反比例函数复习讲义

反比例函数复习讲义反比例函数复习讲义 知识点一 反比例函数的概念知识点一 反比例函数的概念 一般地 如果两个变量 x y 之间的关系可以表示成 k 为常数 的形 k y x 式 那么称 y 是 x 的反比例函数 注 注 1 反比例函数中的是一个分式 自变量 x 0 也可写成或 k y x k x k y x 1 ykx 其中 k 0 xyk 2 在反比例函数 k 0 中 x 的指数是 1 如 也写成 1 ykx 5 y x 1 5yx 3 在反比例函数 k 0 中要注意分母 x 的指数为 1 如就不是反 k y x 2 1 y x 比例函数 知识点二 反比例函数的图象知识点二 反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线 它有两个分支 这两个分支分别位于第一 0 k yk x 三象限或第二 四象限 它们关于原点对称 反比例函数的图象与 x 轴 y 轴都没有交点 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴 但永远不与坐标轴相交 注 注 1 观察反比例函数的图象可得 x 和 y 的值都不能为 0 并且图象既 0 k yk x 是轴对称图形 又是中心对称图形 它有两条对称轴 对称中心是坐标原点 2 用描点法画反比例函数 y 的图象时 应注意自变量 x 的取值不能为 0 一般 k x 应从 1 或 1 开始对称取点 3 在一个反比例函数图象上任取两点P Q 过点P Q分别作x轴 y轴的平行线 与两坐标轴分别围成的矩形面积为S1 S2 则S1 S2 知识点三 反比例函数的性质知识点三 反比例函数的性质 1 图象位置与函数性质 当 k 0 时 x y 同号 图象在第一 三象限 且在每个象限内 y 随 x 的增大而减 小 当 k 0 时 x y 异号 图象在第二 四象限 且在每个象限内 y 随 x 的增大而增 大 2 若点 a b 在反比例函数的图象上 则点 a b 也在此图象上 0 k yk x 故反比例函数的图象关于原点对称 3 正比例函数与反比例函数的性质比较 正比例函数反比例函数 解析式 图 像直线有两个分支组成的曲线 双曲线 位 置 k 0 一 三象限 k 0 二 四象限 k 0 一 三象限 k 0 二 四象限 增减性 k 0 y 随 x 的增大而增大 k 0 y 随 x 的增大而减小 k 0 在每个象限 y 随 x 的增大而减小 k 0 在每个象限 y 随 x 的增大而增大 4 反比例函数 y 中 k 的意义 k x 反比例函数 y k 0 中比例系数 k 的几何意义 即过双曲线 y k 0 上 k x k x 任意一点引 x 轴 y 轴垂线 所得矩形面积为 k 知识点四 反比例函数解析式的确定知识点四 反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法 由于在反比例函数关系式 中 只有一个待定系数 k 确定了 k 的值 也就确定了反比例函数 因此只 0 k yk x 需给出一组 x y 的对应值或图象上点的坐标 代入中即可求出 k 的值 从 0 k yk x 而确定反比例函数的解析式 知识点五 应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点知识点五 应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点 1 反比例函数在现实世界中普遍存在 在应用反比例函数知识解决实际问题时 要注 意将实际问题转化为数学问题 2 针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系 3 列出函数关系式后 要注意自变量的取值范围 如 某三角形的面积是 2 时 底边长 y 与该底边上的高 x 之间的关系式是 4 0 yx x 规律方法指导规律方法指导 1 1 反比例函数的概念需注意的问题 反比例函数的概念需注意的问题 1 k 是常数 且 k 不为零 2 自变量 x 的取值范围是的一切实数 3 自变量 y 的取值范围是的一切实数 2 2 画反比例函数的图象时要注意的问题 画反比例函数的图象时要注意的问题 1 画反比例函数图象的方法是描点法 2 画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是 因此不能把两个分支连接起 来 3 由于在反比例函数中 x 和 y 的值都不能为 0 所以画出的双曲线的两个分支要分 别体现出无限的接近坐标轴 但永远不能达到 x 轴和 y 轴的变化趋势 3 3 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤 1 设所求的反比例函数为 k y x 2 根据已知条件 列出含 k 的方程 3 解出待定系数 k 的值 类型一 确定反比例函数的解析式类型一 确定反比例函数的解析式 例 1 已知函数 y m 1 x是反比例函数 则 m 的值为 举一反三 举一反三 变式变式 1 1 已知 y y1 y2 y1与 x 成正比例 y2与 x 成反比例 且 x 2 与 x 3 时 y 的值都等于 10 求 y 与 x 间的函数关系式 类型二 参数类型二 参数 k k 与反比例函数图象与反比例函数图象 例 2 函数与在同一坐标系中的图象可能是 0 ykxb k 0 k yk x A B C D 举一反三 举一反三 变式变式 1 1 已知 且则函数与ab 0 0 0abab yaxb 在同一坐标系中的图象不可能是 ab y x A B C D 变式变式 2 2 如下图是三个反比例函数 1 k y x 2 k y x 3 k y x 在 x 轴上方的图象 由此观察得到 k1 k2 k3的大小关系 A k1 k2 k3 B k3 k2 k1 C k2 k3 k1 D k3 k1 k2 变式变式 3 3 如下图是反比例函数的图象的一支 根据图象回答下列问题 7n y x 1 图象的另一支在哪个象限 常数 n 的取值范围是什么 2 在图象上任取两点 A a b 和 B a b 如果 a a 那么 b 7n y x 和 b 的大小关系 类型三 参数类型三 参数 k k 与比较大小与比较大小 例 3 已知 1 3 2 是反比例函数的图象上的三个点 1 y 2 y 3 y 5 y x 则的大小关系是 举一反三 举一反三 变式变式 1 1 知 是反比例函数的图象上的三个点 2 y x 并且 则的大小关系是 变式变式 2 2 如图 点 A B 在反比例函数的图象上 且点 A B 的横坐标分别为 a 2a a 0 AC x 轴 垂足为点 C BD x 轴 垂足为点 D 且 AOC 的面积为 2 1 求该反比例函数的解析式 2 若点 a y1 2a y2 在该反比例函数的图象上 试比较 y1与 y2的大小 类型四 参数类型四 参数 k k 与图形面积与图形面积 例 4 如图 过反比例函数的图象上任意两点 A B 分别作 x 轴的垂线 2 0 yx x 垂足为 A B 连接 OA OB AA 与 OB 的交点为 P 记 AOP 与梯形 PA B B 的面积分别为 1 S 试比较与的大小 2 S 1 S 2 S 举一反三 举一反三 变式变式 一次函数的图象与反比例函数的图象交于 A 2 1 ykxb m y x B 1 n 两点 1 试确定上述反比例函数和一次函数的表达式 2 求 AOB 的面积 类型五 反比例函数的实际应用类型五 反比例函数的实际应用 例 5 在某一电路中 电源电压 U 保持不变 电流 I A 与电阻 R 之间的函数 图象如图所示 1 I 与 R 的函数关系式为 2 结合图象回答 当电 路中的电流不得超过 12 A 时 电路中电阻 R 的取值范围是 举一反三 举一反三 变式变式 1 1 在一个可以改变容积的密闭容器内 装有一定质量 m 的某种气体 当改变 容积 V 时 气体的密度也随之改变 与 V 在一定范围内满足 它 m V 的图象如图所示 则该气体的质量 m 为 A 1 4kg B 5kg C 6 4kg D 7kg 变式变式 2 2 电压一定时 电流 I 与电阻 R 的函数图象大致是 把 k 值代入函数关系式中 0 k yk x 基础达标基础达标 填空题填空题 1 已知函数是反比例函数 且图象在第一 三象限内 则 2 在函数 k 为常数 的图象上有三个点 2 y1 1 y2 y3 2 2k y x 1 2 函数值 y1 y2 y3的大小为 3 如图 1 面积为 3 的矩形 OABC 的一个顶点 B 在反比例函数的图象上 另三点在 k y x 坐标轴上 则 k 图 1 选择题选择题 1 平行四边形的面积不变 那么它的底与高的函数关系是 A 正比例函数 B 反比例函数 C 一次函数 D 二次函数 2 如图 2 在 x 0 的图象上有三点 A B C 过这三点分别向 x 轴引垂线 交 1 y x x 轴于 A1 B1 C1三点 连 OA OB OC 记 OAA1 OBB1 OCC1的面积分别为 S1 S2 S3 则有 图 2 A S1 S2 S3 B S1 S2 S3 C S3 S1 S2 D S1 S2 S3 3 反比例函数 k 0 在第一象限的图象上有一点 P PQ x 轴 垂足为 Q k y x 连 PO 设 Rt POQ 的面积为 S 则 S 的值与 k 之间的关系是 A B C D k 4 k S 2 k S Sk S 4 已知 a b 0 点 P a b 在反比例函数的图象上 则直线不经过 a y x yaxb 的象限是 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 5 函数与在同一坐标系中的图象大致是 k y x 1 0 ykxk 6 若点 x1 y1 x2 y2 x3 y3 都是反比例函数的图象上的点 并且 1 y x x1 0 x2 x3 则下列各式中正确的是 A y1 y2 y3 B y2 y3 y1 C y3 y2 y1 D y1 y3 y2 7 若 P 2 2 和 Q m m2 是反比例函数图象上的两点 则一次函数 y kx m 的 k y x 图象经过 A 第一 二 三象限 B 第一 二 四象限 C 第一 三 四象限 D 第二 三 四象限 能力提升能力提升 解答题解答题 1 如图所示 已知一次函数y kx b与反比例函数 m y x 的图象交于点A 3 1 B 1 n 1 求反比例函数及一次函数的解析式 2 根据图象写出一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围 2 如图 P1是反比例函数 0 k x k y 在第一象限图像上 的一点 点 A1 的坐标为 2 0 1 当点 P1的横坐标逐渐增大时 P1O A1的面积 将如何变化 2 若 P1O A1与 P2 A1 A2均为等边三角形 求 此反比例函数的解析式及 A2点的坐标 3 如图 正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点 1 2 yx k y x 0 k A 过点作轴的垂线 垂足为 已