2011届高考数学复习好题精选 椭圆

用心 爱心 专心 椭圆椭圆 题组一椭圆的定义和标准方程 1 2009 陕西高考 m n 0 是 方程 mx2 ny2 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 把椭圆方程化成 1 若 m n 0 则 0 所以椭圆的焦点在 y 轴 x2 1 m y2 1 n 1 n 1 m 上 反之 若椭圆的焦点在 y 轴上 则 0 即有 m n 0 故为充要条件 1 n 1 m 答案 C 2 2009 广东高考 已知椭圆 G 的中心在坐标原点 长轴在 x 轴上 离心率为 且 3 2 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12 则椭圆 G 的方程为 解析 由题意得 2a 12 所以 a 6 c 3 b 3 故椭圆方程为 c a 3 23 1 x2 36 y2 9 答案 1 x2 36 y2 9 3 2009 北京高考 椭圆 1 的焦点为 F1 F2 点 P 在椭圆上 若 PF1 4 则 x2 9 y2 2 PF2 F1PF2的大小为 解析 依题知 a 3 b c 27 由椭圆定义得 PF1 PF2 6 PF1 4 PF2 2 又 PF1 4 PF2 2 F1F2 2 7 在 F1PF2中由余弦定理可得 cos F1PF2 1 2 F1PF2 120 答案 2 120 题组二椭圆的几何性质 用心 爱心 专心 4 2010 郑州模拟 如图 A B C 分别为椭圆 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 的顶点与焦点 若 ABC 90 则该椭圆的离心率为 A B 1 C 1 D 1 5 2 2 22 2 2 解析 ABC 90 BC 2 AB 2 AC 2 c2 b2 a2 b2 a c 2 又 b2 a2 c2 e2 e 1 0 e 5 1 2 答案 A 5 如图 有公共左顶点和公共左焦点 F 的椭圆 与 的长半轴 的长分别为 a1和 a2 半焦距分别为 c1和 c2 且椭圆 的右顶 点为椭圆 的中心 则下列结论不正确的是 A a1 c1 a2 c2 B a1 c1 a2 c2 C a1c2a2c1 解析 由题意知 a1 2a2 c1 2c2 a1c2b 0 的离心率为 e 点 A 是椭圆上的 x2 a2 y2 b2 2 2 一点 且点 A 到椭圆 C 两焦点的距离之和为 4 1 求椭圆 C 的方程 2 椭圆 C 上一动点 P x0 y0 关于直线 y 2x 的对称点为 P1 x1 y1 求 3x1 4y1的 取值范围 解 1 依题意知 2a 4 a 2 e c b c a 2 22a2 c22 所求椭圆 C 的方程为 1 x2 4 y2 2 2 点 P x0 y0 关于直线 y 2x 的对称点为 P1 x1 y1 Error Error 解得 x1 y1 4y0 3x0 5 3y0 4x0 5 3x1 4y1 5x0 点 P x0 y0 在椭圆 C 1 上 x2 4 y2 2 2 x0 2 则 10 5x0 10 3x1 4y1的取值范围为 11 已知中心在原点的椭圆 C 的一个焦点 F 4 0 长轴端点到较近焦点的距离为 1 A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 为椭圆上不同的两点 1 求椭圆的方程 用心 爱心 专心 2 若 x1 x2 8 在 x 轴上是否存在一点 D 使 DA DB 若存在 求出 D 点 的坐标 若不存在 说明理由 解 1 由题设知 c 4 a c 1 a 5 b 3 所求方程为 1 x2 25 y2 9 2 假设存在点 D x0 0 由 DA DB 则点 D 在线段 AB 的中垂线上 又线段 AB 的中点为 4 y1 y2 2 线段 AB 的中垂线方程为 y x 4 y1 y2 2 x1 x2 y1 y2 又 2 1 25 x 2 1 9 y 1 2 2 25 x 2 2 9 y 1 2222 1212 259 xxyy 0 x1 x2 y1 y2 25 9 y1 y2 8 在 中令 y 0 x0 4 y1 y2 2 25 y1 y2 72 x0 存在点 D 为 64 25 64 25 0 12 理 2009 山东高考 设椭圆 E 1 a b 0 过 M 2 N 1 两点 x2 a2 y2 b226 O 为坐标原点 1 求椭圆 E 的方程 2 是否存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且OA OB 若存在 写出该圆的方程 并求 AB 的取值范围 若不存在 说明理由 解 1 将 M N 的坐标代入椭圆 E 的方程得 Error Error 解得 a2 8 b2 4 所以椭圆 E 的方程为 1 x2 8 y2 4 2 证明 假设满足题意的圆存在 其方程为 用心 爱心 专心 x2 y2 R2 其中 0 R 2 设该圆的任意一条切线 AB 和椭圆 E 交于 A x1 y1 B x2 y2 两点 当直线 AB 的斜率存在时 令直线 AB 的方程为 y kx m 将其代入椭圆 E 的方程并整理得 2k2 1 x2 4kmx 2m2 8 0 由根与系数的关系得 x1 x2 x1x2 4km 2k2 1 2m2 8 2k2 1 因为OA OB 所以 x1x2 y1y2 0 把 代入 并整理得 1 k2 x1x2 km x1 x2 m2 0 联立 得 m2 1 k2 8 3 因为直线 AB 和圆相切 因此 R m 1 k2 由 得 R 2 6 3 所以存在圆 x2 y2 满足题意 8 3 当切线 AB 的斜率不存在时 易得 2 1 x 2 2 x 8 3 由椭圆 E 的方程得 2 1 y 2 2 y 显然OA OB 8 3 综上所述 存在圆 x2 y2 满足题意 8 3 法一 当切线 AB 的斜率存在时 由 得 AB x1 x2 2 y1 y2 21 k2 x1 x2 2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 f 4km 2k2 1 2 4 2m2 8 2k2 1 4 2 k2 1 2k2 1 1 2 3 k2 1 2k2 1 令 t 则 t 1 k2 1 2k2 1 1 2 用心 爱心 专心 因此 AB 2 32t 1 t t 2 12 2 3 64 3 3 4 所以 AB 2 12 32 3 即 AB 2 4 6 33 当切线 AB 的斜率不存在时 易得 AB 4 6 3 所以 AB 2 4 6 33 综上所述 存在圆心在原点的圆 x2 y2 满足题意 且 AB 2 8 3 4 6 33 法二 过原点 O 作 OD AB 垂足为 D 则 D 为切点 设 OAB 则 为锐角 且 AD BD tan