北京市2013届高三数学一轮复习单元训练 空间几何体

1 北京邮电大学附中北京邮电大学附中 20132013 届高三数学一轮复习单元训练 空间几何体届高三数学一轮复习单元训练 空间几何体 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 已知 S A B C 是球O表面上的点 SA ABC 平面 AB BC 1SAAB 2BC 则球O的表面积等于 A 4 B 3 C 2 D 答案 A 2 一质点受到平面上的三个力 123 F F F 单位 牛顿 的作用而处于平衡状态 已知 1 F 2 F成 0 60角 且 1 F 2 F的大小分别为 2 和 4 则 3 F的大小为 A 6B 2C 2 5D 2 7 答案 D 3 已知空间直角坐标系中 0 1 1 A且 2 0 4 2 1 AB 则 B 点坐标为 A 9 1 4 B 9 1 4 C 8 1 4 D 8 1 4 答案 A 4 如图 平面 平面 ABBA 与两平面 所成的角分别为4 和6 线 段AB在 l 上的射影为 AB 若12 AB 则 B A A 4B 6C 8D 9 答案 B 5 在正三棱锥PABC 顶点在底面的射影是底面正三角形的中心 中 4 8ABPA 过 A作与 PB PC分别交于D和E的截面 则截面 ADE的周长的最小值是 A 9B 10C 11D 12 答案 C 6 向量a 2 3 1 b 2 0 4 c 4 6 2 下列结论正确的是 2 A a b a b B a b a c C a c a b D 以上都不对 答案 C 7 已知 S A B C是球O表面上的点 SAABC 平面 ABBC 1SAAB 2BC 则球O的表面积等于 A 2 B 3 C 4 D 答案 C 8 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1 则侧棱与底面所成的角为 A 75 B 60 C 45 D 30 答案 C 9 在正四面体 ABCD 的面上 到棱 AB 以及 C D 两点的距离都相等的点共有 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 答案 B 10 如图 平面四边形ABCD中 1 CDADAB CDBDBD 2 将其沿对角线 BD 折成四面体BCDA 使平面 BDA 平面BCD 若四面体 BCDA 顶点在同一个 球面上 则该球的体积为 A 2 3 B 3 C 3 2 D 2 答案 A 11 湖面上漂着一球 湖结冰后将球取出 冰面上留下了一个直径为cm24 深为cm8的空 穴 则该球的表面积为 A 64 B 320 C 576 D 676 答案 D 12 下列命题中正确的是 A 若 a 则 a B 则 C a 则 a D a 则 a 答案 D 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 把正确答案填在题中横线上 13 在空间直角坐标系中 点 P 的坐标为 1 3 2 过点 P 作 yOz 平面的垂线 PQ 则垂足 Q 的坐标是 答案 0 3 2 14 设圆锥的母线长为 l 底面半径为 r 满足条件 它的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧 面积的 4 1 的情况有且只有一种 则 l r 3 答案 2 3 15 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形 如图所示 则该三棱锥的外接球的表面积为 答案 14 16 将圆心角为 0 120 面积为3 的扇形 作为圆锥的侧面 则圆锥的体积为 答案 三 解答题三 解答题 本大题共 6 个小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 如图 直角梯形 ABCD 中 90oABCBAD AB BC 且 ABC 的面积等于 ADC 面积的 2 1 梯形 ABCD 所在平面外有一点 P 满足 PA 平面 ABCD PA AB 1 求证 平面 PCD 平面PAC 2 侧棱PA上是否存在点 E 使得 BE 平面 PCD 若存在 指出点 E 的位置并证明 若不存在 请说明理由 3 求二面角 CPDA 的余弦值 答案 设1ABBCPA 0 1 90 22 2 ABCBADABBC S ABCS ADCADBC 以点A为原点 以AB AD AP所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 1 ABCDP则 1 nx y z 设平面PC D 的一个法向量为则有 0 1 1 1 00 0 2 1 020 0 n PCx y zxyz x y zyz n PD AA A A 令1 1 1 2 yn 则z 2 x 1 即有 同理 可求得平面 PAC 的一个法向量 1 1 0 m 4 1 1 2 1 1 0 1 10n m AA 平面 PCD 平面PAC 2 假设存在满足条件的点E 使 BE平面PC D 则可设点 0 0 Ez 由 1 知 1 1 2 0 1 0 1 1 2 0nBE nz AA平面PC D 的一个法向量为则依题意有 即 1 120 2 zE PA 得z 存在满足条件的点的中点 3 由 1 知 1 1 2 nABAPD 平面PC D 的一个法向量为又显然为平面的一个法向量 设二面角 A PD C 的平面角为 则 222 1 1 2 1 0 0 6 cos cos 6 112 1 n AB A A 18 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 O 是 AC 的中点 E 是线段 D1O 上一点 且 D1E EO 1 若 1 求异面直线 DE 与 CD1所成的角的余弦值 2 若平面 CDE 平面 CD1O 求 的值 答案 1 不妨设正方体的棱长为 1 以 1 DA DCDD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz 则 A 1 0 0 11 0 22 O 0 1 0C D1 0 0 1 E 111 442 于是 111 442 DE 1 01 1CD 由 cos 1 DE CD 1 1 DE CD DECD 3 6 所以异面直线 AE 与 CD1所成角的余弦值为 3 6 2 设平面 CD1O 的向量为m x1 y1 z1 由 m CO 0 m 1 CD 0 得 11 11 11 0 22 0 xy yz 取 x1 1 得 y1 z1 1 即 m 1 1 1 5 由 D1E EO 则 E 1 2 1 2 1 1 DE 1 2 1 2 1 1 又设平面 CDE 的法向量为 n x2 y2 z2 由 n CD 0 n DE 0 得 2 222 0 0 2 1 2 1 1 y xyz 取 x2 2 得 z2 即 n 2 0 因为平面CDE 平面 CD1F 所以 m n 0 得 2 19 如图 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 点 D 在边 BC 上 AD C1D 1 求证 AD 平面 BC C1 B1 2 设 E 是 B1C1上的一点 当 1 1 B E EC 的值为多少时 A1E 平面 ADC1 请给出证明 答案 1 在正三棱柱中 C C1 平面 ABC AD 平面 ABC AD C C1 又 AD C1D C C1交 C1D 于 C1 且 C C1和 C1D 都在面 BC C1 B1内 AD 面 BC C1 B1 2 由 1 得 AD BC 在正三角形 ABC 中 D 是 BC 的中点 当 1 1 1 B E EC 即 E 为 B1C1的中点时 A1E 平面 ADC1 事实上 正三棱柱 ABC A1B1C1中 四边形 BC C1 B1是矩形 且 D E 分别是 BC B1C1的 中点 所以 B1B DE B1B DE 又 B1B AA1 且 B1B AA1 DE AA1 且 DE AA1 所以四边形 ADE A1为平行四边形 所以 E A1 AD 而 E A1 面 AD C1内 故 A1E 平面 AD C1 20 如图 在直三棱柱 111 ABCABC 中 E F分别是 1 AB 1 AC的中点 点D在 11 BC上 11 ADBC 求证 1 EF平面ABC 2 平面 1 AFD 平面 11 BBC C 6 答案 11 1EFABACEF 证明 分别是 的中点 BC EFABCBCABCEF 所以平面平面又 ABC平面 2 111111111 DABBCBABBCBAABC 平面 直三棱柱 平面又CCBBDACBDA 11111 11111 CCBBFDAFDADA平面平面 平面而 21 如图 ABCD 为空间四点 在ABC 中 22ABACBC 等边三 角形ADB以AB为轴运动 当平面ADB 平面ABC时 求CD 当ADB 转动时 是否总有ABCD 证明你的结论 答案 取AB的中点E 连结DECE 因为ADB是等边三角形 所以DEAB 当平面ADB 平面ABC时 因为平面ADB 平面ABCAB 7 所以DE 平面ABC 可知DECE 由已知可得31DEEC 在DECRt 中 22 2CDDEEC 当ADB 以AB为轴转动时 总有ABCD 证明如下 当D在平面ABC内时 因为AC BCADBD 所以CD 都在线段AB的垂直平分线上 即ABCD 当D不在平面ABC内时 由 知ABDE 又因ACBC 所以ABCE 又DECE 为相交直线 所以AB 平面CDE 由CD 平面CDE 得ABCD 综上所述 总有ABCD 22 如图所示 已知BCD AB平面 M N 分别是 AC AD 的中点 BC CD I 求证 MN 平面 BCD II 求证 平面 B CD 平面 ABC III 若 AB 1 BC 3 求直线 AC 与平面 BCD 所成的角 答案 1 因为 M N分别是 AC AD的中点 所以