2011年全国各地中考数学试题压轴题精选讲座四 直角坐标系下通过几何图形列函数式问题 人教新课标版

20112011 年全国各地中考试题压轴题精选讲座四直角坐标下通过几何图年全国各地中考试题压轴题精选讲座四直角坐标下通过几何图 形列函数式问题形列函数式问题 知识纵横 以平面直角坐标系为背景 通过几何图形运动变化中两个变量之间的关系建立函数 关系式 进一步研究几何图形的性质 体现了数形结合的思想方法 但在坐标系中 每一 个坐标由一对的序实数对应 实数的正负之分 而线段长度值均为正的 注意这一点 就 可类似于讲座一的方法解决 所列函数式有 反比例函数 一次函数 二次函数 典型例题 例 1 浙江温州 如图 在平面直角坐标系中 O 是坐标原点 点 A 的坐标是 4 0 点 B 的坐标是 0 b b 0 P 是 直线 AB 上的一个动点 作 PC x轴 垂足为 C 记点 P 关于 y 轴的 对称点为 P 点 P 不在 y 轴上 连接 PP P A P C 设点 P 的 横坐标为a 1 当b 3 时 求直线 AB 的解析式 若点 P 的坐标是 1 m 求m的值 2 若点 P 在第一象限 记直线 AB 与 P C 的交点为 D 当 P D DC 1 3 时 求a的 值 3 是否同时存在a b 使 P CA 为等腰直角三角形 若存在 请求出所有满足要 求的a b的值 若不存在 请说明理由 思路点拨 1 利用待定系数法考虑 把 1 m 代入函数解析式即可 2 证明 PP D ACD 根据相似三角形的对应边的比成比例求解 3 分 P 在 第一 二 三象限 三种情况进行讨论 例 2 浙江舟山 嘉兴 已知直线3 kxy k 0 分别交x轴 y轴于 A B 两点 线段 OA 上有一动点 P 由原点 O 向点 A 运动 速度为每秒 1 个单位长度 过点 P 作 x轴的垂线交直线 AB 于点 C 设运动时间为t秒 1 当1 k时 线段 OA 上另有一动点 Q 由点 A 向点 O 运动 它与点 P 以相同速度 同时出发 当点 P 到达点 A 时两点同时停止运动 如图 1 直接写出t 1 秒时 C Q 两点的坐标 若以 Q C A 为顶点的三角形与 AOB 相似 求t的值 2 当 4 3 k时 设以 C 为顶点的抛物线nmxy 2 与直线 AB 的另一交点为 D 如图 2 求 CD 的长 设 COD 的 OC 边上的高为h 当t为何值时 h的值最大 思路点拨 1 分两种情形讨论 2 过点 D 作 DE CP 于点 E 证明 DEC AOB 先求得三角形 COD 的面积为定值 又由 Rt PCO Rt OAB 在比例线段中求出 t 值 为多少时 h 最大 例 3 江苏常州 镇江 在平面直角坐标系 XOY 中 直线 1 l过点 0 1A且与 y轴平行 直线 2 l过点 2 0B且与x轴平行 直线 1 l与直线 2 l相交于点 P 点 E 为直线 2 l上一点 反比例函数 x k y k 0 的图像过点 E 与直线 1 l相交于点 F 若点 E 与点 P 重合 求k的值 连接 OE OF EF 若k 2 且 OEF 的面积为 PEF 的面积的 2 倍 求 E 点的坐标 是否存在点 E 及y轴上的点 M 使得以点 M E F 为顶点的三角形与 PEF 全等 若 存在 求 E 点坐标 若不存在 请说明理由 思路点拨 2 先利用相似三 角形对应边的比 用 K表示相关各点的坐标并表示相关线段的长 再利用相似三 角形 OEF 面积是 PEF 面积 2 倍的关系求出K 3 先由全等得到相似三角形 利用相似三 角形对应边的比 用K表示相关各点的坐标并表示相关线段的长 再利用勾股定理求出 K 点 P E F 三点位置分K 2和K 2两种情况讨论 例 4 浙江义乌 已知二次函数的图象经过 A 2 0 C 0 12 两点 且对 称轴为直线 x 4 设顶点为点 P 与x轴的另一交点为点 B 1 求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标 2 如图 1 在直线 y 2x上是否存在点 D 使四边形 OPBD 为等腰梯形 若存在 求出点 D 的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 2 点 M 是线段 OP 上的一个动点 O P 两点除外 以每秒2个单位长度 的速度由点 P 向点 O 运动 过点 M 作直线 MN x轴 交 PB 于点 N 将 PMN 沿直线 MN 对折 得到 P1MN 在动点 M 的运动过程中 设 P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积 为 S 运动时间为 t 秒 求 S 关于 t 的函数关系式 思路点拨 1 利用对称轴公式 A C 两点坐标 列方程组求a b c的值即可 2 由 1 可求直线 PB 解析式为212yx 可知 PB OD 利用 BD PO 列方程求解 注意排除平行四边形的情形 3 分 0 t 2 2 t 4 两种情形讨论 学力训练 1 浙江湖州 如图 1 已知正方形 OABC 的边长为 2 顶点 A C 分别在x y轴的 正半轴上 M 是 BC 的中点 P 0 m 是线段 OC 上一个动点 点 C 除外 直线 PM 交 AB 的延 长线于点 D 1 求点 D 的坐标 用含 m 的代数式表示 2 当 ADP 是等腰三角形时 求 m 的值 3 设过点 P M B 的抛物线与x轴的正半轴交于点 E 过点 O 作直线 ME 的垂线 垂足 为 H 如图 2 当点 P 从原点 O 向点 C 运动时 点 H 也随之运动 请直接写出点 H 所经过的路径 长 不写解答过程 2 广西北海 如图 抛物线 2 4yaxbx 与x轴交于点 A 2 0 和 B 4 0 与y轴交于点 C 1 求抛物线的解析式 2 T 是抛物线对称轴上的一点 且 ACT 是以 AC 为底的等腰三角形 求点 T 的坐标 3 点 M Q 分别从点 A B 以每秒 1 个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行 当点 M 到原点时 点 Q 立刻掉头并以每秒 个单位长度的速度向点 B 方向移动 当点 M 到达 3 2 抛物线的对称轴时 两点停止运动 过点 M 的直线 l 轴 交 AC 或 BC 于点 P 求点 M 的运动时间 t 秒 与 APQ 的面积 S 的函数关系式 并求出 S 的最大值 3 江苏盐城 如图 已知一次函数7yx 与正比例函数 4 3 yx 的图象交于点 A 且与 x轴交于点 B 1 求点 A 和点 B 的坐标 2 过点 A 作 AC y轴于点 C 过点 B 作直线 l y轴 动点 P 从点 O 出发 以每 秒 1 个单位长的速度 沿 O C A 的路线向点 A 运动 同时直线 l 从点 B 出发 以相 同速度向左平移 在平移过程中 直线 l 交x轴于点 R 交线段 BA 或线段 AO 于点 Q 当点 P 到达点 A 时 点 P 和直线 l 都停止运动 在运动过程中 设动点 P 运动的 时间为 t 秒 当 t 为何值时 以 A P R 为顶点的三角形的面积为 8 是否存在以 A P Q 为顶点的三角形是等腰三角形 若存在 求 t 的值 若不存 在 请说明理由 直角坐标下通过几何图形列函数式问题的参考答案 典型例题 例 1 浙江温州 解 1 点 B 在直线 AB 上 设直线 AB 的解析式为3ykx 把b 4 y 0 代入得 4k 3 0 3 4 k 直线的解析式是 3 3 4 yx 由已知得点 P 的坐标是 1 m 且点 P 在直线 AB 上 得 315 13 44 m 2 PP AC PP D ACD P DP P DCCA 即 21 43 a a 4 5 a 3 分三种情况讨论 当点 P 在第一象限时 1 若 AP C 90 P A P C 如图 1 过点 P 作 P H x轴于 l R P C A B O y x 点 H PP CH AH P H 1 2 AC 即 1 24 2 aa 4 3 a P H PC 1 2 AC ACP AOB OBPC1 OAAC2 即 1 42 b 2b 2 若 P AC 90 如图 2 P A CA 则 PP AC 即24aa 4a P A PC AC ACP AOB OBPC 1 OAAC 即1 4 b 4b 3 若 P CA 90 则点 P P 都在第一象限内 这与条件矛盾 P CA 不可能是以 C 为直角顶点的等腰直角三角形 当点 P 在第二象限时 P CA 为钝角 如图 3 此时 P CA 不可能是等腰直角 三角形 当 P 在第三象限时 P CA 为钝角 如图 4 此时 P CA 不可能是等腰直角三 角形 综上所述 所有满足条件的a b的值为 4 3 2 a b 和 4 4 a b 例 2 浙江舟山 嘉兴 解 1 C 1 2 Q 2 0 由题意得 P t 0 C t t 3 Q 3 t 0 分两种情形讨论 情形一 当 AQC AOB 时 AQC AOB 90 CQ OA CP OA 点 P 与点 Q 重合 OQ OP 即3 1 5t tt 情形二 当 ACQ AOB 时 ACQ AOB 90 OA OB 3 AOB 是等腰直角三角形 ACQ 也是等腰直角三角形 CP OA AQ 2CP 即 23 2ttt 满足条件的 t 的值是 1 5 秒或 2 秒 2 由题意得 3 C 3 4 tt 以 C 为顶点的抛物线解析式是 2 3 3 4 yxtt 由 2 33 33 44 xttx 解得 12 3 4 xt xt 过点 D 作 DE CP 于点 E 则 DEC AOB 90 DE OA EDC OAB DEC AOB DECD AOBA AO 4 AB 5 DE 33DE BA15 CD 44AO16 tt 15 CD 16 CD 边上的高 COD 3 412115129 S 5521658 COD S 为定值 要使 OC 边上的高 h 的值最大 只要 OC 最短 当 OC AB 时 OC 最短 此时 OC 的长为 12 5 BCO 90 又 AOB 90 COP 90 BOC OBA 又 CP OA Rt PCO Rt OAB OPOCOC BO36 OP BOBABA25 即 36 25 t 当 t 为 36 25 秒时 h 的值最大 例 3 江苏常州 镇江 解 1 直线 1 l过点A 1 0 且与y轴平行 直线 2 l过点B 0 2 且与x轴平行 直线 1 l与直线 2 l相交于点P 点P 1 2 若点E与点P重合 则k 1 2 2 2 当k 2时 如图1 点E F分别在P点的右侧和上方 过E作x轴的垂 线EC 垂足为C 过F作y轴的垂线FD 垂足为D EC和FD相交于点G 则四 边形OCGD为矩形 PE PF E 2F 1 G 22 kk kk S PEF 2 111 PF PE121 22 24 k kkk 四边形PFGE是矩形 S PEF S GFE S OEF S矩形OCGD S DOF S GFE S OCE 2 111 112 2242 2 kk kkkk 2 1 1 4 k S OEF 2S PEF 22 11 1 21 44 kkk 解得k 6或k 2 k 2时 E F重合 舍去 k 6 E点坐标为 3 2 3 存在点E及y轴上的点M 使得 MEF PEF 当k 2时 如图2 只可能是 MEF PEF 作FH y轴于H FHM MBE BMEM FHFM FH 1 EM PE 1 2 k FM PF 2 k 1 BM1 2 BM 122 k k 在Rt MBE中 由勾股定理得 EM2 EB2 MB2 1 2 k 2 2 k 2 1 2 2 解得k 3 4 此时E点坐标为 3 8 2 当k 2时 如图3 只可能是 MFE PEF 作FQ y轴于Q FQM MBE得 BMEM FQFM FQ 1 EM PF k 2 FM PE 2 k 1 BM2 BM 1 1 2 k k 2 BM 2 在Rt MBE中 由勾股定理得 EM2 EB2 MB2 k 2 2 2 k 2 22 解得k 16 3 或0 但k 0不符合题意 k 16 3 此时E点坐标为 8 3 2 符合条件的 E 点坐标为 3 8 2 8 3 2 例 4 浙江义乌 解 1 设二次函数的解析式为 2 yaxbxc 由题意得 024 12 4 2 cba c a b 解得 12 8 1 c b a 二次函数的解析式为 2 812yxx 点 P 的坐标为 4 4 2 存在点 D 使四边形 OPBD 为等腰梯形 理由如下 当y 0 时 2 8120 xx x1 2 x2 6 点 B 的坐标为 6 0 设直线 BP 的解析式为ykxm 则 44 06 mk mk 解得 12 2 m k 直线 BP 的解析式为 212yx 直线 OD BP 顶点坐标 P 4 4 OP 42 设 D x 2x 则 BD2 2x 2 6 x 2 当 BD OP 时 2x 2 6 x 2 42 2 解得 x1 5 2 x 2 2 当x2 2 时 OD BP 52 四边形 OPBD 为平行四边形 舍去 当x 5 2 时 四边形 OPBD 为等腰梯形 当 D 5 2 5 4 时 四边形 OPBD 为等腰梯形 3 当 0 t 2 时 运动速度为每秒2个单位长度 运动时间为 t 秒 则 MP 2t PH t MH t HN 2 1 t MN 2 3 t S 2 3 t t 2 1 4 3 t2 当 2 t 4 时 P1G 2t 4 P1H t MN OB P1EF P1MN 1 1 2 P EF 1 P MN1 S PG SPH A A 1 2 P EF 2 S 2t4 3 t t 4 A 1 P EF SA 3t2 12t 12 S 4 3 t2 3t2 12t 12 4 9 t2 12t 12 S 2 2 3 t0t2 4 9 t12t 12 0t4 4 学力训练 1 浙江湖州 解 1 由题意得 CM BM PMC DMB Rt PMC Rt DMB ASA DB PC DB 2 m AD 4 m 点 D 的坐标为 2 4 m 2 分三种情况 若 AP AD 则 4 m2 4 m 2 解得 3 m 2 若 PD PA 过 P 作 PF AB 于点 F 如图 则 AF FD 1 2 AD 1 2 4 m 又 OP AF 1 m 4m 2 即 4 m 3 若 PD DA PMC DMB PM 1 2 PD 1 2 AD 1 2 4 m PC2 CM2 PM2 22 1 2m 1 4m 4 解得 12 2 m m2 3 舍去 综上所述 当 APD 是等腰三角形时 m 的值为 3 2 或 4 3 或 2 3 3 点 H 所经过的路径长为 5 4 2 广西北海 解 1 把 A 2 0 B 4 0 代入 2 4yaxbx 得 4240 16440 ab ab 解得 1 1 2 ab 抛物线的解析式为 2 1 4 2 yxx 2 由 22 119 4 1 222 yxxx 得抛物线的对称轴为直线1x 直线1x 交x轴于点 D 设直线1x 上一点 T 1 h 作 CE 直线1x 垂足为 E 由 C 0 4 得点 E 1 4 在 Rt ADT 和 Rt TEC 中 由 TA TC 得 2222 31 4 hh 解得1h 点 T 的坐标为 1 1 3 解 当02t 时 AMP AOC PMAMAM CO4 PM2 COAOAO2 t t AQ6t 22 11 SPM AQ2 6 6 3 9 22 ttttt 当3t 时 S 随t的增加而增加 当2t 时 S 的最大值为 8 当23t 时 作 PF y 轴于 F 有 COB CFP 又 CO OB FP FC 2t 33 PM4 2 6AQ4 2 1 22 tttt 22 11333825 SPM AQ 6 1 43 2224433 ttttt 当 8 3 t 时 S 的最大值为 25 3 综上所述 S 的最大值为 25 3 3 江苏盐城 解 1 根据题意 得 7 4 3 yx yx 解得 3 4 x y 点 A 的坐标为 3 4 令70 x 得7x 点 B 的坐标为 7 0 2 当 P 在 OC 上运动时 0 t 4 由 S APR S梯形 COBA S ACP S POR S ARB 8 得 3 7 4 3 4 t t 7 t t 4 8 1 2 1 2 1 2 1 2 整理 得 t2 8t 12 0 解之得 t1 2 t2 6 舍去 当 P 在 CA