天津市六校2014届高三数学上学期第一次联考试题新人教A版 理

1 天津市天津市 20142014 届高三第一次六校联考数学试卷届高三第一次六校联考数学试卷 理科理科 一 选择题 共 40 分 每小题 5 分 每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 1 i 为虚数单位 则 i i 1 1 A i B 1 C i D 1 2 设为向量 则 是 的 ba baba ba A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 已设变量x y满足约束条件Error 则目标函数z 2x 3y 1 的最大值为 A 11 B 10 C 9 D 17 2 4 如果执行图 1 的框图 输入 N 5 则输出的数等于 A B C D 5 4 4 5 6 5 5 6 5 某几何体的三视图如图 2 所示 则它的体积是 A 8 B 8 C 8 2 D 2 3 3 2 3 6 设双曲线 1 b a 0 的半焦距为c 直线l过A a 0 B 0 b 两点 若原点O x2 a2 y2 b2 图 1 否 是 开始 输入N k 1 S 0 1 1 S kk S1 kk Nk 输出 S 结束 图 2 2 到l的距离为c 则双曲线的离心率为 3 4 A 或 2 B 2 C 或 D 2 3 32 2 3 3 2 3 3 7 在 ABC中 a 3 b 2 cos C 则 ABC的面积为 23 1 3 A 3 B 2 C 4 D 3333 8 已知函数 y f x 是定义在数集 R 上的奇函数 且当 x 0 时 xf x a b B c b a C a b c D a c b 二 填空题 本大题共有 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 某工厂生产 A B C 三种不同型号的产品 产品数量之比依次为 2 3 5 现用分层抽样 方法抽出一个容量为n的样本 样本中 A 种型号产品有 16 件 那么此样本的容量 n 10 若的展开式中的系数为 7 则实数 8 3 a x x 4 xa 11 若数列 an 中 a1 3 an an 1 4 n 2 则a2013 12 直线 被曲线所截的弦长为 4 1 5 3 1 5 xt yt 为参数t2cos 4 13 如图 割线PBC经过圆心O OB PB 1 OB绕点O逆时针旋转 120 到OD 连PD交圆 O于点E 则PE 14 已知点 a b 不在直线x y 2 0 的下方 则 2a 2b的最小值为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程及演算步骤 3 15 13 分 已知函数Rxxxxf 2 1 cos2sin 2 3 2 1 当时 求函数的最小值和最大值 12 5 12 x xf 2 设 A B C 的对边分别为 a b c 且 c 若 sinB 2sinA 求 a b 的值 30 Cf 16 13 分 一个袋中装有 10 个个大小相同的小球 其中白球 5 个 黑球 4 个 红球 1 个 1 从袋中任意摸出 2 个球 求至少得到 1 个白球的概率 2 从袋中任意摸出 3 个球 记得到白球的个数为 求随机变量 的数学期望E 17 13 分 如图 在四棱锥P ABCD中 PD 底面ABCD 底面ABCD为正方形 PD DC E F分别是AB PB的中点 1 求证 EF CD 2 在平面PAD内求一点G 使GF 平面PCB 并证明你的结论 3 求DB与平面DEF所成角的正弦值 18 13 分 在直角坐标系 xOy 中 点 P 到两点 0 0 的距离之和等于 4 设点3 3 4 P 的轨迹为 C 直线 y kx 1 与 C 交于 A B 两点 1 写出 C 的方程 2 若点 A 在第一象限 证明当 k 0 时 恒有 OBOA 19 14 分 已知正项数列的前项和为 是与的等比中项 n an n S n S 1 4 2 1 n a 1 求证 数列是等差数列 n a 2 若 且 求数列的通项公式 11 ba 1 23 nn bb n b 3 在 的条件下 若 求数列的前项和 3 n n n a c b n cn n T 20 14分 已知函数 其中 2 a f xx x lng xxx 0a 1 若是函数的极值点 求实数的值 1x h xf xg x a 2 若对任意的 为自然对数的底数 都有 成立 求实数 12 1x xe e 1 f x 2 g x 的取值范围 a 2014 届高三第一次六校联考数学试卷 理科 答案 一 选择题 1 C 2 C 3 B 4 D 5 A 6 B 7 C 8 A 二 填空题 5 9 80 10 11 3 12 14 4 2 1 22 117 22 21005 rd 弦长 7 73 13 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程及演算步骤 15 13 分 答案 1 2 1 2 2cos1 2sin 2 3 2 1 cos2sin 2 3 2 x xxxxf 1 6 2sin x 最小值 6 分 0 2 3 1最大值 2 13 分2 1 3 baC 16 13 分 1 解 记 从袋中任意摸出两个球 至少得到一个白球 为事件A 则P A 1 3 分 2 10 2 5 C C 7 9 2 随机变量 的取值为 0 1 2 3 4 分 由于P 0 6 分 P 1 8 分 C3 5 C 3 10 1 12 C1 5C2 5 C 3 10 5 12 P 2 10 分 P 3 12 分 C2 5C1 5 C 3 10 5 12 1 12 的分布列是 0123 P 1 12 5 12 5 12 1 12 的数学期望E 0 1 2 3 13 分 1 12 5 12 5 12 1 12 3 2 17 13 分 解析 以DA DC DP所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如 图 设AD a 则D 0 0 0 A a 0 0 B a a 0 C 0 a 0 E a 0 F a 2 a 2 a 2 a 2 P 0 0 a 1 0 0 a 0 0 EF DC 4 分 EF DC a 2 a 2 2 设G x 0 z 则G 平面PAD x z FG a 2 a 2 a 2 6 x z a 0 0 a x 0 x FG CB a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 x z 0 a a a z 0 z 0 FG CP a 2 a 2 a 2 a2 2 a 2 G点坐标为 0 0 即G点为AD的中点 8 分 a 2 3 设平面DEF的法向量为n n x y z 由Error 得 Error 即Error 取x 1 则y 2 z 1 n n 1 2 1 cos BD BD n n BD n n a 2a 6 3 6 DB与平面DEF所成角的正弦值的大小为 13 分 3 6 18 13 分 解 1 设 P x y 由椭圆定义可知 点 P 的轨迹 C 是以 0 0 为3 3 焦点 长半轴为 2 的椭圆 它的短半轴 2 分1 3 2 22 b 故曲线 C 的方程为 5 分1 4 2 2 y x 2 证明 设 A x1 y1 B x2 y2 其坐标满足消去 y 并整理 得 k2 4 x2 2kx 1 1 4 2 2 kxy y x 3 0 7 分 故 9 分 4 3 4 2 2 21 2 21 k xx k k xx x12 y12 x22 y22 22 OBOA x12 x22 4 1 x12 1 x22 3 x1 x2 x1 x2 11 分 4 6 2 21 k xxk 因为 A 在第一象限 故 x1 0 由知 x20 4 3 2 21 k xx 又 k 0 故 0 22 OBOA 即在题设条件下 恒有 13 分 OBOA 19 14 分 解 即 1 分 22 1 1 4 nn Sa 2 1 1 4 nn Sa 7 当时 2 分1n 2 11 1 1 4 aa 1 1a 当时 2n 2 11 1 1 4 nn Sa 3 分 22 111 1 22 4 nnnnnnn aSSaaaa 即 4 分 11 2 0 nnnn aaaa 0 n a 1 2 nn aa 数列是等差数列 5 分 n a 由得 7 分 1 23 nn bb 1 32 3 nn bb 数列是以 2 为公比的等比数列 3 n b 111 11 3 3 2 3 22 nnn n bba 9 分 1 23 n n b 10 分 1 21 32 n n n n an c b 2341 13521 2222 n n n T 两边同乘以得 1 2 3452 113521 22222 n n n T 得 234512 11222221 2222222 n nn n T 23411 11111121 2222222 n nn n T 14 分 111 1121323 1 22222 nnn nn 20 14 分 1 解法 1 其定义域为 1 分 2 2ln a h xxx x 0 3分 2 2 1 2 a h x xx 是函数的极值点 即 1x h x 10 h 2 30a 0a 3a 经检验当时 是函数的极值点 5分 3a 1x h x3a 8 解法2 其定义域为 2 2ln a h xxx x 0 令 即 整理 得 2 2 1 2 a h x xx 0h x 2 2 1 20 a xx 22 20 xxa 2 1 80a 的两个实根 舍去 0h x 2 1 11 8 4 a x 2 2 11 8 4 a x 当变化时 的变化情况如下表 x h x h x x 2 0 x 2 x 2 x h x 0 h xA极小值A 依题意 即 2 11 8 1 4 a 2 3a 0a 3a 2 解 对任意的都有 成立等价于对任意的 12 1x xe 1 f x 2 g x 都有 6分 12 1x xe min f x max g x 当 1 时 x e 1 10gx x 函数在上是增函数 8分 lng xxx 1e max 1g xg ee 且 2 22 1 xaxaa fx xx 1 xe 0a 当且 1 时 01a x e 2 0 xaxa fx x 函数在 1 上是增函数 2 a f xx x e 由 得 又 2 min 11f xfa 2 1a 1e ae01a 不合题意 10分 a 当1 时 ae 若1 则 若 则xa 2 0 xaxa fx x