB 在 Rt OAC中 3 AC OA 1 所以 AOC 60 则 AOB 120 所以 3 2 1 1 cos 120 OA OB 1 2 答案 1 2 6 已知圆x2 y2 4x 10y 4 0 1 证明点B 1 1 在圆上 并求出过点B的圆的切线 方程 2 证明点C 1 0 在圆外 并求出过点C的圆的切线方程 解 1 因为 12 1 2 4 1 10 1 4 0 所以点B 1 1 在圆上 设圆心为M 所以kBM 所以过点B 1 1 的圆的切线方程为 1 5 1 2 4 3 y 1 x 1 所以 3x 4y 1 0 3 4 2 因为 CM 5 r r为已知圆的半径 所以点C 1 0 在圆 1 2 2 5234 外 设过点C与圆M相切的直线的方程为y k x 1 显然斜率存在 即kx y k 0 因为圆与直线相切 所以半径 5 所以k 0 或k 2k 5 k 1 k2 15 8 所以切线方程为y 0 或 15x 8y 15 0 练习 1 若直线 1 与圆x2 y2 1 有公共点 则 x a y b A a2 b2 1 B a2 b2 1 C 1 D 1 1 a2 1 b2 1 a2 1 b2 解析 选 D 由题意知直线与圆相交或相切 故有 1 1 故选 D 1 1 a2 1 b2 1 a2 1 b2 2 过点 0 1 的直线与圆x2 y2 4 相交于A B两点 则 AB 的最小值为 A 2 B 2 3 C 3 D 2 5 解析 选 B 据由弦长一半及圆的半径和圆心到直线的距离所组成的直角三角形可知 当圆心到直线距离最大时 弦长最短 易知当圆心与定点G 0 1 的连线与直线AB垂直时 圆心到直线AB的距离取得最大值 即d OG 1 此时弦长最短 即 AB 2R2 d2 AB 2 故选 B 4 13 3 已知圆C的半径为 2 圆心在x轴的正半轴上 直线 3x 4y 4 0 与圆C相切 则圆C的方程为 A x2 y2 2x 3 0 B x2 y2 4x 0 C x2 y2 2x 3 0 D x2 y2 4x 0 解析 选 D 设圆心为 a 0 且a 0 则 a 0 到直线 3x 4y 4 0 的距离为 2 即 2 3a 4 10 a 2 或a 舍去 则圆的方程为 x 2 3 a 4 0 4 32 42 14 3 2 y 0 2 22 即x2 y2 4x 0 4 设O为坐标原点 C为圆 x 2 2 y2 3 的圆心 且圆上有一点M x y 满足 OM 0 则 CM y x A B 或 3 3 3 3 3 3 C D 或 333 解析 选 D 0 OM CM OM CM OM是圆的切线 设OM的方程为y kx 由 得k 即 2k k2 133 y x3 5 已知圆的方程为x2 y2 6x 8y 0 设该圆过点 3 5 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD 则四边形ABCD的面积为 A 10 B 20 66 C 30 D 40 66 解析 选 B 圆的标准方程为 x 3 2 y 4 2 52 由题意得 AC 2 5 10 BD 2 4 且AC BD 四边形ABCD的面积 52 126 S AC BD 10 4 20 故选 B 1 2 1 266 6 若圆 x 3 2 y 5 2 r2上有且只有两个点到直线 4x 3y 2 的距离等于 1 则 半径r的取值范围是 A 4 6 B 4 6 C 4 6 D 4 6 解析 选 A 圆心P 3 5 到直线 4x 3y 2 的距离等于 5 由 5 r 1 得 4 r 6 7 2009 年高考天津卷 若圆x2 y2 4 与圆x2 y2 2ay 6 0 a 0 的公共弦的长为 2 则a 3 解析 x2 y2 2ay 6 x2 y2 4 两式相减得y 1 a 联立Error 消去y得x2 a 0 4a2 1 a2 2 2 解得a 1 4a2 1 a3 答案 1 8 过点M 1 2 的直线l将圆A x 2 2 y2 9 分成两段弧 其中当劣弧最短时 直 线l的方程为 解析 当劣弧最短时 MA与直线l垂直 答案 x 2y 3 0 9 2009 年高考湖北卷 过原点O作圆x2 y2 6x 8y 20 0 的两条切线 设切点分 别为P Q 则线段PQ的长为 解析 圆x2 y2 6x 8y 20 0 可化为 x 3 2 y 4 2 5 圆心 3 4 到原点的距 离为 5 故 cos 5 5 cos PO1Q 2cos2 1 3 5 PQ 2 2 2 2 2 16 PQ 4 555 3 5 答案 4 10 已知圆C x2 y2 8y 12 0 直线l ax y 2a 0 1 当a为何值时 直线l与圆C相切 2 当直线l与圆C相交于A B两点 且AB 2时 求直线l的方程 2 解 将圆C的方程x2 y2 8y 12 0 配方得标准方程为x2 y 4 2 4 则此圆的圆 心为 0 4 半径为 2 1 若直线l与圆C相切 则有 2 解得a 4 2a a2 1 3 4 2 过圆心C作CD AB 则根据题意和圆的性质 得Error 解得a 7 或a 1 故所求直线方程为 7x y 14 0 或x y 2 0 11 已知圆C经过P 4 2 Q 1 3 两点 且在y轴上截得的线段长为 4 半径 3 小于 5 1 求直线PQ与圆C的方程 2 若直线l PQ 且l与圆C交于点A B AOB 90 求直线l的方程 解 1 直线PQ的方程为y 3 x 1 3 2 1 4 即x y 2 0 C在PQ的中垂线y 1 x 3 2 2 4 1 2 即y x 1 上 设C n n 1 则r2 CQ 2 n 1 2 n 4 2 由题意 有r2 2 2 n 2 3 n2 12 2n2 6n 17 n 1 或 5 r2 13 或 37 舍去 圆C为 x 1 2 y2 13 2 设直线l的方程为x y m 0 由Error 得 2x2 2m 2 x m2 12 0 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 1 m x1x2 m2 12 2 AOB 90 x1x2 y1y2 0 x1x2 x1 m x2 m 0 m2 m 12 0 m 3 或 4 均满足 0 l为x y 3 0 或x y 4 0 12 如右图 圆O1与圆O2的半径都是 1 O1O2 4 过动 点P分别作圆O1 圆O2的切线PM PN M N分别为切点 使 得PM PN 试建立适当的坐标系 并求动点P的轨迹方程 2 解 以O1O2的中点O为原点