2011东北大学数学建模竞赛论文格式规范和规则

东北大学第九届东软杯大学生数学建模竞赛暨东北大学第九届东软杯大学生数学建模竞赛暨 2011 年全国大学生数学建模竞赛校内选拔赛年全国大学生数学建模竞赛校内选拔赛 参赛队编号 选择题目 A B 论文评审安排论文评审安排 摘要 1 1 问题重述问题重述 2010 年 5 月 25 日 广元市利州区宝轮镇街道上 一辆拉砖的货车一头撞 进路边居民房内 司机受伤 所幸没造成楼房内人员伤亡 28 日 住在此路段的居民张建东反映 发生车祸的下坡路段设计不合理 通车以来 已发生大大小小几十起交通事故 造成多人死伤 公路通车后房屋 已 4 次被撞 通车前的 2008 年 11 月 28 日 在 24 小时内就连续发生了 3 起事 故 该段道路的上段是近 2 公里的长坡 到出事路段时 则是一段 S 形的急弯 陡坡路 这一段公路至少都有 40 多米宽 是宝轮的形象公路 张建东来到宝白 公路另一端说 他家门口的公路 却因为建了一座 山珍大厦 将整个道路差 不多占去一半 该大厦同时将往宝轮方向行驶的车辆的视线完全挡住 我们认为这段路设计上有问题 以前这里就是一块平地 本来可以建成 没有坡的道路 现在却是原没有坡的拱了个坡 没有弯的造了个弯 附近居民 说 行驶至该路段的驾驶员被前方十字路口的建筑挡住视线 驶过此路段的车 辆车速都很快 一下坡就遇到红绿灯 根本来不及刹车 1 根据以上所述情况 设置合适场景并建立数学模型来 说明道路设计是 否合理 2 如道路设计不合理需要如何修改设计在最小成本的情况下得到最大改善 2 2 假设假设 1 假设车型 轮胎类型 路面条件都相同 2 假设汽车没有超载 3 假设刹车系统的机械状况 轮胎状况 天气状况以及驾驶员状况都良好 4 假设汽车在平直道路上行驶 驾驶员紧急刹车 一脚把刹车踏板踩到底 汽 车在刹车过程没有转方向 5 刹车距离等于反应距离和制动距离之和 d 1 d 2 d 6 反应距离与车速 成正比 比例关系为反应时间 1 dv 1 t 7 刹车时使用最大制动力 F F 作的功等于汽车动能的改变 且 F 与车质量 m 成正比 3 3 相关定义及符号意义相关定义及符号意义 4 4 问题分析及模型的建立问题分析及模型的建立 根据实际的公路的情况 我们建立了以下的数学模型 公路是一个带有 S 型弯弧的斜坡 我们对该路段进行理想化的模型构造 把整个路段分成两个部 分 第一部分是一个相对较陡的斜坡 第二部分则是一个与斜坡衔接的圆弧路 段 画画出大致的图形如下 图 1 现在假设在坡的最顶部有一辆汽车驶下到达坡的底部转弯 我们将这个过程分为两个 子过程 其一是汽车从坡的顶部到达底部 并且司机看见有红绿灯 开始刹车 其二是司 机刹车转弯 现对两个过程分别进行建模研究如下 1 汽车在斜坡下行的过程 汽车从坡顶开始下滑 画出其平面的图形如下图 图 2 汽车从坡顶以速度 V 0 向下运动 当其到达长为 L 倾角为 a 摩擦系 数为 u 的斜坡的底端是的速度是 V 1 假设这个过程中汽车没有刹车也没有 提供动力 即相当于汽车是以 V 0 为初速度 以一定的加速度从坡上自由的 滑了下来 同时我们假设汽车在到达坡顶时的速度即 V 0 等于汽车在公路上 所允许的最大的速度 其中加速度 k g sin a g u cos a 2 汽车刹车的过程 当汽车到达斜坡的底部时看到了红绿灯 开始刹车 对该过程画出其简单 的示意图如下 5 5 模型的求解模型的求解 1 有关汽车在斜坡下行的过程 根据图 2 得 1 klvv2 2 0 2 1 k g sin a g u cos a 2 0 0 3 0 v 1 v 由此可以得到 ucos a lg sin a 2vv 2 01 2 汽车在坡底刹车的过程 由假设 6 1 11 dt v 由假设 7 在 F 作用下行驶距离做的功 使使车速从 v 变到 2 d 2 2 1 2 Fdmv 0 而 F ma 则 按照牛二定律可知 刹车时的减速度 a 为常数 于 2 d 2 1 2 av 是 2 2 2 dkv 其中 k 为比例系数 实际上 k a 2 由假设 1 刹车距离为 3 2 1 dt vkv 为了将这个模型用于实际 需要知道其中的参数 和 k 通常有经验估计和 1 t 数据拟合两种方法 这里采用反应时间 的经验估计值 按多数人平均计算 1 t 0 75 秒 而利用交通部门提供的一组刹车距离的实际数据 下表 来拟合 k 表 1 车速和刹车距离 第三列括号内是最大值 利用上表的第三 2 3 列数据和 0 75 秒 可以得到模型 3 中 1 t k 0 0256 于是 4 2 0 750 0256dvv 表中第 4 列是按 4 式计算的刹车距离下图给出了实际刹车距离和计算 刹车距离的比较 表 1 最后一列刹车时间是按最大刹车距离 第三列括号内 计算的 车 速 英里 小时 车速 英尺 秒 实际刹车距离 英尺 计算刹车距离 英尺 刹车时间 秒 20 8 93064 42 44 43 981 5 30 44 073 5 78 82 451 8 4058 7116 124 131 922 1 5073 317