二轮复习之三角函数式的化简与求值(基础篇)

二轮复习之三角函数式的化简与求值 基础篇 适用学科 高中数学适用年级高三 适用区域 人教版课时时长 分钟 60 知识点 1 两角和与差的两角和与差的正弦 余弦和正切公式 2 二倍角公式 3 辅助角公式 教学目标 1 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 2 能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦 正切公式 3 能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦 余弦 正切公式 导出二倍角的正弦 余弦 正切公式 了解它们的内在联系 教学重点 运用公式进行简单的三角恒等变换 对三角式进行简单的三角函数化简 求值和证明 教学难点 1 两角和与差的正弦 余弦和正切公式 2 积化和差 和差化积 半角公式 教学过程 一 高考解读 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和 途径 特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧 以优化我们的解题效果 做到事半功倍 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 二 复习预习 默写下面几组公式 1 两角和 差角的余弦公式 2 两角和 差角的正弦公式 3 二倍角的正 余弦公式 4 两角和的正切公式 5 两角差的正切公式 6 二倍角的正切公式 7 合一变换 8 常用公式变形 三 知识讲解 考点 1 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 求值问题的基本类型 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 1 给角求值 2 给值求值 3 给式求值 4 求函数式的最值或值域 5 化简求值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 考点 2 技巧与方法 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 要寻求角与角关系的特殊性 化非特角为特殊角 熟练准确地应用公式 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 注意切割化弦 异角化同角 异名化同名 角的变换等常规技巧的运用 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 对于条件求值问题 要认真寻找条件和结论的关系 寻找解题的突破口 很难入手的问题 可利用分析法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 求最值问题 常用配方法 换元法来解决 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 四 例题精析 例题 1 化简下列各式 1 2 2 3 2cos 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 cos 4 cot2 sincos 2 22 规范解答 1 因为 coscos2cos 2 1 2 1 2 2 3 所以 又因 2 sin 2 sincos 2 1 2 1 24 3 所以 所以 原式 2 sin 2 原式 4 cos 4 sin2 2cos 4 cos 4 tan2 2cos 2 1 2cos 2cos 2 2 sin 2cos 总结与思考 1 在二倍角公式中 两个角的倍数关系 不仅限于 2 是 的二倍 要熟悉多种形式的两个角的 倍数关系 同时还要注意 44 2 三个角的内在联系的作用 4 cos 4 sin22 2 sin2cos 是常 用的三角变换 2 化简题一定要找准解题的突破口或切入点 其中的降次 消元 切割化弦 异名化同名 异角化 同角是常用的化简技巧 例题 2 不查表求 sin220 cos280 3cos20 cos80 的值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 规范解答 解法一 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 sin220 cos280 3sin20 cos80 2 1 1 cos40 2 1 1 cos160 3sin20 cos80 1 2 1 cos40 2 1 cos160 3sin20 cos 60 20 1 2 1 cos40 2 1 cos120 cos40 sin120 sin40 3sin20 cos60 cos20 sin60 sin20 1 2 1 cos40 4 1 cos40 4 3 sin40 4 3 sin40 2 3 sin220 1 4 3 cos40 4 3 1 cos40 4 1 解法二 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 设 x sin220 cos280 3sin20 cos80 y cos220 sin280 3cos20 sin80 则 x y 1 1 3sin60 2 1 x y cos40 cos160 3sin100 2sin100 sin60 3sin100 0 x y 4 1 即x sin220 cos280 3sin20 cos80 4 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 总结与思考 熟知三角公式并能灵活应用 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解法一利用三角公式进行等价变形 解法二转化为函数问题 使解 法更简单更精妙 需认真体会 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例题 3 设关于x的函数y 2cos2x 2acosx 2a 1 的最小值为f a 试确定满足f a 2 1 的a值 并对此时的 a值求y的最大值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 规范解答 由y 2 cosx 2 a 2 2 24 2 aa 及 cosx 1 1 得 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 f a 2 41 22 12 2 2 1 2 aa aa a a f a 2 1 1 4a 2 1 a 8 1 2 或 2 2 a 2a 1 2 1 解得a 1 2 2 此时 y 2 cosx 2 1 2 2 1 当 cosx 1 时 即x 2k k Z ymax 5 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 总结与思考 二次函数在给定区间上的最值问题 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 利用等价转化把问题化归为二次函数问题 还要用到配方法 数形结合 分类讲座等 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例题 4 设函数f x 3 cos2cos sin rcos x a 其中 0 a R 且f x 的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐 标为 6 x 求 的值 如果f x 在区间 6 5 3 上的最小值为 3 求a的值 规范解答 I 3133 cos2sin2sin 2 22232 f xxxxa 依题意得 1 2 6322 II 由 I 知 3 sin 32 f xx 又当 5 36 x 时 7 0 36 x 故 1 sin 1 23 x 从而 f x在区间 5 36 上的最小值为 13 3 22 a 故 31 2 a 总结与思考 三角函数求值问题 例题 5 如右图 扇形OAB的半径为 1 中心角 60 四边形PQRS是扇形的内接矩形 当其面积最大时 求点 P 的位置 并求此最大面积 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 B QP A SR O 规范解答 以OA为x轴 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 O为原点 建立平面直角坐标系 并设P的坐标为 cos sin 则 PS sin 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 直线OB的方程为y 3x 直线PQ的方程为y sin 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 联立解之得Q 3 3 sin sin 所 以 PQ cos 3 3 sin 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 于是SPQRS sin cos 3 3 sin 3 3 3sin cos sin2 3 3 2 3 sin2 2 2cos1 3 3 2 3 sin2 2 1 cos2 2 1 3 3 sin 2 6 6 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 0 3 6 2 6 6 5 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 1 sin 2 6 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 sin 2 6 1 时 PQRS面积最大 且最大面积是 6 3 此时 6 点P为AAB的中点 P 2 1 2 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 总结与思考 三角函数的综合应用问题的考察 课程小结 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 求值问题的基本类型 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 给角求值 给值求值 给式求值 求函数式的最值或值域 化简求值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 技巧与方法 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 要寻求角与角关系的特殊性 化非特角为特殊角 熟练准确地应用公式 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 注意切割化弦 异 角化同角 异名化同名 角的变换等常规技巧的运用 头