圆锥曲线大题集锦

圆锥曲线大题集锦 1 在平面直角坐标系中 F 是椭圆的右焦点 已知xOy 22 22 1 0 xy ab ab 点 0 2 与椭圆左顶点关于直线对称 且直线 AF 的斜率为 Ayx 2 3 3 1 求椭圆的方程 2 过点 Q 1 0 的直线 l 交椭圆于 M N 两点 交直线 4 于点 x E 证明 为定值 MQQN MEEN 2 已知定圆 动圆过点且与圆相切 记圆心M16 3 22 yxN 0 3 FM 的轨迹为 NE 1 求轨迹的方程 E 2 设点 在上运动 与关于原点对称 且 当的ABCEABCBAC ABC 面积最小时 求直线的方程 AB 3 已知 分别是椭圆 的两个焦点 是椭圆上一 1 F 2 FC 22 22 1 0 xy ab ab 2 2 1 P 点 且 成等差数列 1 2 PF 21F F 2 2 PF 1 求椭圆的标准方程 C 2 已知动直线 过点 且与椭圆交于两点 试问轴上是否存在定点l 2 FCAB x 使得恒成立 若存在 求出点的坐标 若不存在 请说明理Q 7 16 QA QB Q 由 2 假设在轴上存在点 使得恒成立 x0Q m 7 16 QA QB 当直线 的斜率不存在时 l 2 1 2 A 2 1 2 B 由于 解得或 227 1 1 2216 mm A 5 4 m 3 4 m 4 已知定点 C 1 0 及椭圆 x2 3y2 5 过点 C 的动直线与椭圆相交于 A B 两点 1 若线段 AB 中点的横坐标是 求直线 AB 的方程 1 2 2 在 x 轴上是否存在点 M 使为常数 若存在 求出点 M 的坐标 若不存在 MA MB 请说明理由 解 1 依题意 直线 AB 的斜率存在 设直线 AB 的方程为 y k x 1 将 y k x 1 代入 x2 3y2 5 消去 y 整理得 3k2 1 x2 6k2x 3k2 5 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 13 6 0 53 13 436 2 2 21 224 k k xx kkk 由线段 AB 中点的横坐标是 得 解得都满足 2 1 2 1 2 21 xx 3 3 k 所以直线 AB 的方程为或013 yx013 yx 2 假设在 x 轴上存在点 M m 0 使为常数 MA MB 当直线 AB 与 x 轴不垂直时 由 1 知 x1 x2 x1x2 6k2 3k2 1 3k2 5 3k2 1 所以 x1 m x2 m y1y2 x1 m x2 m k2 x1 1 x2 1 MA MB k2 1 x1x2 k2 m x1 x2 k2 m2 将 代入 整理得 m2MA MB 6m 1 k2 5 3k2 1 m2 2m 2 2 2 114 2 31 2 33 31 mkm m k 1 3 6m 14 3 3k2 1 注意到是与 k 无关的常数 从而有 6m 14 0 此时 此MA MB 7 3 m 时 4 9 MA MB 当直线 AB 与 x 轴垂直时 此时点 A B 的坐标分别为 1 2 3 1 2 3 当时 也有 综上 在 x 轴上存在定点使为常 7 3 m 4 9 MA MB 7 0 3 M MA MB 数 5 设椭圆 C a b 0 的一个顶点与抛物线 C x2 4y 的焦点重合 F1 F2分1 2 2 2 2 b y a x 3 别是椭圆的左 右焦点 且离心率 e 过椭圆右焦点 F2的直线 l 与椭圆 C 交于 M N 两 1 2 点 1 求椭圆 C 的方程 2 若 2 求直线 l 的方程 OM ON 3 若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦 MN AB 求证 为定值 AB 2 MN 1 解 由题意知 椭圆的一个顶点为 0 即 b e a 2 33 c a 1 2 椭圆的标准方程为 1 x2 4 y2 3 2 解 由题意可知 直线 l 与椭圆必相交 当直线斜率不存在时 经检验不合题意 当斜率存在时 设直线 l 的方程为 y k x 1 k 0 且 M x1 y1 N x2 y2 由 得 3 4k2 x2 8k2x 4k2 12 0 1 1 34 22 xky yx x1 x2 x1x2 8k2 3 4k2 4k2 12 3 4k2 x1x2 y1y2 x1x2 k2 x1x2 x1 x2 1 k2 1 OM ON 4k2 12 3 4k2 4k2 12 3 4k2 8k2 3 4k2 2 5k2 12 3 4k2 解得 k 故直线 l 的方程为 y x 1 或 y x 1 222 即x y 0 或x y 0 2222 3 证明 设 M x1 y1 N x2 y2 A x3 y3 B x4 y4 由 2 可得 MN x1 x2 1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 8k2 3 4k2 2 4 4k2 12 3 4k2 12 k2 1 3 4k2 由 消