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用心 爱心 专心1 北京十一学校北京十一学校 20132013 届高三练习 理科数学届高三练习 理科数学 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 设集合 2 60Mx xx 13Nxx 则M N 等于 A 2 3 B 1 2 C 2 3 D 1 2 2 已知向量a b满足 a 8 b 6 a b 24 则a与b的夹角为 A 30 B 60 C 90 D 120 3 已知函数 2sin f xx 0 0 的图象如图所示 则 等于 A 1 3 B 3 2 C 1 D 2 4 在各项均为正数的数列 n a中 对任意 m n N都有 m nmn aaa 若 6 64a 则 9 a等于 A 256B 510C 512D 1024 5 1a 是 对任意的正数x 不等式21 a x x 成立 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 6 设 0 x是函数 2 1 log 3 x f xx 的零点 若 0 0ax 则 f a的值满足 A 0f a B 0f a C 0f a D f a的符号不确定 7 已知函数 30 42 2 aaxaxxf 其图象上两点的横坐标 1 x 2 x满足 21 xx 且axx 1 21 则有 A 21 xfxf B 21 xfxf C 21 xfxf D 21 xfxf的大小不确定 用心 爱心 专心2 8 设集合 0123 SA A A A 在S上定义运算 ijk AAA 其中k为ij 被 4 除 的余数 0 1 2 3i j 则使关系式 0 iij AAAA 成立的有序数对 i j的组数为 A 4 B 3 C 2 D 1 第二部分 非选择题第二部分 非选择题 共共 110110 分 分 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 把答案填在题中横线上 9 若复数Ra i ia 1 是纯虚数 则实数a的值为 10 求值 0 cos x xe dx 11 在ABC 中 3 A 3BC 6AB 则C sin B 12 在ABC 中 已知 23 31 ABkk 3 ACk k R 则BC 若 90B 则k 13 已知函数 1 2 log 40 2cos 0 xx f x xx 若方程 f xa 有解 则实数a的取值范围是 14 设函数 1f xx Q的定义域为 baa b 其中0ab 若函数 f x在区间 a b上的最大值为6 最小值为3 则 f x在区间 b a 上的最大值与 最小值的和为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题满分 13 分 已知函数 1 2sin 36 f xxxR 1 求 5 4 f 的值 2 设 0 2 10 3 213 f 6 32 5 f 求cos 的值 16 本小题满分 13 分 已知向量 sin cos xx a cos sin2cos xxx b 24 x 若ab 求x 设 f x a b 求 f x的单调减区间 用心 爱心 专心3 函数 f x经过平移后所得的图象对应的函数是否能成为奇函数 如果是 说出平 移方案 如果否 说明理由 17 本小题满分 13 分 已知函数 2ln 2 cbxxxxf 若函数f x 在点x 1 处的切线与直线0273 yx垂直 且f 1 0 求函数 f x 在区间 0 3 上的最小值 若f x 在区间 0 1 上为单调减函数 求b的取值范围 18 本小题满分 13 分 在ABC 中 角 A B C的对边分别为 a b c 且 3 cos 4 B 求 2 sin2cos 2 AC B 的值 若3b 求ABC 面积的最大值 19 本小题满分 14 分 设函数 2 1 2ln 1 f xxx 若在定义域内存在 0 x 而使得不等式 0 0f xm 能成立 求实数m的最小值 若函数 2 g xf xxxa 在区间 0 2上恰有两个不同的零点 求实数 a的取值范围 20 本小题满分 14 分 已知函数 2 1 ln 1 2 f xxaxax a R且0a 求函数 f x的单调区间 记函数 yF x 的图象为曲线C 设点 11 A x y 22 B xy是曲线C上的不同两 点 如果在曲线C上存在点 00 M xy 使得 12 0 2 xx x 曲线C在点M处 的切线平行于直线AB 则称函数 F x存在 中值相依切线 试问 函数 f x是否存在 中值相依切线 请说明理由 用心 爱心 专心4 北京市十一学校 2012 2013 学年度高三练习 数学测试题答案 理工类 数学测试题答案 理工类 2012 10 06 一 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DBBCACCA 二 填空题 题号 9 10 11 12 13 14 答案 1 1 1 e 4 62 4 2 21 kk 1k 或 1 10 2 5 或9 注 两空的填空 第一空 3 分 第二空 2 分 三 解答题 15 本小题满分 13 分 解 1 55 2sin 2sin2 41264 f 2 10 3 2sin 213 f 5 sin 13 又 0 2 12 cos 13 6 32 2sin 2cos 25 f 3 cos 5 又 0 2 4 sin 5 16 cos coscossinsin 65 13 分 16 本小题满分 13 分 解 I 若ab 则 2 sin sin2cos cos xxxx 1 分 sin2cos2 xx 即tan21x 2 分 又 24 x x2 2 4 2 x或 4 3 8 x或 8 3 4 分 用心 爱心 专心5 II 2 2sincos2cossin2cos21 2sin 2 1 4 f xx a b xx x x x 2 2sincos2cossin2cos21 2sin 2 1 4 f xx a b xx x x x 7 分 令Zkkxk 2 2 3 4 22 2 得 Zkkxk 8 7 8 3 又 24 x 8 4 和 2 8 3 是 f x的单调减区间 11 分 是 将函数 f x的图象向上平移 1 个单位 再向左平移 8 kkN 个单位或 向右平移 7 8 kkN 个单位 即得函数 2sin2g xx 的图象 而 g x为 奇函数 13 分 17 本小题满分 13 分 解 1 2 2 1 bx x xf 2 分 因为与直线0273 yx垂直的直线的斜率为4 3 7 1 3 7 bf得令 又f 1 ln 2 1 1 4 c 0 所以c 5 f x ln x 2 x2 4x 5 42 2 1 x x xf 6 分 由 2 23 0 xxf得 当 2 23 0 x时 f x 0 f x 单调递增 当 3 2 23 x时 f x 0 f x 单调递减 8 分 又f 0 ln2 5 f 3 ln5 8 所以f x 在 0 3 最小值为 ln2 5 10 分 因为f x 是减函数 所以 1 0 2 1 202 2 1 x x xbbx x xf对即恒成立 12 分 因为 2 1 2 x x在 0 1 上单调递增 所以 2x 2 1 x min 2 1 所以当 b 2 1 时 f x 在区间 0 1 上单调递减 13 分 用心 爱心 专心6 18 本小题满分 13 分 解 I 因为 3 cos 4 B 所以 7 sin 4 B 1 分 又 22 sin2cos2sincoscos 22 ACB BBB 1 2sincos 1 cos 2 BBB 73 2 44 1 8 1 3 7 8 6 分 II 由已知得 222 3 cos 24 acb B ac 7 分 又因为3b 所以 22 3 3 2 acac 8 分 又因为 22 3 32 2 acacac 所以6ac 当且仅当6ac 时 ac取得最大值 11 分 此时 1173 7 sin6 2244 ABC SacB 所以ABC 的面积的最大值为 3 7 4 13 分 19 本小题满分 14 分 要使得不等式 0 0f xm 能成立 只需 min mf x 求导得 1 2 2 1 1 2 1 2 x xx x xxf 3 分 函数 f x的定义域为 1 当 1 0 x 时 0fx 函数 f x在区间 1 0 上是减函数 当 0 x 时 0fx 函数 f x在区间 0 上是增函数 min 0 1f xf 1m 故实数m的最小值为1 6 分 由 2 1 2ln 1 f xxx 得 用心 爱心 专心7 22 1 2ln 1 1 2ln 1 g xxxxxaxxa 由题设可得 方程 1 2ln 1 xxa 在区间 0 2上恰有两个相异实根 8 分 设 1 2ln 1 h xxx 21 1 11 x h x xx 列表如下 x0 0 1 1 1 2 2 h x 0 h x 1减函数22ln2 增函数32ln3 021 32ln3 2 ln3 1 2 ln1 0hhe 02hh 从而有 max1h x min22ln2h x 11 分 画出函数 h x在区间 0 2上的草图 见右下 易知要使方程 h xa 在区间 0 2上恰有两个相异实根 只需 22ln232ln3a 即 22ln2 32ln3a 14 分 20 本小题满分 14 分 解 显然函数 f x的定义域是 0 1 分 由已知得 1 1 1 1 a xx a fxaxa xx 2 分 当0a 时 令 0fx 解得01x 令 0fx 解得1x 所以函数 f x在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 3 分 当0a 时 当 1 1 a 时 即1a 时 令 0fx 解得 1 0 x a 或1x 令 0fx 解得 1 1x a 所以 函数 f x在 1 0 a 和 1 上单调递增 在 1 1 a 上单调递减 4 分 用心 爱心 专心8 当 1 1 a 时 即1a 时 显然 函数 f x在 0 上单调递增 5 分 当 1 1 a 时 即10a 时 令 0fx 解得01x 或 1 x a 令 0fx 解得 1 1x a 所以 函数 f x在 0 1 和 1 a 上单调递增 在 1 1 a 上单调递减 6 分 综上所述 当0a 时 函数 f x在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 当1a 时 函数 f x在 1 0 a 和 1 上单调递增 在 1 1 a 上单调递减 当1a 时 函数 f x在 0 上单调递增 当10a 时 函数 f x在 0 1 和 1 a 上单调递增 在 1 1 a 上单调递减 7 分 假设函数 f x存在 中值相依切线 设 11 A x y 22 B xy是曲线 yf x 上的不同两点 且 12 0 xx 则 2 1111 1 ln 1 2 yxaxax 2 2222 1 ln 1 2 yxaxax 21 21 AB yy k xx 22 212121 21 1 lnln 1 2 xxa xxaxx xx 21 12 21 lnln1 1 2 xx a xxa xx 8 分 曲线在点 00 M xy处的切线斜率 0 kfx 12 2 xx f 12 12 2 1 2 xx aa xx 9 分 依题意得 21 12 21 lnln1 1 2 xx a xxa xx 12 12 2 1 2 xx aa xx 化简可得 21 21 lnlnxx xx 12 2 xx 用心 爱心 专心9 即 2 1 ln x

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